نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم المشتقات لإيجاد العلاقة بين المعدلات لكميتين أو أكثر في مسائل المعدلات المرتبطة.
الفكرة في مسائل المعدلات المرتبطة هي حساب معدل تغير كمية ما بدلالة معدل تغير كمية أخرى، والذي يمكن قياسه أحيانًا بسهولة أكبر. وهذا منطقي لأنه إذا تغيرت كميتان مرتبطتان خلال الزمن، فسيكون معدلا تغيرهما مرتبطين، ومن ثم مشتقتاهما أيضًا.
على سبيل المثال، افترض أن لدينا بالونًا كرويًّا مملوءًا بالهواء. نصف القطر نق والحجم ﺣ للبالون يتزايدان خلال الزمن. وبما أن حجم الكرة يتناسب طرديًّا مع مكعب نصف قطرها، فإن معدل تغير الحجم ومعدل تغير نصف القطر مرتبطان أيضًا. لاحظ أيضًا أن إشارة المشتقة يمكن أن توضح لنا إذا ما كانت الكمية تتزايد أو تتناقص خلال الزمن؛ حيث تتزايد الكمية إذا كانت إشارة المشتقة موجبة وتتناقص إذا كانت الإشارة سالبة. يمكن حل هذه المسائل باستخدام الاشتقاق الضمني الذي يتضمن استخدام قاعدة السلسلة، لذا تأكد من أنك على دراية جيدة بها قبل مشاهدة هذا الفيديو.
والآن، بالنسبة إلى مسائل المعدلات المرتبطة، من الأفضل أن نتناول مثالًا لنعرف خطوات الحل.
نصف قطر دائرة يزداد بمعدل ثلاثة ملليمترات لكل ثانية. أوجد معدل تغير مساحة الدائرة عندما يكون نصف قطر الدائرة ١٥ ملليمترًا.
تذكر أنه عند التفكير في معدل تغير كمية ما، فإننا نفكر في مشتقتها بالنسبة إلى الزمن. إذن في هذه الحالة، إذا افترضنا أن مساحة الدائرة هي ﻡ، فإن معدل تغير المساحة سيساوي ﺩﻡ على ﺩﻥ؛ أي مشتقة المساحة بالنسبة إلى الزمن. وتكمن المشكلة هنا في أننا نعرف صيغة مساحة الدائرة بدلالة نصف قطرها. مساحة الدائرة تساوي 𝜋 في نصف القطر تربيع. وهذا يعني أنه يمكننا اشتقاق ﻡ بالنسبة إلى نق، لكننا سنواجه صعوبة عند اشتقاق ﻡ بالنسبة إلى ﻥ.
لحسن الحظ، يمكن أن يساعدنا الاشتقاق الضمني في الحل؛ وهو أحد صور قاعدة السلسلة. وينص على أنه إذا كانت ﻡ دالة في نق، فإن مشتقة ﻡ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ﺩﻡ على ﺩنق مضروبًا في ﺩنق على ﺩﻥ. لذا علينا إيجاد تعبيرات أو قيم لكل من ﺩﻡ على ﺩنق وﺩنق على ﺩﻥ. لقد أوضحنا بالفعل أن ﻡ يساوي 𝜋نق تربيع، إذن من السهل إيجاد تعبير لـ ﺩﻡ على ﺩنق. نحن نعلم أن 𝜋 ثابت بالتأكيد. لذا، يمكننا استخدام قاعدة القوة العامة للاشتقاق لإيجاد ﺩﻡ على ﺩنق. وهذا يساوي اثنين 𝜋نق.
لكن ماذا عن ﺩنق على ﺩﻥ؟ حسنًا، علمنا من المسألة أن نصف قطر الدائرة يتزايد بمعدل ثلاثة ملليمترات لكل ثانية. وهذا يعني أن ﺩنق على ﺩﻥ؛ أي معدل تغير نصف القطر، يساوي موجب ثلاثة، وهو موجب لأنه يتزايد. إذن ﺩﻡ على ﺩﻥ يساوي حاصل ضرب هذين التعبيرين. وهو اثنان 𝜋نق في ثلاثة، ما يساوي ستة 𝜋نق. معدل تغير مساحة الدائرة بالنسبة إلى الزمن معطى الآن على صورة دالة في نصف قطر الدائرة.
