تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: المسافة على المستوى الإحداثي: صيغة فيثاغورس الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد المسافة بين نقطتين على المستوى الإحداثي باستخدام نظرية فيثاغورس.

يمكننا أن نبدأ بتذكُّر نظرية فيثاغورس، التي تربط بين طول أطول ضلع في مثلث قائم الزاوية وطولَي الضلعين الآخرين. يحتوي المثلث القائم الزاوية على زاوية قائمة واحدة، وضلع واحد أطول من الأضلاع الأخرى، يُسمَّى الوتر.

تعريف: نظرية فيثاغورس

تنص نظرية فيثاغورس على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعَي طولَي الضلعين القصيرين.

للوتر، 𞸢، والضلعين القصيرين، 󰏡، 𞸁، تنص نظرية فيثاغورس على أن: 󰏡+𞸁=𞸢.٢٢٢

يمكننا تطبيق هذه النظرية لإيجاد المسافة بين نقطتين على شبكة إحداثية. هيا نفكِّر في المثال الآتي بالنقطتين (٣،٤) و(٢،١). نلاحظ كيف يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية، يكون الوتر فيه هو الخط الواصل بين هاتين النقطتين. تتكوَّن زاوية قائمة عند الإحداثيين (٣،١)؛ وهي نقطة التقاء الخط الرأسي من (٣،٤) والخط الأفقي من (٢،١).

نلاحظ أن المسافة الأفقية من (٢،١) إلى (٣،١) تساوي ٥ وحدات، وأن المسافة الرأسية من (٣،١) إلى (٣،٤) تساوي ٣ وحدات.

يمكننا بعد ذلك تطبيق نظرية فيثاغورس، 󰏡+𞸁=𞸢٢٢٢، لإيجاد طول الوتر، 𞸢؛ حيث 󰏡=٣𞸁=٥، وهو ما يُعطينا: ٣+٥=𞸢٩+٥٢=𞸢٤٣=𞸢󰋴٤٣=𞸢.٢٢٢٢٢

ومن ثَمَّ، الوتر، الذي يمثِّل المسافة بين النقطتين، يساوي 󰋴٤٣ وحدة.

إذن، على المستوى الأساسي، يمكننا عد المربعات، أو الوحدات، لإيجاد المسافتين الأفقية والرأسية بين اثنين من الإحداثيات، ثم تطبيق نظرية فيثاغورس. قد تكون هذه طريقة مناسبة مع الإحداثيات الأقل قيمة أو التي يسهل تمثيلها بيانيًّا. إلا أنه يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لفعل ذلك مع أي نقاط دون تمثيلها بيانيًّا؛ وذلك باستخدام قيم إحداثيات هذه النقاط واستنتاج صيغة عامة.

نتناول حالة أعم نحاول فيها إيجاد المسافة، 𞸐، بين إحداثيات نقطتين، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢.

يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية باستخدام هذين الإحداثيين؛ حيث يكون الخط بينهما هو الوتر، مع الرأس الثالث، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢١. ينتج عن هذا مثلث قائم الزاوية. طول وتر هذا المثلث يساوي المسافة، 𞸐، بين الإحداثيين.

في الشكل السابق، المسافة الأفقية بين النقطتين هي 󰁓𞸎𞸎󰁒٢١، والمسافة الرأسية هي 󰁓𞸑𞸑󰁒٢١. قيمتا هاتين المسافتين يجب أن تكونا موجبتين دائمًا لكي تنجح هذه الطريقة. ومن ثَمَّ، للتعميم على أي قيمة اختيارية موجبة أو سالبة لكلٍّ من 𞸎١ أو 𞸑١ أو 𞸎٢ أو 𞸑٢، علينا استخدام رمز القيمة المطلقة للإشارة إلى أن الطول عدد موجب. والقيمة المطلقة لأي عدد تكون موجبة. ومن ثَمَّ، يمكن تمثيل المسافة الأفقية بين الإحداثيين بـ 󰍸𞸎𞸎󰍸٢١، والمسافة الرأسية بـ 󰍸𞸑𞸑󰍸٢١.

يمكننا بعد ذلك تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر، 𞸐؛ حيث: 󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒=𞸐󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒=𞸐.٢١٢٢١٢٢٢١٢٢١٢

لاحظ أنه عند استخدام هذه الصيغة، ليس علينا استخدام رموز القيمة المطلقة؛ لأن الحدين 󰁓𞸎𞸎󰁒٢١ و󰁓𞸑𞸑󰁒٢١ مربعين. أيُّ عدد مربع سيكون موجبًا؛ ومن ثَمَّ، لن تكون لدينا مشكلة «المسافات السالبة».

