شارح الدرس: المعدَّلات الزمنية المترابطة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد مقدار يمثل معدل التغير في حجم المكعب باستخدام المعدلات المرتبطة

إذا كان حجم مكعب طول حرفه ، ويتمدَّد المكعب مع مرور الوقت، فعبِّر عن .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد تعبير جبري لمعدل التغير في الحجم معبرًا عنه بدلالة معدل تغير طول حرف المكعب. لنتخيل المسألة باستخدام شكل بسيط يوضح أن لدينا مكعبًا يتمدد.

حجم المكعب، بالوحدات المكعبة، طول حرفه مُعطى من خلال . نبدأ بإيجاد تعبير دال على مشتقة بالنسبة إلى المتغير حيث:

ثم نحسب معدل تغير الحجم بالنسبة إلى الزمن، ، باستخدام الاشتقاق الضمني.

هذا هو التعبير الدال على معدل التغير :

مثال ٢: إيجاد معدل التغير في مساحة سطح كرة تنكمش بمعلومية معدل تغير حجمها باستخدام المعدلات المرتبطة

بالون كروي تسرب منه غاز الهليوم بمعدل ٤٨ سم^٣/ث. ما معدل التغير في مساحة السطح الخارجي للبالون عندما يكون نصف قطره ٤١ سم؟

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل التغير في مساحة سطح البالون، عند نصف قطر معين، ومعدل تغير ثابت معلوم للحجم. على الرغم من أن الحل سيكون جبريًا في البداية، فإن الناتج النهائي سيكون عدديًا بعد أن نعوض بالقيم المعلومة.

يُعطى الحجم ومساحة السطح لكرة نصف قطرها من خلال:

وبما أن البالون يُسرب الهليوم، فإن حجمه يتناقص بتغير الزمن، الأمر الذي يمكننا تخيله باستخدام شكل.

يعني هذا أن معدل تغير الحجم قيمة سالبة ومُعطى من خلال:

كما يمكننا اشتقاق التعبير الدال على الحجم بالنسبة إلى الزمن ضمنيًا باستخدام المشتقة الصريحة للحجم بالنسبة إلى : إذن:

بجعل ، نحصل على: والذي يمكننا حله لإيجاد قيمة لنحصل على:

معدل التغير الذي نريد إيجاده هو معدل مساحة السطح ، وهو ما يمكننا حسابه ضمنيًا باستخدام المشتقة الصريحة لمساحة السطح بالنسبة إلى : إذن:

والتعويض عن ، نحصل على:

وأخيرًا، التعويض بقيمة ، نجد أن:

إذن، فإن معدل تغير مساحة سطح البالون عندما يكون نصف قطره هو سم^٢/ث.

مثال ٣: إيجاد معدل التغير في مساحة مستطيل يتمدد باستخدام المعدلات المرتبطة

يزداد طول مستطيل بمعدل ١٥ سم/ث، ويزداد عرضه بمعدل ١٣ سم/ث. أوجد معدل زيادة مساحة المستطيل عندما يكون طوله ٢٥ سم وعرضه ١٢ سم.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل تغير مساحة مستطيل يتمدد، من حيث الطول والعرض، ومعدل تغير ثابت معلوم للطول والعرض، كما هو موضح في الشكل.

على الرغم من أن الحل سيكون جبريًا في البداية، فإن الناتج النهائي سيكون عدديًا بعد أن نعوض بالقيم المعلومة.

افترض أن عرض المستطيل سم وطوله سم. وأن مساحة المستطيل، سم^٢ معطاة من خلال:

يمكن حساب معدل تغير المساحة بإيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق، و . بتذكر أن قاعدة الضرب للاشتقاق تنص على أن ، نحصل على:

بما أن الطول والعرض يتزايدان، فإن معدل التغير سيكون موجبًا لكل منهما. افترض أن و لتحديد المعدل الذي تزداد به المساحة عندما و ، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين لنوجد:

بما أن معدل تغير المساحة، ، موجبًا، ويمكننا القول إن معدل التغير الذي تزداد به المساحة هو ٥٠٥ سم^٢/ث.