مهمتنا الأخيرة هي التعويض عن نقبـ ١٥ في هذا التعبير. وهذا سيعطينا معدل التغير اللحظي للمساحة عندما يكون نصف القطر بهذه القيمة. إذن ﺩﻡ على ﺩﻥ، عند نق يساوي ١٥، يساوي ستة في 𝜋 في ١٥، وهو ما يساوي ٩٠𝜋. وبما أن هذا هو معدل تغير المساحة، والتي ستكون بوحدة الملليمتر المربع، بالنسبة إلى الزمن، فإن معدل التغير يساوي ٩٠𝜋 ملليمتر مربع لكل ثانية.
وبذلك، نكون قد عرفنا كيف يمكن أن تساعدنا صيغة مساحة الدائرة في إيجاد معدل التغير بمعلومية معدل تغير نصف القطر. في المثال التالي، سنتعرف على كيفية ربط حجم بالون كروي بمساحة سطحه.
بالون كروي يتسرب منه غاز الهيليوم بمعدل ٤٨ سنتيمترًا مكعبًا لكل ثانية. ما معدل التغير في مساحة السطح الخارجي للبالون، عندما يكون نصف قطره ٤١ سنتيمترًا؟
في هذا السؤال، نريد بالأساس إيجاد معدل تغير كمية معينة. ونحن نعلم أن معدل التغير يرتبط بمشتقته بالنسبة إلى الزمن. في الواقع، إننا نريد في هذه الحالة إيجاد معدل تغير مساحة السطح الخارجي للبالون. إذا افترضنا أن مساحة السطح تساوي ﻡ، فإن معدل تغيرها يساوي ﺩﻡ على ﺩﻥ.
لكن لدينا مشكلة صغيرة هنا. مساحة سطح الكرة، التي نصف قطرها يساوي نق من الوحدات، تساوي أربعة 𝜋نق تربيع. ومن ثم، لإيجاد تعبير دال على معدل تغير ﻡ؛ أي ﺩﻡ على ﺩﻥ، سنستخدم الاشتقاق الضمني. وينص على أن مشتقة ﻡ بالنسبة إلى ﻥ تساوي مشتقة ﻡ بالنسبة إلى نق في ﺩنق على ﺩﻥ. والآن، يمكن حساب ﺩﻡ على ﺩنق باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. بما أن 𝜋 ثابت، فإن ﺩﻡ على ﺩنق يساوي اثنين في أربعة 𝜋نق، وهو ما يساوي ثمانية 𝜋نق. وبالتالي، فإن ﺩﻡ على ﺩﻥ هو حاصل ضرب ثمانية 𝜋نق مضروبًا في ﺩنق على ﺩﻥ.
عادة ما نريد إيجاد قيمة أو تعبير لمعدل تغير نصف القطر بالنسبة إلى الزمن. وهو ﺩنق على ﺩﻥ. لكن في هذا السؤال، نعرف من المعطيات معدل تسرب الهيليوم من البالون. وهو معطى بالسنتيمتر المكعب لكل ثانية. إذن، هذا بالفعل هو معدل تغير حجم البالون. على وجه التحديد، إذا افترضنا أن حجم الكرة هو ﺣ، فإننا نعرف بعض المعلومات عن ﺩﺣ على ﺩﻥ. في الواقع، يتسرب غاز الهيليوم من البالون، ومن ثم فإن مشتقته؛ أي معدل تغير ﺣ بالنسبة إلى الزمن، ستكون سالبة. وهي سالب ٤٨. لن يفيدنا هذا في إيجاد ﺩنق على ﺩﻥ تحديدًا في هذه المرحلة، لكن يمكننا إجراء عملية مشابهة باستخدام الاشتقاق الضمني ولكن هذه المرة لـ ﺩﺣ على ﺩﻥ.
