درس: المعدلات المرتبطة

يتحرك جسم على المنحنى . إذا كان معدل تغير الإحداثي السيني بالنسبة للزمن عندما يمر بالنقطة هو ٢، فأوجد معدل تغير الإحداثي الصادي بالنسبة للزمن عند نفس النقطة.

صفيحة معدِنية على شكل شبه منحرف متساوي الساقين. طولا ضلعي شبه المنحرف المتوازيين سم، سم وقياس الزاوية عند أحد رءوسه يساوي . انكمشت الصفيحة مُحافِظةً على شكلها. أوجد معدَّل تغيُّر مساحة الصفيحة بالنسبة إلى عندما يكون ارتفاعها ٣ سم.

أبحرت سفينتان معًا في نفس الوقت من أحد المواني. اتجهت السفينة الأولى شرقًا بسرعة ٣٠ كم/س، بينما اتجهت الأخرى جنوبًا بسرعة ٤٠ كم/س. ما معدَّل تغيُّر المسافة بين السفينتين بعد ؟

قطعة معدنية مستطيلة الشكل يزيد طولها عن عرضها بمقدار ٤٥ سم، وعند تبريدها تقلَّصت وظل طولها أكبر من عرضها بمقدار ٤٥ سم. إذا كان طولها يقل بمعدَّل ٠٫٠٢٦ سم/ث عند اللحظة التي يكون فيها العرض ٩٠ سم، فأوجد معدَّل تغيُّر مساحتها في تلك اللحظة.

إذا كان حجم مكعب طول حرفه ، ويتمدَّد المكعب مع مرور الوقت، فعبِّر عن .

في الساعة الثامنة صباحًا، أبحرت سفينة بسرعة ١٤ كم/س باتجاه الغرب نحو ميناء على بُعد ٥٣ كم. وفي الساعة التاسعة صباحًا، غادرت سفينة أخرى الميناء مبحرة باتجاه الجنوب بسرعة ٦٠ كم/س. ما معدل تغير المسافة بين السفينتين عند الساعة العاشرة صباحًا؟

يتحرك جسم على المنحنى ، فإذا كان وحدة/ثانية عند ؛ فإن وحدة/ثانية.

يزداد نصف القطر الداخلي لكرة مجوفة بمعدل ١٫٥ سم/ث، في حين يظل حجم مادة الكرة ثابتًا. أوجد معدل تغيُّر نصف قطرها الخارجي عندما يساوي نصفا قطرَيْها ٨ سم، ١٤ سم.

يسحب رجل سيارة باتجاهه باستخدام حبل يمر على بكرة مثبتة بارتفاع ٢٤ م فوق الأرض، فوقه مباشرة. إذا سحب الحبل بمعدل ٤ م/د، فما سرعة السيارة عندما كانت تبعد عنه مسافة ١٠ م؟

صفيحة معدِنية رقيقة على شكل مستطيل طوله يساوي من طول قطره، تنكمش بالتبريد مع الاحتفاظ بشكلها الهندسي ونفس النسبة بين أبعادها، وفي لحظة معينة، كان طول قطرها ومساحة سطحها يتناقصان بمعدَّل ١٫٥ سم/د، ٣٦ سم^٢/د على الترتيب. أوجد مساحة سطح الصفيحة في تلك اللحظة.

في نهاية سباق ٥٠٠ متر، جرى عدَّاء في خط مستقيم بسرعة ٣٫٥ م/ث. وُضعت كاميرا على بُعد من خط النهاية لتكون عمودية على المسار وعلى نفس المستوى الأفقي للعداء. أوجد معدل تغير الزاوية، إذا أُديرت الكاميرا لالتقاط العدَّاء عندما كان على بُعد من خط النهاية.

يجري عداء بأقصى سرعة حول مضمار دائري نصف قطره ١٠٠ م بسرعة ثابتة ٨ م/ث. يقف صديق العداء على مسافة ٢٥٠ م من مركز المضمار. ما السرعة التي تتغير بها المسافة بين الصديقين عندما تكون المسافة بينهما ٢٥٠ م، موضحًا الناتج لأقرب رقمين عشريين؟

يزداد طول مستطيل بمعدَّل ١٥ سم/ث ويزداد عرضه بمعدَّل ١٣ سم/ث. أوجد معدَّل زيادة مساحة المستطيل عندما يكون طوله ٢٥ سم وعرضه ١٢ سم.

طولا ضلعَي القائمة لمثلث قائم الزاوية في البداية هما ٧ سم، ١ سم. تَناقَص طول الضلع الأول بمعدل ١ سم/د، بينما ازداد طول الضلع الآخر بمعدل ٥ سم/د. ما معدل تغيُّر مساحة المثلث بعد مرور ؟

حاوية على شكل أسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها الداخلي يساوي ٥ سم ونصف قطر قاعدتها الداخلي يساوي ٦ سم. وُضع قضيب معدني طوله ١٦ سم بداخل الحاوية. إذا كان معدَّل انزلاق القضيب بعيدًا عن حرف الحاوية يساوي ٣ سم/ث، فأوجد معدَّل انزلاق القضيب على قاعدة الحاوية في اللحظة التي يلمس فيها القضيب جانب الحاوية.

صندوق على شكل مستطيل يتمدد محافظًا على النسبة بين أبعاده. طوله يزيد عن عرضه بمقدار ٦ سم. ارتفاعه عرضه. أوجد أبعاد الصندوق عندما يزيد حجمه بمعدل ٠٫٣ سم^٣/د ويزيد عرضه بمعدل ٠٫٠١ سم/د.

أنبوب ماء يُرمز له بالرمز ، طوله م، وُضع بطرفه على أرض أفقية مائلًا على حافة حائط رأسي طوله م عند النقطة . إذا انزلق الطرف بعيدًا عن الحائط بمعدل م/د، فأوجد المعدل الذي ينزلق به الطرف إلى أن يصل إلى الأرض.

بالون كروي تسرب منه غاز الهليوم بمعدل ٤٨ سم^٣/ث. ما معدل التغير في مساحة السطح الخارجي للبالون عندما يصبح نصف قطره ٤١ سم؟

عند لحظة معينة، يتزايد نصف قطر دائرة بمعدَّل ١٧ سم/د، وتتزايد مساحتها بمعدَّل سم^٢/د. أوجد نصف قطر الدائرة عند تلك اللحظة.

، شارعان متعامدان؛ حيث ، . بدأ شخص السير من في اتجاه بسرعة منتظمة مقدارها ١ م/ث، وبدأ شخص آخر السير من في اتجاه بسرعة منتظمة مقدارها ٨ م/ث. أوجد معدل تغير المسافة بينهما بعد .

ارتفاع أسطوانة يساوي قطر قاعدتها، والأسطوانة تتمدَّد؛ بحيث يكون معدَّل زيادة مساحة سطحها بالنسبة للزمن سم^٢/ث. احسب معدَّل الزيادة في نصف القطر، عندما تكون القاعدة ١٨ سم.