مثال ٤: مسألة المعدلات المرتبطة عن جسيم يتحرك على طول منحنى معطى؛ حيث مطلوب إيجاد معدل تغير إحداثيه الصادي

يتحرك جسيم على المنحنى . إذا كان معدَّل تغيُّر الإحداثي بالنسبة إلى الزمن عندما يمر بالنقطة هو ٢، فأوجد معدَّل تغيُّر الإحداثي بالنسبة إلى الزمن عند نفس النقطة.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل تغير الإحداثي لجسيم يتحرك على طول منحنى، كما هو موضح بالشكل، عند اللحظة التي تكون نقطة محددة ومعطى معدل تغير الإحداثي ثابتًا.

على الرغم من أن الحل سيكون جبريًا في البداية، فإن الناتج النهائي سيكون عدديًا بعد أن نعوض بالقيم المعلومة.

من أجل إيجاد معدل تغير ، ، نبدأ باشتقاق معادلة المنحنى ضمنيًا بالنسبة إلى . بعد ذلك، نعوض بمعدل تغير الإحداثي ، ، عند النقطة حيث و .

إذا أخذنا مشتقة معادلة المنحنى بالنسبة إلى ، نجد أن:

يمكننا الآن التعويض بالنقطة و ومعدل تغير الإحداثي ، :

ثم بإعادة الترتيب لإيجاد قيمة ، نحصل على:

إذن، معدل تغير الإحداثي هو .

مثال ٥: إيجاد معدل التغير في ظل رجل يتحرك مبتعدًا عن عمود إنارة باستخدام المعدلات المرتبطة

رجل طوله ١٫٨ متر يتحرَّك مبتعدًا عن عمود إضاءة في الشارع بسرعة ١٫٥ م/ث. إذا كان المصباح الموجود على قمة العمود يرتفع عن الأرض بمقدار ٥٫٥ م، فما معدل تغيُّر طول ظل الرجل؟ أوجد الإجابة لأقرب منزلة عشرية.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل تغيُّر طول ظل رجل يتحرَّك مبتعدًا عن عمود إضاءة في الشارع بسرعة معينة، كما هو موضح في الشكل.

على الرغم من أن الحل سيكون جبريًا في البداية، فإن الناتج النهائي سيكون عدديًا بعد أن نعوض بالقيم المعلومة.

لنجعل المسافة التي تبعد عن عمود الإضاءة على الأرض، طول الظل. لكي نوجد معدل تغيُّر طول ظل الرجل، ، علينا أولًا أن نوجد العلاقة بين هذا الطول، ، والمسافة من عمود الإضاءة، . يمكننا فعل ذلك باستخدام مثلثات متشابهة، كما هو موضح بالشكل.

بما أن الزوايا في كلا المثلثين متطابقة، ستكون نسب أطوال أضلاع المثلث متساوية أيضًا. يمكننا استخدام ذلك للتعبير عن كدالة في المتغير :

يمكننا إيجاد مشتقة هذا بالنسبة إلى لإيجاد العلاقة بين معدليهما المتناظرين على النحو الآتي:

والآن يمكننا التعويض بالمعدل المعطى، لإيجاد:

وبذلك، يكون معدل تغير طول ظل الرجل لأقرب منزلة عشرية هو ٠٫٧ م/ث.

مثال ٦: إيجاد معدل تغير المسافة بين نقطة ثابتة ونقطة تتحرك على منحنى دالة جذرية باستخدام المعدلات المرتبطة

تتحرَّك نقطة على منحنى الدالة . إذا كان الإحداثي يزيد بمعدل سم/ث، فأوجد معدَّل تغيُّر المسافة بين هذه النقطة والنقطة عند .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل تغير المسافة بين نقطة معلومة ونقطة تتحرك على منحنى، كما هو موضح في الشكل، بمعدل وموضع معينين.