اشتققنا الآن صيغة لحساب المسافة بين أي نقطتين على المستوى الإحداثي، وهو ما يمكننا تعريفه رياضيًّا كالآتي. ويُشار إلى هذه الصيغة عادةً باسم «صيغة المسافة».

تعريف: المسافة بين نقطتين على المستوى الإحداثي

المسافة، 𞸐، بين نقطتين إحداثياتهما 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒.٢١٢٢١٢

سنرى الآن كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة في الأمثلة الآتية.

مثال ١: إيجاد المسافة بين نقطة ونقطة الأصل

أوجد المسافة بين النقطة (٢،٤) ونقطة الأصل.

الحل

لإيجاد المسافة بين هاتين النقطتين، يمكننا أن نتذكَّر صيغة المسافة، التي تسمح لنا بإيجاد المسافة، 𞸐، بين النقطتين، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢. وتُعطى هذه المسافة بالصيغة: 𞸐=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒.٢١٢٢١٢

بالتعويض بالنقطة (٠،٠)، وهي نقطة الأصل، عن إحداثيات 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، والتعويض بالنقطة (٢،٤) عن إحداثيات 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ في صيغة المسافة، نحصل على: 𞸐=󰋴(٢٠)+(٤٠)=󰋴(٢)+٤=󰋴٤+٦١=󰋴٠٢.٢٢٢٢وةل

يمكننا تبسيط هذه القيمة أكثر لتصبح على الصورة: ٢󰋴٥.وةل

يمكننا ملاحظة أن اختيار أيٍّ من هذه الإحداثيات ليكون 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ أو 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ لا يهم. على سبيل المثال، إذا اخترنا الإحداثيات بطريقة معكوسة، فستكون العملية الحسابية كالآتي: 𞸐=󰋴(٠(٢))+(٠٤)=󰋴٢+(٤)=󰋴٤+٦١=󰋴٠٢.٢٢٢٢وةل

هذا هو ناتج عملية تربيع كلٍّ من قيم 󰁓𞸑𞸑󰁒٢١ و󰁓𞸎𞸎󰁒٢١، وهو ما يُعطينا نتيجة موجبة.

باستخدام أيٍّ من العمليتين الحسابيتين ينتج لنا الحل، المسافة بين (٢،٤) ونقطة الأصل هي: ٢󰋴٥.وةل

في المثال التالي، سنحل مسألة كلامية عن طريق إيجاد المسافة بين نقطتين على المستوى الإحداثي.

مثال ٢: حل مسألة حياتية من خلال إيجاد المسافة بين نقطتين

يرسم سيف خريطة لمنطقته المحلية مقيسة بالمتر. يقع المقهى عند (٥،٤)، ويقع المطعم الإيطالي عند (٠،٦). أوجد المسافة بين المقهى والمطعم لأقرب منزلة عشرية.

الحل

يمكننا إيجاد المسافة بين المقهى والمطعم الإيطالي بإيجاد المسافة بين إحداثياتهما. نتذكَّر أنه لإيجاد المسافة، 𞸐، بين نقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، نحسب: 𞸐=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒.٢١٢٢١٢

يمكننا تعيين أيٍّ من الإحداثيات إلى أيٍّ من قيم 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢. إذن، بجعل 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٥،٤)١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٠،٦)٢٢، يمكننا التعويض بهذه القيم في صيغة المسافة، لنحصل على: 𞸐=󰋴(٠(٥))+(٦(٤))=󰋴٥+٠١=󰋴٥٢+٠٠١=󰋴٥٢١.٢٢٢٢م

وبما أنه مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية، إذن يمكننا إيجاد عدد عشري يكافئ قيمة 󰋴٥٢١ ثم تقريبه، لنحصل على: 𞸐=٠٨١٫١١٢٫١١.مم

إذن المسافة بين المقهى والمطعم الإيطالي، لأقرب منزلة عشرية، تساوي: ٢٫١١.م

في المثال التالي، نرى كيف نُوجِد إحداثي ناقص بمعلومية المسافة بين نقطتين.

