نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد المسافة بين نقطتين على المستوى الإحداثي باستخدام نظرية فيثاغورس.
لنبدأ بتذكر نظرية فيثاغورس. ثم سنرى كيف يمكننا استخدام هذه النظرية لوضع صيغة تتيح لنا إيجاد المسافة بين أي نقطتين إحداثيتين. تنص نظرية فيثاغورس على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين. عادة ما نرى هذا معطى في الرسم، حيث يرمز إلى الضلعين القصيرين في المثلث القائم الزاوية بالحرفين ﺃ وﺏ، وإلى الوتر، أي الضلع الأطول، بالحرف ﺟ. لذا، بحسب نظرية فيثاغورس، يمكننا القول إن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع.
والآن، لنر كيف يمكننا استخدام هذه النظرية لإيجاد المسافة بين نقطتين في مستوى إحداثي. لنتناول هذا المثال على الخط الواصل بين النقطتين سالب اثنين، وواحد؛ وثلاثة، وأربعة. لاحظ أنه يمكننا أن نصنع مثلثًا قائم الزاوية باستخدام الوتر الواصل بين النقطتين. تتكون زاوية قائمة عند النقطة التي إحداثياها ثلاثة، واحد، حيث يتلاقى الخط الرأسي المرسوم من النقطة ثلاثة، أربعة مع الخط الأفقي المرسوم من النقطة سالب اثنين، واحد. يمكننا تحديد أن المسافة الأفقية من سالب اثنين، واحد إلى ثلاثة، واحد تساوي خمس وحدات؛ وأن المسافة الرأسية من ثلاثة، واحد إلى ثلاثة، أربعة تساوي ثلاث وحدات.
أصبح لدينا الآن معلومات كافية لتطبيق نظرية فيثاغورس. إذا افترضنا أن ﺃ يساوي ثلاث وحدات وأن ﺏ يساوي خمس وحدات، فباستخدام نظرية فيثاغورس، ثلاثة تربيع زائد خمسة تربيع يساوي ﺟ تربيع. وبتبسيط هذا، نجد أن ٣٤ يساوي ﺟ تربيع. بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نجد أن الجذر التربيعي لـ ٣٤ يساوي ﺟ. ذلك يعني أننا حسبنا أن المسافة بين هاتين النقطتين الإحداثيتين تساوي الجذر التربيعي لـ ٣٤ وحدات طول.
إذن، بطريقة بسيطة للغاية، يمكننا أن نرى كيف يمكن لعد المربعات على المسافتين الرأسية والأفقية أن يتيح لنا أن نحسب المسافة بين نقطتين إحداثيتين باستخدام نظرية فيثاغورس. ولكن بالطبع هذا ليس حلًّا عمليًّا لإيجاد المسافة بين أي نقطتين إحداثيتين. علينا أن نرى كيف يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس دون رسم تمثيل بياني.
لنتناول حالة عامة نريد فيها إيجاد المسافة ﻑ بين نقطتين إحداثيتين هما ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين. كما رأينا سابقًا، نعرف أنه يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية باستخدام الخطوط الأفقية والرأسية. الرأس الثالث في هذا المثلث سيكون عند النقطة الإحداثية ﺱ اثنين، ﺹ واحد.
والآن، نريد إيجاد طول هاتين القطعتين المستقيمتين اللتين تشكلان الضلعين القصيرين. المسافة الأفقية بين النقطتين هي ﺱ اثنان ناقص ﺱ واحد، والمسافة الرأسية هي ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد. ولكن، قيمة كل من هاتين المسافتين يجب أن تكون موجبة دائمًا لكي تصلح هذه الطريقة. لذلك، للتعميم على أي قيمة موجبة أو سالبة لـ ﺱ واحد أو ﺹ واحد أو ﺱ اثنين أو ﺹ اثنين، علينا استخدام ترميز القيمة المطلقة. هذا سيشير إلى أن الطول عدد موجب لأن القيمة المطلقة لأي عدد موجبة.
بعد ذلك، عندما نطبق نظرية فيثاغورس، يمكننا افتراض أن أيًّا من هذين الضلعين هما ﺃ أو ﺏ، لذا نفترض أن ﺃ هو القيمة المطلقة لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، وأن ﺏ هو القيمة المطلقة لـ ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد. يمكننا بعد ذلك التعويض بهاتين القيمتين في نظرية فيثاغورس لإيجاد المسافة ﻑ بين النقطتين. ولكن إذا كنت قد رأيت هذه الصيغة من قبل، فربما تكون قد لاحظت أنه لا يوجد ترميز القيمة المطلقة. وذلك لأن الحدين ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد وﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد مربعان. أي عدد مربع سيكون موجبًا، ومن ثم لن تكون لدينا مشكلة وجود مسافات سالبة.