نحن نعلم أنه يمكن حساب ﺩﺣ على ﺩﻥ بإيجاد حاصل ضرب ﺩﺣ على ﺩنق في ﺩنق على ﺩﻥ. ونحن نعرف قيمة ﺩﺣ على ﺩﻥ. إنها سالب ٤٨. لذا، إذا استطعنا إيجاد تعبير أو قيمة لـ ﺩﺣ على ﺩنق، فيمكننا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد صيغة أو قيمة لـ ﺩنق على ﺩﻥ. في الواقع، نحن نعرف أن حجم الكرة التي نصف قطرها نق يساوي أربعة أثلاث 𝜋نق تكعيب. إذن، مشتقة الحجم بالنسبة إلى نق؛ أي ﺩﺣ على ﺩنق، تساوي ثلاثة في أربعة أثلاث 𝜋نق تربيع، وهو ما يساوي أربعة 𝜋نق تربيع. وفي هذه المرحلة، يمكننا أيضًا التعويض عن ﺩﺣ على ﺩﻥ بسالب ٤٨. نلاحظ الآن أنه يمكننا إيجاد صيغة لـ ﺩنق على ﺩﻥ بقسمة طرفي هذه المعادلة على أربعة 𝜋نق تربيع. سيصبح لدينا سالب ٤٨ على أربعة 𝜋نق تربيع، وهو ما يساوي سالب ١٢ على 𝜋نق تربيع.
نلاحظ هنا أنه يمكننا التعويض عن ﺩنق على ﺩﻥ في الصيغة السابقة لـ ﺩﻡ على ﺩﻥ. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ﺩﻡ على ﺩﻥ يساوي ثمانية 𝜋نق في سالب ١٢ على 𝜋نق تربيع. ويمكننا التبسيط بقسمة البسط والمقام على 𝜋 ونق؛ لأننا نعرف أن نق لن يساوي صفرًا. إذن، لدينا الآن تعبير لـ ﺩﻡ على ﺩﻥ بدلالة نق. وهو سالب ٩٦ على نق. وعليه، يمكننا إيجاد معدل تغير مساحة السطح الخارجي عند نق يساوي ٤١ بالتعويض عن نقبـ ٤١. وهو يساوي سالب ٩٦ على ٤١. وحدة قياس معدل التغير ستكون سنتيمترًا مربعًا لكل ثانية.
وهذه الإجابة منطقية إلى حد كبير بالفعل. فمعدل التغير السالب يعني أن مساحة السطح الخارجي تتناقص خلال الزمن. ونحن نعرف أن غاز الهيليوم يتسرب من البالون، لذلك لا بد أن يتناقص حجمه. ﺩﻡ على ﺩﻥ يساوي سالب ٩٦ على ٤١ سنتيمتر مربع لكل ثانية.
في المثال التالي، سنوضح كيفية ربط قيمتي معدلي تغير مختلفين بقيمة معدل تغير ثالث. وسنفعل هذا في سياق إيجاد مساحة مستطيل.
يزداد طول مستطيل بمعدل ١٥ سنتيمترًا لكل ثانية، ويزداد عرضه بمعدل ١٣ سنتيمترًا لكل ثانية. أوجد معدل زيادة مساحة المستطيل عندما يكون طوله ٢٥ سنتيمترًا وعرضه ١٢ سنتيمترًا.
لدينا هنا بعض المعلومات عن مساحة مستطيل وطوله وعرضه. سنبدأ بتعريف طول المستطيل بأنه ﻝ من السنتيمترات، وعرضه ﺽ. ومن ثم، فإن مساحته ﻡ ستساوي طوله في عرضه؛ أي ﻝﺽ. إلا أن هذا لا يكفي للوصول إلى الحل. إننا نريد إيجاد معلومات عن معدل تغير المساحة؛ أي مشتقة المساحة ﻡ بالنسبة إلى ﻥ. ولكن المعطيات لدينا عن مساحة المستطيل هي بدلالة طوله وعرضه.