مثال ٣: إيجاد إحداثي ناقص باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين

المسافة بين النقطتين (󰏡،٥)، (١،١) تساوي ٥. ما قيم 󰏡 الممكنة؟

الحل

لحساب قيمة 󰏡، يمكننا استخدام المعطيات التي لدينا عن المسافة بين النقطتين. المسافة، 𞸐، بين النقطتين، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒.٢١٢٢١٢

في هذا السؤال، نعرف أن قيمة 𞸐=٥، ونعرف الإحداثيين (١،١)، اللذين يمكننا التعويض بهما عن قيمتَي 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١. يمكننا استخدام الإحداثيين (󰏡،٥) باعتبارهما قيمتَي 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢. بالتعويض بذلك في صيغة المسافة، نحصل على: ٥=󰋴(󰏡١)+(٥١)=󰋴(󰏡١)+٤=󰋴(󰏡١)+٦١.٢٢٢٢٢

يمكننا تربيع كلا الطرفين والتبسيط، لنحصل على: ٥=(󰏡١)+٦١٥٢٦١=(󰏡١)٩=(󰏡١)±󰋴٩=󰋴(󰏡١).٢٢٢٢٢

بما أن تربيع عدد سالب يُعطي عددًا موجبًا، إذن علينا أن نضع في اعتبارنا الجذرين الموجب والسالب. يمكننا فعل ذلك باستخدام الإشارة ±. والآن يمكن كتابة المعادلة على الصورة: ±٣=(󰏡١).

لدينا الآن معادلتان، 󰏡١=٣، 󰏡١=٣، ويمكننا حلهما لإيجاد 󰏡: 󰏡١=٣󰏡١=٣󰏡=٣+١󰏡=٣+١󰏡=٤󰏡=٢

ومن ثَمَّ، قيمة 󰏡 هي: 󰏡=٢٤.أو

يمكننا فهم هذا الحل من خلال تمثيل المسألة بالرسم. لدينا الإحداثيان المعلومان (١،١). ولدينا أيضًا النقطة (󰏡،٥)، التي يمكننا اعتبارها نقطة بإحداثي 𞸎 مجهول، وإحداثي 𞸑 يساوي ٥. وهذا يعني أن الإحداثي الناقص يجب أن يقع في مكان ما على الخط الذي معادلته 𞸑=٥.

نعلم أن (١،١) تبعُد عن (󰏡،٥) بمسافة تساوي ٥ وحدات، إذن لدينا احتمالان.

إحداثيات النقطتين اللتين تبعُدان مسافة ٥ وحدات عن النقطة (١،١) وتقعان على الخط 𞸑=٥ هي (٢،٥) و(٤،٥). لاحظ أنه توجد إحداثيات لا نهائية ممكنة تقع على مسافة ٥ وحدات من النقطة (١،١)؛ وجميع هذه الإحداثيات يمكن أن يكوِّن دائرة نصف قطرها ٥ وحدات من هذا الإحداثي. ومع ذلك، وبما أننا مقيدين بحقيقة أن الإحداثي 𞸑 هو ٥، فإنه لا يوجد سوى حلين ممكنين فقط. إذن: 󰏡=٢٤.أو

حتى الآن، عرفنا كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين على المستوى الإحداثي. يمكننا الآن الانتقال لإيجاد عدد من الأطوال في مسألة واحدة؛ مثل إيجاد أطوال أضلاع أشكال هندسية ممثَّلة على شبكة. في المثال التالي، نرى كيف يمكننا إيجاد محيط شكل بمعلومية إحداثياته.

مثال ٤: إيجاد محيط مثلث بمعلومية إحداثيات رءوسه باستخدام نظرية فيثاغورس

إذا كان 󰏡(٤،٥)، 𞸁(٥،٥)، 𞸢(٤،٧)، فما محيط 󰏡𞸁𞸢؟

الحل

عادةً ما يكون من المفيد بدء مسألة كهذه برسم شكل. بتحديد الإحداثيات الثلاثة وتوصيلها، يمكننا تكوين 󰏡𞸁𞸢.

محيط الشكل هو المسافة حول الحافة الخارجية. ومن ثَمَّ، علينا إيجاد مجموع أطوال الأضلاع 󰏡𞸁، 𞸁𞸢، 󰏡𞸢. يمكننا إيجاد أطوال هذه القطع المستقيمة بالنظر إلى المسافة بين إحداثيات طرفَي كل قطعة مستقيمة.

نتذكَّر أن المسافة، 𞸐، بين نقطتين، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒.٢١٢٢١٢

نبدأ بإيجاد طول 󰏡𞸁. في هذه الحالة، بدلًا من الحاجة إلى تطبيق صيغة المسافة بالأعلى، نلاحظ أن هذه قطعة مستقيمة أفقية. وبما أن الإحداثيين لا يختلفان في اتجاه المحور 𞸑، إذن المسافة بينهما تساوي القيمة المطلقة للفرق بين إحداثيات 𞸎؛ أي إن |٥٤|= وحدة طول واحدة. إذن: لوةلواة󰏡𞸁=.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد طول الضلع 𞸁𞸢 بالتعويض بكلٍّ من 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٥،٥)١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٤،٧)٢٢ في صيغة المسافة. نحصل من هذا على: لوةل𞸁𞸢=󰋴(٤٥)+(٧٥)=󰋴(٩)+(٢١)=󰋴١٨+٤٤١=󰋴٥٢٢=٥١.٢٢٢٢