ومن ثم، عندما نعوض بهذين الحدين في نظرية فيثاغورس، يمكننا ببساطة أن نكتب أن ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع يساوي ﻑ تربيع. وحيث إننا لا نريد إيجاد قيمة ﻑ تربيع، وإنما قيمة ﻑ، فعلينا أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة. هذا يعني أننا قد اشتققنا صيغة لمساعدتنا على حساب المسافة بين أي نقطتين على المستوى الإحداثي.
هيا ندون هذه الصيغة، والتي عادة ما يشار إليها باسم صيغة المسافة. المسافة ﻑ بين نقطتين إحداثياتهما ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنان، ﺹ اثنان تعطى بالصيغة ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع.
والآن، دعونا نر كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة في الأمثلة التالية.
أوجد المسافة بين النقطة سالب اثنين، أربعة ونقطة الأصل.
يمكننا تذكر صيغة المسافة التي تنص على أن المسافة ﻑ بين ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين تعطى بالصيغة ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع. معطى لنا نقطتان. إحداهما هي سالب اثنين، أربعة، والأخرى هي نقطة الأصل، والتي يمكن أن تعطى على صورة الإحداثيات صفر، صفر. هيا نحدد الإحداثيات صفر، صفر بأنها قيمتا ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وسالب اثنين، أربعة بأنها قيمتا ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. ولكن لا يهم أي إحداثيات نعرف بها هذه القيم.
بالتعويض بهذه القيم في الصيغة نجد أن ﻑ يساوي الجذر التربيعي لسالب اثنين ناقص صفر تربيع زائد أربعة ناقص صفر تربيع. يمكننا بعد ذلك تبسيط كل مجموعة من الأقواس وتربيع القيم، مما يعطينا أن المسافة ﻑ تساوي جذر ٢٠ وحدة طول. يمكننا ترك إجابتنا على هذه الصورة الجذرية حيث إنه لم يكن مطلوبًا منا إعطاء إجابتنا على صورة عدد عشري. لكن يمكننا بالطبع تبسيط هذا الجذر أكثر قليلًا. حيث إن جذر ٢٠ يمكن كتابته على صورة جذر أربعة في جذر خمسة، إذن يمكن تبسيط هذا ليعطينا الإجابة الممثلة للمسافة وهي اثنان جذر خمسة وحدة طول.
قبل أن ننتهي من هذا السؤال، يجدر توضيح أنه لا يهم أي إحداثيات نشير إليها على أنها قيمتا ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وأيها نشير إليها على أنها قيمتا ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. لنر ما يحدث عندما نبدل هذه القيم. يمكننا تحديد النقطة سالب اثنين، أربعة بأنها تمثل قيمتي ﺱ واحد، ﺹ واحد. بالتعويض بهذه القيم في الصيغة نجد أن ﻑ يساوي الجذر التربيعي لصفر ناقص سالب اثنين تربيع زائد صفر ناقص أربعة تربيع. عندما نبسط هذا، يمكننا أن نرى أننا ننتهي إلى نفس الإجابة وهي اثنان جذر خمسة وحدة طول. هذه هي نتيجة تربيع كل من قيم ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد وﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، وهو ما ينتج عنه دومًا قيمة موجبة. استخدام أي من العمليتين الحسابيتين يعطينا الحل، وهو أن المسافة بين سالب اثنين، أربعة ونقطة الأصل هي اثنان جذر خمسة وحدة طول.
في المثال التالي، سنرى كيفية إيجاد إحداثي ناقص بمعلومية المسافة بين نقطتين.
المسافة بين النقطتين ﺃ، خمسة وواحد، واحد تساوي خمسة. ما قيم ﺃ الممكنة؟
للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر صيغة المسافة وأن نستخدمها. وتنص هذه الصيغة على أن المسافة ﻑ بين ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين تعطى بالصيغة ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع. من الشائع جدًّا استخدام هذه الصيغة ببساطة لإيجاد قيمة المسافة بين نقطتين. ولكن في هذا السؤال، نعرف من المعطيات أن المسافة تساوي خمسة، ومن ثم ذلك يعني أن ﻑ يساوي خمسة.
