نسخة الفيديو النصية
صفيحة مربعة تتمدد محافظة على شكلها. أوجد معدل تغير مساحة الصفيحة بالنسبة لطول ضلعها عندما يساوي أربعة سنتيمترات.
لدينا صفيحة مربعة، وهي جسم مسطح ثنائي الأبعاد ذو سمك مهمل. مطلوب منا إيجاد معدل تغير مساحة الصفيحة بالنسبة لطول ضلعها. وذلك عند قيمة معينة لطول ضلعها تساوي أربعة سنتيمترات. لنبدأ بتسمية طول الضلع بالحرف ﺱ. بعد ذلك، يمكننا إيجاد معادلة للمساحة بدلالة طول الضلع. بما أن هذه الصفيحة مربعة، ونحن نعلم أن مساحة المربع هي مربع طول الضلع، فإن المساحة ﻡ ﺱ تساوي ﺱ تربيع بوصفها دالة في طول الضلع ﺱ.
عندما نفكر عادة في معدلات التغير، فإننا نفكر في معدل التغير بالنسبة إلى الزمن. لكن ليس لدينا أي معلومات عن معدل التغير بالنسبة إلى الزمن. كل ما لدينا هو المساحة بوصفها دالة في طول الضلع.
إذن، لإيجاد معدل التغير بالنسبة لطول الضلع، نشتق دالة المساحة بالنسبة لطول الضلع ﺱ. يعني هذا أننا سنوجد ﺩﻡ لـ ﺱ على ﺩﺱ. ولفعل ذلك، نستخدم قاعدة القوة للاشتقاق. توضح لنا هذه القاعدة أنه لأي أس حقيقي ﻥ ومعامل ثابت ﺃ، فإن ﺩ على ﺩﺱ للدالة ﺃ في ﺱ أس ﻥ تساوي ﻥ مضروبًا في ﺃ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. هذا يعني أننا نضرب في الأس ﻥ ونطرح منه واحدًا. في هذه الحالة، يعني هذا أننا نضرب في الأس اثنين. بعد ذلك نجعل الأس الجديد اثنين ناقص واحد. هذا يساوي واحدًا، وبما أن أي عدد أس واحد هو نفسه، فإن ﺩﻡ لـ ﺱ على ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ.
لإيجاد معدل تغير مساحة الصفيحة عندما يساوي طول ضلعها أربعة، نعوض بأربعة عن ﺱ في ﺩﻡ لـ ﺱ على ﺩﺱ. إذن، لدينا اثنان في أربعة، وهو ما يساوي ثمانية. بما أن المساحة مقيسة بالسنتيمتر المربع، وطول الضلع مقيس بالسنتيمتر، فإن الوحدة هي السنتيمتر المربع لكل سنتيمتر. هذا هو عدد السنتيمترات المربعة الناتجة عن تغير طول الضلع بمقدار سنتيمتر واحد. ومن ثم، فإن معدل تغير مساحة الصفيحة بالنسبة لطول ضلعها عندما يساوي أربعة سنتيمترات هو ثمانية سنتيمترات مربعة لكل سنتيمتر.
