شارح الدرس: المسافة على المستوى الإحداثي: صيغة فيثاغورس الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: إيجاد المسافة بين نقطة ونقطة الأصل

أوجد المسافة بين النقطة ونقطة الأصل.

الحل

لإيجاد المسافة بين هاتين النقطتين، يمكننا أن نتذكَّر صيغة المسافة، التي تسمح لنا بإيجاد المسافة، ، بين النقطتين، و. وتُعطى هذه المسافة بالصيغة:

بالتعويض بالنقطة ، وهي نقطة الأصل، عن إحداثيات ، والتعويض بالنقطة عن إحداثيات في صيغة المسافة، نحصل على:

يمكننا تبسيط هذه القيمة أكثر لتصبح على الصورة:

يمكننا ملاحظة أن اختيار أيٍّ من هذه الإحداثيات ليكون أو لا يهم. على سبيل المثال، إذا اخترنا الإحداثيات بطريقة معكوسة، فستكون العملية الحسابية كالآتي:

هذا هو ناتج عملية تربيع كلٍّ من قيم و، وهو ما يُعطينا نتيجة موجبة.

باستخدام أيٍّ من العمليتين الحسابيتين ينتج لنا الحل، المسافة بين ونقطة الأصل هي:

مثال ٢: حل مسألة حياتية من خلال إيجاد المسافة بين نقطتين

يرسم سيف خريطة لمنطقته المحلية مقيسة بالمتر. يقع المقهى عند ، ويقع المطعم الإيطالي عند . أوجد المسافة بين المقهى والمطعم لأقرب منزلة عشرية.

الحل

يمكننا إيجاد المسافة بين المقهى والمطعم الإيطالي بإيجاد المسافة بين إحداثياتهما. نتذكَّر أنه لإيجاد المسافة، ، بين نقطتين و، نحسب:

يمكننا تعيين أيٍّ من الإحداثيات إلى أيٍّ من قيم و. إذن، بجعل و، يمكننا التعويض بهذه القيم في صيغة المسافة، لنحصل على:

وبما أنه مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية، إذن يمكننا إيجاد عدد عشري يكافئ قيمة ثم تقريبه، لنحصل على:

إذن المسافة بين المقهى والمطعم الإيطالي، لأقرب منزلة عشرية، تساوي:

مثال ٣: إيجاد إحداثي ناقص باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين

المسافة بين النقطتين ، تساوي ٥. ما قيم الممكنة؟

الحل

لحساب قيمة ، يمكننا استخدام المعطيات التي لدينا عن المسافة بين النقطتين. المسافة، ، بين النقطتين، و، تُعطى بالصيغة:

في هذا السؤال، نعرف أن قيمة ، ونعرف الإحداثيين ، اللذين يمكننا التعويض بهما عن قيمتَي . يمكننا استخدام الإحداثيين باعتبارهما قيمتَي . بالتعويض بذلك في صيغة المسافة، نحصل على:

يمكننا تربيع كلا الطرفين والتبسيط، لنحصل على:

بما أن تربيع عدد سالب يُعطي عددًا موجبًا، إذن علينا أن نضع في اعتبارنا الجذرين الموجب والسالب. يمكننا فعل ذلك باستخدام الإشارة . والآن يمكن كتابة المعادلة على الصورة:

لدينا الآن معادلتان، ، ، ويمكننا حلهما لإيجاد :

ومن ثَمَّ، قيمة هي:

يمكننا فهم هذا الحل من خلال تمثيل المسألة بالرسم. لدينا الإحداثيان المعلومان . ولدينا أيضًا النقطة ، التي يمكننا اعتبارها نقطة بإحداثي مجهول، وإحداثي يساوي ٥. وهذا يعني أن الإحداثي الناقص يجب أن يقع في مكان ما على الخط الذي معادلته .

نعلم أن تبعُد عن بمسافة تساوي ٥ وحدات، إذن لدينا احتمالان.