ومن ثم، يمكننا تحديد أن الإحداثيات واحد، واحد تأخذ قيمتي ﺱ واحد، ﺹ واحد، ومع ذلك لا يهم إذا حددنا هذه الإحداثيات بأنها ﺱ اثنان، ﺹ اثنان. النقطة الإحداثية الثانية، التي بها القيمة المجهولة ﺃ، يمكن تحديدها بأنها قيمتا ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. بالتعويض بهذه القيم في الصيغة نجد أن خمسة يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ ناقص واحد تربيع زائد خمسة ناقص واحد تربيع. بالتبسيط داخل الجذر التربيعي، نعرف أن خمسة ناقص واحد يساوي أربعة وأربعة تربيع يساوي ١٦.
وحيث إننا نريد إيجاد قيمة ﺃ، فالخطوة التالية هي تربيع الطرفين. يعطينا هذا خمسة تربيع يساوي ﺃ ناقص واحد تربيع زائد ١٦. نعرف أن خمسة تربيع يساوي ٢٥. ومن ثم، في الخطوة التالية من التبسيط، نطرح ١٦ من كلا طرفي المعادلة، فيتبقى تسعة يساوي ﺃ ناقص واحد تربيع. بعد ذلك، سنأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة. ولكن بما أن مربع أي عدد سالب يكون موجبًا، إذن يجب أن نأخذ في الاعتبار كلًّا من الجذر الموجب والسالب. ويمكننا فعل هذا باستخدام علامة الزائد والناقص.
بإيجاد الجذر التربيعي لتسعة، يتبقى لدينا المعادلة موجب أو سالب ثلاثة يساوي ﺃ ناقص واحد. هذا يعني أن لدينا معادلتين. ﺃ ناقص واحد يساوي موجب ثلاثة، وﺃ ناقص واحد يساوي سالب ثلاثة. في الحالة التي يكون فيها ﺃ ناقص واحد يساوي موجب ثلاثة، يمكننا الحل لإيجاد قيمة ﺃ لنجد أن ﺃ يساوي أربعة. وفي الحالة التي يكون فيها ﺃ ناقص واحد يساوي سالب ثلاثة، فإن ﺃ يساوي سالب اثنين.
ومن ثم، يمكننا أن نجيب بأن قيمتي ﺃ الممكنتين هما ﺃ يساوي سالب اثنين أو أربعة. لعل أفضل طريقة لفهم السبب في أنه يوجد أكثر من حل واحد هي رسم شكل توضيحي مبسط. كان لدينا في معطيات السؤال نقطة إحداثية كاملة هي واحد، واحد. وكان لدينا أيضًا في المعطيات النقطة الإحداثية ﺃ، خمسة. يمكننا التفكير في ﺃ، خمسة باعتبار أن إحداثي ﺱ لها مجهول، ولكن إحداثي ﺹ لها هو خمسة. ذلك يعني أن الإحداثي الناقص لا بد أن يقع في مكان ما على الخط المستقيم الذي معادلته ﺹ يساوي خمسة.
عرفنا من المعطيات أن المسافة من ﺃ، خمسة إلى واحد، واحد هي خمس وحدات. لذا يوجد في الواقع احتمالان. إحداثيات النقطتين اللتين تبعدان مسافة تساوي خمس وحدات من النقطة واحد، واحد، واللتين تقعان على الخط المستقيم ﺹ يساوي خمسة، هي سالب اثنين، خمسة، وأربعة، خمسة. يجدر ملاحظة أنه يوجد عدد لا نهائي من الإحداثيات الممكنة التي تبعد فحسب مسافة خمس وحدات من النقطة واحد، واحد. كل هذه الإحداثيات تكون دائرة نصف قطرها خمس وحدات من النقطة واحد، واحد. ولكن في هذا السؤال، كنا مقيدين بحقيقة أن الإحداثي ﺹ للنقطة ﺃ، خمسة هو خمسة. لذا كان يوجد حلان ممكنان فقط. يقع هذان الحلان عند ﺃ يساوي سالب اثنين أو أربعة.
في المثال التالي، سنرى مسألة تتضمن دائرة. ولكن بمعلومية أن الدائرة مرسومة على مستوى إحداثي وبمعلومية المركز ونقطة على محيط الدائرة، هذا يعني أنه يمكننا تطبيق صيغة المسافة لحساب نصف قطرها.
تقع النقطة سالب ستة، سبعة على الدائرة التي مركزها سالب سبعة، سالب واحد. حدد هل النقطة سالب ثمانية، سالب تسعة تقع على الدائرة أم داخلها أم خارجها.
هيا نبدأ هذه المسألة بتمثيل المعطيات الموجودة لدينا على شكل توضيحي. نعرف من المعطيات أن النقطة سالب ستة، سبعة تقع على دائرة مركزها سالب سبعة، سالب واحد، وهو ما يعني أن النقطة سالب ستة، سبعة تقع على محيط هذه الدائرة. بعد ذلك نريد تحديد أين تقع هذه النقطة الثالثة، التي إحداثياتها سالب ثمانية، سالب تسعة، بالنسبة إلى الدائرة.
