فيديو السؤال: إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهات معطاة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃ وﺏ متجهين عموديين، فإن ﺃ ضرب قياسي ﺏ يساوي ماذا؟

هناك طريقة أخرى لصياغة هذه المسألة، وهي أن تسأل ما حاصل الضرب القياسي لمتجهين عموديين؟ تذكر أن المتجهين يكونان عموديين إذا كانا يكونان زاوية قائمة بينهما. يمكننا رسم زوج من المتجهات المتعامدة من النقطة الابتدائية نفسها لمساعدتنا.

بما أن هذين المتجهين متعامدان، فإنهما يتقابلان في زاوية قائمة، والتي حددناها. يطلب السؤال حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين.

لدينا التعريف الهندسي لحاصل الضرب القياسي الذي يوضح حاصل الضرب القياسي بدلالة مقدار كلا المتجهين في السؤال والزاوية 𝜃، وهو قياس الزاوية بين المتجهين.

لا يمكننا افتراض أي شيء حول مقادير المتجهين. لا يوجد لدينا في المعطيات أي شيء عنهما. لكن يمكننا قول شيء ما عن الزاوية 𝜃، أي قياس الزاوية التي تقع بين المتجهين.

الزاوية التي تقع بينهما زاوية قائمة. إذن، 𝜃 تساوي ٩٠ درجة. بالتعويض بهذه القيمة، نجد أنه عندما يكون ﺃ وﺏ متعامدين، فإن حاصل الضرب القياسي يساوي مقدار ﺃ في مقدار ﺏ في جتا ٩٠ درجة.

لحسن الحظ نعرف أن الزاوية ٩٠ درجة زاوية خاصة ونتذكر قيمة جتا ٩٠ درجة. إنها صفر! وبما إننا نضرب في جتا ٩٠ درجة في الطرف الأيسر، فإن الطرف الأيسر بالكامل يساوي صفرًا. إذن، حاصل الضرب القياسي لمتجهين متعامدين يساوي دائمًا صفرًا.

هذا أحد أسباب اهتمامنا بحاصل الضرب القياسي، ولكنه ليس السبب الوحيد. إنه يعطينا طريقة سهلة لمعرفة ما إذا كان المتجهان متعامدين أم لا.