إحداثيات النقطتين اللتين تبعُدان مسافة ٥ وحدات عن النقطة وتقعان على الخط هي و. لاحظ أنه توجد إحداثيات لا نهائية ممكنة تقع على مسافة ٥ وحدات من النقطة ؛ وجميع هذه الإحداثيات يمكن أن يكوِّن دائرة نصف قطرها ٥ وحدات من هذا الإحداثي. ومع ذلك، وبما أننا مقيدين بحقيقة أن الإحداثي هو ٥، فإنه لا يوجد سوى حلين ممكنين فقط. إذن:

مثال ٤: إيجاد محيط مثلث بمعلومية إحداثيات رءوسه باستخدام نظرية فيثاغورس

إذا كان ، ، ، فما محيط ؟

الحل

عادةً ما يكون من المفيد بدء مسألة كهذه برسم شكل. بتحديد الإحداثيات الثلاثة وتوصيلها، يمكننا تكوين .

محيط الشكل هو المسافة حول الحافة الخارجية. ومن ثَمَّ، علينا إيجاد مجموع أطوال الأضلاع ، ، . يمكننا إيجاد أطوال هذه القطع المستقيمة بالنظر إلى المسافة بين إحداثيات طرفَي كل قطعة مستقيمة.

نتذكَّر أن المسافة، ، بين نقطتين، و، تُعطى بالصيغة:

نبدأ بإيجاد طول . في هذه الحالة، بدلًا من الحاجة إلى تطبيق صيغة المسافة بالأعلى، نلاحظ أن هذه قطعة مستقيمة أفقية. وبما أن الإحداثيين لا يختلفان في اتجاه المحور ، إذن المسافة بينهما تساوي القيمة المطلقة للفرق بين إحداثيات ؛ أي إن وحدة طول واحدة. إذن:

بعد ذلك، يمكننا إيجاد طول الضلع بالتعويض بكلٍّ من و في صيغة المسافة. نحصل من هذا على:

بالنسبة إلى طول الضلع الأخير، ، سنعوِّض بكلٍّ من و في صيغة المسافة. إذن يصبح لدينا:

وأخيرًا، لإيجاد محيط ، نجمع أطوال أضلاعه الثلاثة. نحصل من ذلك على:

ومن ثَمَّ، الإجابة هي: محيط يساوي:

مثال ٥: إيجاد موضع نقطة بالنسبة إلى دائرة

تقع النقطة على الدائرة التي مركزها . حدِّد هل النقطة تقع على الدائرة أم داخلها أم خارجها.

الحل

في هذه المسألة، لدينا نقطة تمثِّل مركز دائرة وإحداثيات نقطة أخرى تقع على الدائرة. المسافة من المركز إلى هذه النقطة هي نصف قطر الدائرة.

يمكننا حساب نصف القطر باستخدام صيغة المسافة. نتذكَّر أن المسافة، ، بين نقطتين، و، تُعطى بالصيغة:

بالتعويض بـ والتعويض بـ ، يمكننا حساب نصف القطر على الصورة:

الآن، لأي نقطة أخرى مُعطاة، نحدِّد أنها تقع على الدائرة إذا كانت مسافتها من المركز، التي نُشير إليها بـ ، تساوي نصف القطر، . إذا كانت هذه المسافة أقل من قيمة نصف القطر، فإن النقطة تقع داخل الدائرة، وإذا كانت تساوي نصف القطر، فإن النقطة تقع على محيط الدائرة، وإذا كانت أكبر من نصف القطر، فإن النقطة تقع خارج الدائرة.

إذن، هيا نُحدِّد مسافة النقطة المُعطاة، ، من المركز، . بالتعويض بهذه القيم عن كلٍّ من ، ، على الترتيب، في صيغة المسافة، يصبح لدينا:

نلاحظ أن هذه المسافة تساوي بالضبط نصف القطر؛ لذا، تكون الإجابة أن النقطة لا بد أنها تقع على الدائرة.

لمساعدتنا في تصوُّر الحل، يمكننا رسم الشكل التالي، مع ملاحظة أن الإحداثيين يقعان على مسافة متساوية طولها وحدة طول من المركز، .

وعلى الرغم من أن هذين الإحداثيين يقعان على استقامة واحدة، ليس من الضروري أن يقع كلاهما على محيط الدائرة.