توجد في الواقع ثلاثة احتمالات. الاحتمال الأول أن النقطة سالب ثمانية، سالب تسعة تقع هي الأخرى على الدائرة. الاحتمال الثاني أن النقطة سالب ثمانية، سالب تسعة تقع داخل الدائرة. أما الاحتمال الثالث فهو أن النقطة سالب ثمانية، سالب تسعة تقع خارج الدائرة. على الرغم من أننا رسمنا هنا بعض الأشكال التوضيحية، فإنها ليست دقيقة بما يكفي لأن تتيح لنا تحديد هذا. وحتى إذا رسمنا شكلًا توضيحيًّا دقيقًا جدًّا، فلن يكون، مع ذلك، كافيًا لتحديد هذا. بدلًا من ذلك، علينا إيجاد طريقة جبرية لتحديد أين تقع النقطة سالب ثمانية، سالب تسعة بالضبط. إذن، كيف نحدد أين تقع هذه النقطة سالب ثمانية، سالب تسعة، بالنسبة إلى الدائرة؟
الأمر الأول الذي ينبغي علينا إدراكه هو أننا إذا عرفنا المسافة من النقطة سالب ستة، سبعة إلى المركز سالب سبعة، سالب واحد، فإنها ستمثل نصف قطر الدائرة. لنقل إن هذه القيمة هي نق. ومن ثم إذا حددنا المسافة من المركز إلى النقطة سالب ثمانية، سالب تسعة، فسيكون بوسعنا مقارنة هذا بطول نصف القطر. إذا كانت المسافة مساوية لطول نصف القطر، فإن النقطة سالب ثمانية، سالب تسعة تقع على الدائرة. أما إذا كانت المسافة أقل من طول نصف القطر، فإن النقطة سالب ثمانية، سالب تسعة تقع داخل الدائرة. الاحتمال الأخير هو أنه إذا كانت المسافة أكبر من طول نصف القطر، فإن النقطة سالب ثمانية، سالب تسعة تقع خارج الدائرة.
نتذكر أنه يمكننا إيجاد المسافة بين نقطتين ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين باستخدام صيغة المسافة، والتي تنص على أن المسافة ﻑ بين نقطتين تعطى على صورة الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع. هيا إذن نبدأ بإيجاد قيمة طول نصف القطر هذا بين النقطة سالب سبعة، سالب واحد والنقطة سالب ستة، سبعة. عندما نعوض بهذه القيم في الصيغة، علينا أن نكون حذرين جدًّا لأنه يوجد الكثير من القيم السالبة للإحداثيات هنا، لذا يجب أن نتذكر أن ندرجها جميعها. بعد ذلك يمكننا تبسيط هذا ليعطينا ﻑ يساوي واحد تربيع زائد ثمانية تربيع. ومن ثم حددنا أن ﻑ، الذي يمثل طول نصف القطر، يساوي جذر ٦٥ وحدة طول.
والآن، هيا نستخدم نفس الصيغة لإيجاد المسافة بين المركز سالب سبعة، سالب واحد والنقطة سالب ثمانية، سالب تسعة. يمكن إيجاد المسافة ﻑ بالتعويض بالقيم في الصيغة ليعطينا الجذر التربيعي لسالب سبعة ناقص سالب ثمانية تربيع زائد سالب واحد ناقص سالب تسعة تربيع. عندما نبسط، نجد أن المسافة بين هاتين النقطتين هي جذر ٦٥ وحدة طول. في الواقع، هذا الطول يساوي بالضبط طول نصف القطر. ومن ثم يمكننا أن نجيب بأن النقطة سالب ثمانية، سالب تسعة لا بد أن تقع على الدائرة.
يمكننا الآن أن نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. بدأنا بتذكر أن نظرية فيثاغورس تنص على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين. بعد ذلك اشتققنا صيغة المسافة، والتي تنص على أن المسافة ﻑ بين نقطتين إحداثياتهما ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنان، ﺹ اثنان تعطى على صورة ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع. نلاحظ أنه عند استخدام صيغة المسافة مع إحداثيات نقطتين، يمكننا التعويض بأي مجموعة إحداثيات عن قيمتي ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين. وأخيرًا، كما رأينا في المثال الثاني، عند استخدام صيغة المسافة لإيجاد إحداثي مجهول لنقطة تبعد مسافة معطاة من نقطة لها مجموعة إحداثيات أخرى، فقد يوجد أكثر من حل.