لحسن الحظ، يمكننا الجمع بين استخدام الاشتقاق الضمني وقاعدة الضرب لإيجاد تعبير لـ ﺩﻡ على ﺩﻥ بدلالة ﻝ وﺽ، ومشتقة كل منهما على الترتيب. سنبدأ بقاعدة الضرب. ﻡ هو حاصل ضرب ما نفترض أنهما دالتان قابلتان للاشتقاق؛ وهما ﻝ وﺽ. ويمكننا افتراض هذا لأن السؤال يخبرنا بمعدلي تغير كل من ﻝ وﺽ. إذن، مشتقة ﻡ بالنسبة إلى ﻥ وفقًا لقاعدة الضرب هي ﻝ مضروبًا في ﺩﺽ على ﺩﻥ زائد ﺽ مضروبًا في ﺩﻝ على ﺩﻥ.
وسيساعدنا هذا كثيرًا لأن السؤال يخبرنا أن طول المستطيل يزداد بمعدل ١٥ سنتيمترًا لكل ثانية. وعليه، فإن مشتقة ﻝ بالنسبة إلى ﻥ يجب أن تكون موجبة؛ لأن الطول يزداد، ويجب أن تساوي ١٥. وبالمثل، يمكننا القول إن مشتقة ﺽ بالنسبة إلى ﻥ؛ أي معدل تغير عرض المستطيل، تساوي ١٣. بالتعويض بهاتين القيمتين في التعبير السابق لـ ﺩﻡ على ﺩﻥ، نحصل على ١٣ﻝ زائد ١٥ﺽ. هذا هو كل ما نحتاجه لأن السؤال يخبرنا أن طول المستطيل عند نقطة معينة يساوي ٢٥ سنتيمترًا وعرضه يساوي ١٢.
حسنًا، سنعوض بهاتين القيمتين في التعبير الخاص بـ ﺩﻡ على ﺩﻥ. ويعطينا هذا ١٣ في ٢٥ زائد ١٥ في ١٢، وهو ما يساوي ٥٠٥. هذا هو معدل تغير المساحة. والمساحة تكون بالسنتيمتر المربع. والزمن في السؤال معطى بالثواني. وبذلك، نجد أن معدل زيادة مساحة المستطيل يساوي ٥٠٥ سنتيمترات مربعة لكل ثانية. لاحظ أنه حتى إذا لم نعلم أن مساحة المستطيل تتزايد، فيمكننا استنتاج ذلك من إشارة المشتقة؛ حيث إنها موجبة.
في الأمثلة السابقة، تناولنا تطبيقات هندسية على مسائل المعدلات المرتبطة. من المهم أن ندرك أنه يمكننا أيضًا استخدام أساليب مماثلة عند التعامل مع معادلات المنحنيات. دعونا نر كيف سيكون ذلك.
يتحرك جسيم على المنحنى ستة ﺹ تربيع زائد اثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد خمسة ﺹ ناقص ١٣ يساوي صفرًا. إذا كان معدل تغير الإحداثي ﺱ بالنسبة إلى الزمن عندما يمر بالنقطة سالب واحد، ثلاثة هو اثنين، فأوجد معدل تغير الإحداثي ﺹ بالنسبة إلى الزمن عند نفس النقطة.
سنبدأ بالتفكير في المطلوب إيجاده في هذا السؤال. علينا إيجاد معدل تغير الإحداثي ﺹ. نحن نعلم أن معدل تغير كمية ما هو مشتقتها بالنسبة إلى الزمن. إذن في هذه الحالة، علينا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻥ. في الواقع، لدينا بعض المعلومات عن معدل تغير الإحداثي ﺱ بالنسبة إلى الزمن. ويخبرنا السؤال بمعلومات عن ﺩﺱ على ﺩﻥ. عند نقطة معينة، وهي النقطة سالب واحد، ثلاثة، تكون قيمة ﺩﺱ على ﺩﻥ هي اثنين. سنبدأ أولًا باشتقاق معادلة المنحنى بالكامل. وعلينا استخدام الاشتقاق الضمني لفعل ذلك.
