فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين نقطة ونقطة الأصل باستخدام قانون المسافة بين نقطتين الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

أوجد المسافة بين النقطة سالب اثنين، أربعة ونقطة الأصل.

لمساعدتنا في فهم معنى هذه المسألة، رسمت مخططًا صغيرًا هنا. ما فعلته هو أنني وضحت المسألة على زوج من المحاور. إذن لدينا نقطتان. لدينا سالب اثنين، أربعة. ولدينا صفر، صفر. وهذه صفر، صفر لأنها نقطة الأصل. وما نحاول فعله هو إيجاد المسافة بين هاتين النقطتين. مثلت هذه المسافة بالخط الوردي.

لكي نفعل ذلك، علينا استخدام صيغة المسافة أو صيغة المسافة بين نقطتين. والصيغة هي أن المسافة تساوي الجذر التربيعي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد الكل تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد الكل تربيع.

وهذا يعني الجذر التربيعي للفرق بين إحداثيات ﺱ تربيع زائد الفرق بين إحداثيات ﺹ تربيع. لكن لماذا يعطينا ذلك المسافة؟ حسنًا، سبب حصولنا على هذه الصيغة هو أنها تأتي من نظرية فيثاغورس.

حسنًا، رسمت مثلثًا صغيرًا ليساعدنا في فهم ماذا يعني ذلك. والآن لدينا مثلث قائم الزاوية. والمسافة هي الوتر. والفرق بين إحداثيات ﺹ هو طول أحد الأضلاع الأقصر. والفرق بين إحداثيات ﺱ هو طول الضلع الأقصر الآخر. بالتالي، سنتمكن من تطبيق نظرية فيثاغورس لنحصل على طول الوتر، أو في هذه الحالة، المسافة.

حسنًا، رائع! دعونا نستخدم الصيغة الآن لحساب المسافة بين نقطتنا ونقطة الأصل. إذن أولًا، سميت الإحداثيات. وفعلت ذلك لكي نتمكن من معرفة ما سنعوض به في الصيغة دون ارتكاب أخطاء. بعد ذلك، سنعوض بهذه القيم في الصيغة لدينا.

إذن نعلم أن المسافة تساوي الجذر التربيعي لصفر ناقص سالب اثنين الكل تربيع. وذلك لأن هذه ﺱ اثنين، وهي صفر، ناقص ﺱ واحد، وهي سالب اثنين. وهذا كله تربيع. وهذا سيكون زائد صفر ناقص أربعة الكل تربيع. وذلك لأن هذه هي قيم ﺹ اثنين وﺹ واحد. من ذلك نستنتج أن المسافة تساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد سالب أربعة تربيع.

وكما ترى في هذه المرحلة، نقوم بتربيع الفرق بين إحداثيات ﺱ والفرق بين إحداثيات ﺹ. إذن هذا يعني أنه لا يهم بأي طريقة نرتب النقطتين. لذلك إذا قمنا بتبديل قيمتي كل من ﺱ اثنين وﺹ اثنين بقيمتي ﺱ واحد وﺹ واحد، فسيفلح الأمر أيضًا لأننا نقوم بتربيع الفرق. إذن ستكون الإجابة دائمًا موجبة.

يمكننا الآن أن نستمر ونقول إن المسافة تساوي جذر ٢٠. حسنًا، هل هذا هو الحل النهائي؟ نعم، لدينا إجابة هنا. لكن ما أقوله دائمًا هو لو أن لديك إجابة بها جذور صماء، فاحرص على التبسيط قدر الإمكان. لذا سنحاول تبسيط ذلك أكثر.

لكي نبسط ذلك أكثر، سنستخدم قاعدة الجذور الصماء هذه، التي تنص على أن جذر ﺃ في جذر ﺏ يساوي جذر ﺃﺏ، مع تذكر أننا نريد أن يكون ﺃ أو ﺏ أكبر عامل مربع للعدد ٢٠، مما يعني أنه يمكننا القول إن جذر ٢٠ يساوي جذر أربعة في جذر خمسة. ولا يمكننا التبسيط أكثر من ذلك.

بالتالي، يمكننا القول إن المسافة بين النقطة سالب اثنين، أربعة ونقطة الأصل تساوي اثنين جذر خمسة. وفي هذا السؤال، ليس لدينا أي وحدات. إذن فما يمكننا قوله عوضًا عن ذلك هو أن المسافة هي اثنان جذر خمسة وحدة طول.