نلاحظ أن المسافة بين النقطتين ، مُعطاة من خلال:

لذلك إذا أخذنا الدالة ، فإن المسافة بين النقطتين ، ، يمكن التعبير عنها بالصيغة:

ومشتقة هذا التعبير بالنسبة إلى هي:

والقيمة التي نريد إيجادها هي ، ولكن بما أن هي دالة في والصيغة لا تتضمن صراحة أي من متغيرات تحتوى على ، فسيكون علينا اشتقاق ذلك ضمنيًا باستخدام قاعدة السلسلة. تحديدًا، نحصل على:

يمكننا الآن التعويض بالنقطة عند ومعدل تغير الإحداثي ، :

وعليه، نجد أن معدل تغير المسافة يساوي ٤٥ سم/ث.

مثال ٧: مسألة معدلات مرتبطة عن مثلث له ضلعان ثابتي الطول بينما يزداد قياس الزاوية المحصورة بمعدل معلوم

 مثلث فيه الضلعان ، والزاوية المحصورة بينهما ومساحته . افترِض أن ، والزاوية تتزايد بمعدَّل ٠٫٦ راديان/ث. ما مدى سرعة تغيُّر المساحة عندما تكون ؟

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد معدل تغير مساحة مثلث عندما يكون للزاوية قيمة معينة. الزاوية المحصورة تتزايد في مثلث حيث يكون طولا ضلعين من أضلاعه ثابتين، كما هو موضح في الشكل.

يمكن التعبير عن مساحة المثلث بمعلومية ضلعيه، ، ، بدلالة الزاوية على الصورة:

والقيمة التي نريد إيجادها هي عند بمعلومية أن . يمكننا اشتقاق التعبير الدال على المساحة ضمنيًا بالنسبة إلى لإيجاد:

يمكننا إيجاد مشتقة صراحةً بالنسبة إلى على الصورة: إذن:

يمكننا الآن التعويض بالزاوية ومعدل تغير الزاوية لإيجاد:

ومن ثم، تتزايد المساحة بمعدل ٣ سم^٢/ث.

مثال ٨:  إيجاد القيمة النهائية لكمية بمعلومية قيمتها الأولية ومعدل تغير ثابت

إذا كان معدل استهلاك الوقود لصاروخ كتلته ٢٦ طنًّا متريًّا ثابتًا ويساوي ٨٠ كجم/ث، فأوجد كتلة الصاروخ بعد ٢٥ ثانية من الإقلاع.

الحل

في هذا المثال، يستهلك صاروخ الوقود بمعدل ثابت كما هو موضح في الشكل.

لكي نوجد القيمة النهائية لكتلة الصاروخ، ، في زمن معين ، فسيكون علينا أن نحدد أولًا كتلة الصاروخ عند أي زمن . على الرغم من أن الحل سيكون جبريًا في البداية، فإن الناتج النهائي سيكون عدديًا بعد أن نعوض بالقيم المعلومة.

تساوي كتلة الصاروخ الابتدائية ٢٦ طنًّا متريًّا. وبما أن طنًّا متريًّا واحدًا يساوي ١‎ ‎٠٠٠ كجم، فإن هذه القيمة تكافئ ٢٦‎ ‎٠٠٠ كجم.

وبما أن كتلة الصاروخ تنخفض بتغير الزمن بينما يحرق الصاروخ الوقود، بمعدل ثابت يساوي ٨٠ كجم/ث سيكون معدل التغير في الكتلة سالبًا ومعطى من خلال:

وبما أن هذا معدل ثابت للكمية ، يمكننا التعبير عن هذه الكمية بعد م الزمن بقيمة ابتدائية :

بالتعويض بالمعدل المعلوم والقيمة الابتدائية نحصل على:

وهذا أمر بديهي حيث إن الصاروخ يفقد ٨٠ كجم بعد مرور كل ثانية وهو ما يحقق معدل التغير، الذي يمكن التحقق منه عند اشتقاق هذا التعبير بالنسبة إلى . عند ، ستساوي كتلة الصاروخ:

إذن، كتلة الصاروخ بعد ٢٥ ثانية من الإقلاع تساوي ٢٤ طنًّا متريًّا.