تذكر أننا نشتق بالنسبة إلى ﻥ. ومشتقة الصفر تساوي صفرًا بالطبع. يمكننا بعد ذلك المضي قدمًا واشتقاق حد تلو الآخر. وبالطبع سنستخدم الاشتقاق الضمني لفعل ذلك. دعونا نبدأ بستة ﺹ تربيع. يمكننا اشتقاق ستة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺹ. وسيساوي ذلك اثنين في ستة ﺹ. يمكن تبسيط هذا إلى ١٢ﺹ. وهذا يعني أن مشتقة هذا التعبير بالنسبة إلى ﻥ ستكون ١٢ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﻥ. سنجري عملية مماثلة مع اثنين ﺱ تربيع. حيث نشتقه بالنسبة إلى ﺱ. وهو ما يساوي اثنين في اثنين ﺱ؛ أي أربعة ﺱ. ثم نضرب ذلك في ﺩﺱ على ﺩﻥ.
بعد ذلك، سنشتق سالب اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﻥ. ولفعل ذلك، نشتق بالنسبة إلى ﺱ ثم نضرب في ﺩﺱ على ﺩﻥ. وبالمثل، مشتقة خمسة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ تساوي خمسة ﺩﺹ على ﺩﻥ. ثم مشتقة الثابت سالب ١٣ لدينا تساوي صفرًا ببساطة. والآن، سنأخذ العاملين المشتركين ﺩﺹ على ﺩﻥ وﺩﺱ على ﺩﻥ لترتيب المعادلة قليلًا. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﻥ مضروبًا في ١٢ﺹ زائد خمسة زائد ﺩﺱ على ﺩﻥ مضروبًا في أربعة ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا.
بما أننا نحاول إيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﻥ عند نقطة معينة، فسنعيد ترتيب المعادلة لجعل ﺩﺹ على ﺩﻥ المتغير التابع؛ أي في طرف بمفرده. سنبدأ بطرح الحد الذي يتضمن ﺩﺱ على ﺩﻥ من كلا الطرفين، ثم نقسم الطرفين على ١٢ﺹ زائد خمسة. وبذلك، نحصل على تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﻥ كما هو موضح. يتبقى لنا فقط إجراء بعض عمليات التعويض. أولًا، نحن نعرف أن قيمة ﺩﺱ على ﺩﻥ تساوي اثنين. ويهمنا إيجاد معدل تغير الإحداثي ﺹ بالنسبة إلى الزمن عند النقطة التي فيها ﺱ يساوي سالب واحد وﺹ يساوي ثلاثة.
حسنًا، سنعوض بكل هذه القيم في التعبير الدال على ﺩﺹ على ﺩﻥ. وبذلك يصبح لدينا سالب اثنين في أربعة في سالب واحد ناقص اثنين على ١٢ في ثلاثة زائد خمسة. وهذا يعطينا القيمة ١٢ على ٤١. لم يخبرنا السؤال بأي وحدات لمعدل تغير الإحداثي ﺱ. لذلك، يمكننا افتراض أنها وحدة ما لكل وحدة زمن. إذن، معدل تغير الإحداثي ﺹ بالنسبة إلى الزمن عند النقطة نفسها يساوي ١٢ على ٤١ أو ١٢ على ٤١ وحدة لكل وحدة زمن.
والآن بعد أن تناولنا عددًا من الأمثلة حول كيفية حل مسائل المعدلات المرتبطة، دعونا نراجع النقاط الأساسية في هذا الدرس.
في هذا الدرس، تعلمنا أنه إذا تغيرت كميتان مرتبطتان خلال الزمن، فسيكون معدلا تغيرهما مرتبطين، ومن ثم مشتقتاهما أيضًا. وعرفنا أن الاشتقاق الضمني، وهو أحد صور قاعدة السلسلة، له أهمية كبيرة في حل مسائل المعدلات المرتبطة. ولكن يمكننا أيضًا استخدام قواعد أخرى لعمليات الاشتقاق، مثل قاعدة الضرب. وأخيرًا، عرفنا كيف تخبرنا إشارة المشتقة بما إذا كانت الكمية تتزايد أو تتناقص. إذا كانت إشارة المشتقة النهائية؛ أي معدل التغير، موجبة، فإن الكمية تتزايد. وإذا كانت الإشارة سالبة، فإن الكمية تتناقص.