بالنسبة إلى طول الضلع الأخير، 󰏡𞸢، سنعوِّض بكلٍّ من 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٤،٥)١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٤،٧)٢٢ في صيغة المسافة. إذن يصبح لدينا: لوةل󰏡𞸢=󰋴(٤٤)+(٧٥)=󰋴(٨)+(٢١)=󰋴٤٦+٤٤١=󰋴٨٠٢=٤󰋴٣١.٢٢٢٢

وأخيرًا، لإيجاد محيط 󰏡𞸁𞸢، نجمع أطوال أضلاعه الثلاثة. نحصل من ذلك على: لللوةل󰏡𞸁𞸢=󰏡𞸁+𞸁𞸢+󰏡𞸢=١+٥١+٤󰋴٣١=󰂔٦١+٤󰋴٣١󰂓.

ومن ثَمَّ، الإجابة هي: محيط 󰏡𞸁𞸢 يساوي: 󰂔٦١+٤󰋴٣١󰂓.وةل

في المثال التالي، نرى مسألة تتضمَّن دائرة. معلومةُ أن الدائرة مرسومة على المستوى الإحداثي، إلى جانب الحقائق عن مركز الدائرة والنقطة الواقعة على محيطها، تعني أنه يمكننا تطبيق صيغة المسافة لحساب نصف القطر.

مثال ٥: إيجاد موضع نقطة بالنسبة إلى دائرة

تقع النقطة (٦،٧) على الدائرة التي مركزها (٧،١). حدِّد هل النقطة (٨،٩) تقع على الدائرة أم داخلها أم خارجها.

الحل

في هذه المسألة، لدينا نقطة تمثِّل مركز دائرة وإحداثيات نقطة أخرى تقع على الدائرة. المسافة من المركز إلى هذه النقطة هي نصف قطر الدائرة.

يمكننا حساب نصف القطر باستخدام صيغة المسافة. نتذكَّر أن المسافة، 𞸐، بين نقطتين، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒.٢١٢٢١٢

بالتعويض بـ 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٧،١)١١ والتعويض بـ 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٦،٧)٢٢، يمكننا حساب نصف القطر على الصورة: وةل=󰋴(٦(٧))+(٧(١))=󰋴١+٨=󰋴١+٤٦=󰋴٥٦.٢٢٢٢

الآن، لأي نقطة أخرى مُعطاة، نحدِّد أنها تقع على الدائرة إذا كانت مسافتها من المركز، التي نُشير إليها بـ 𞸐١، تساوي نصف القطر، ؈. إذا كانت هذه المسافة أقل من قيمة نصف القطر، فإن النقطة تقع داخل الدائرة، وإذا كانت تساوي نصف القطر، فإن النقطة تقع على محيط الدائرة، وإذا كانت أكبر من نصف القطر، فإن النقطة تقع خارج الدائرة.

إذن، هيا نُحدِّد مسافة النقطة المُعطاة، (٨،٩)، من المركز، (٧،١). بالتعويض بهذه القيم عن كلٍّ من 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، على الترتيب، في صيغة المسافة، يصبح لدينا: =󰋴(٧(٨))+(١(٩))=󰋴١+٨=󰋴١+٤٦=󰋴٥٦.٢٢٢٢

نلاحظ أن هذه المسافة تساوي بالضبط نصف القطر؛ لذا، تكون الإجابة أن النقطة (٨،٩) لا بد أنها تقع على الدائرة.

لمساعدتنا في تصوُّر الحل، يمكننا رسم الشكل التالي، مع ملاحظة أن الإحداثيين يقعان على مسافة متساوية طولها 󰋴٥٦ وحدة طول من المركز، (٧،١).

وعلى الرغم من أن هذين الإحداثيين يقعان على استقامة واحدة، ليس من الضروري أن يقع كلاهما على محيط الدائرة.

نلخِّص الآن النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • تنص نظرية فيثاغورس على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعَي طولَي الضلعين القصيرين. للوتر، 𞸢، والضلعين القصيرين، 󰏡، 𞸁، تنص نظرية فيثاغورس على الآتي: 󰏡+𞸁=𞸢.٢٢٢
  • المسافة، 𞸐، بين نقطتين إحداثياتهما 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒.٢١٢٢١٢
  • عند استخدام صيغة المسافة السابقة مع إحداثيات نقطتين معلومتين، يمكننا التعويض بأي مجموعة إحداثيات عن قيمتَي 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ و󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢.
  • عند استخدام صيغة المسافة لإيجاد إحداثي مجهول عند مسافة مُعطاة من مجموعة إحداثيات أخرى، قد يوجد أكثر من حل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.