نسخة الفيديو النصية
أوجد المعادلات البارامترية للخط المستقيم الذي يمر بنقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ؛ حيث النقطة ﺃ تساوي اثنين، سالب واحد، والنقطة ﺏ تساوي أربعة، ثلاثة، ويمر الخط المستقيم بالنقطة اثنين، سالب ثلاثة. الخيار أ: ﺱ يساوي واحدًا ناقص أربعة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ناقص ﻙ. الخيار ب: ﺱ يساوي ثلاثة زائد ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا ناقص أربعة ﻙ. الخيار ج: ﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا ناقص أربعة ﻙ. الخيار د: ﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﻙ، وﺹ يساوي واحدًا زائد أربعة ﻙ. الخيار هـ: ﺱ يساوي سالب ثلاثة ناقص ﻙ، وﺹ يساوي سالب واحد ناقص أربعة ﻙ.
في هذا السؤال، المطلوب هو إيجاد المعادلات البارامترية لخط مستقيم. لذا، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بالمعادلات البارامترية للخط المستقيم. إنهما معادلتان على الصورة ﺱ يساوي ﺱ واحد زائد ﺃ في ﻙ، وﺹ يساوي ﺹ واحد زائد ﺏ في ﻙ؛ حيث ﺱ واحد، ﺹ واحد أي نقطة تقع على الخط المستقيم، وﺃﺏ أي متجه غير صفري يوازي الخط المستقيم. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد عدد لا نهائي من المعادلات البارامترية التي تمثل الخط المستقيم نفسه؛ وذلك لأن بإمكاننا اختيار أي نقطة تقع على الخط المستقيم للتعويض بها عن ﺱ واحد، ﺹ واحد، واختيار أي متجه غير صفري ﺃﺏ يوازي الخط المستقيم.
يمكننا أن نبدأ الحل بالرجوع إلى معطيات السؤال وملاحظة أن الخط المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها اثنان، سالب ثلاثة. إذن، يمكننا أن نجعل ﺱ واحد يساوي اثنين وﺹ واحد يساوي سالب ثلاثة. ولكن، إذا نظرنا إلى الخيارات المعطاة، سنلاحظ أمرًا مهمًّا للغاية. في جميع الخيارات الخمسة المعطاة، نلاحظ أن هذه النقطة ليست النقطة التي تم التعويض بها عن ﺱ واحد، ﺹ واحد. إذن، على الرغم من أنه يمكننا اختيار هذه النقطة للتعويض بها عن ﺱ واحد، ﺹ واحد، فإنها لن تعطينا أيًّا من الخيارات الخمسة الموضحة. لذا دعونا لا نستخدم هذه النقطة.
بدلًا من ذلك، يمكننا أيضًا ملاحظة أن الخط المستقيم يمر بنقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ. لذا، دعونا نوجد إحداثيات نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ. وسنسمي هذه النقطة ﺟ. يمكننا إيجاد إحداثيات نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة بمعلومية إحداثيات طرفيها؛ وذلك عن طريق إيجاد متوسط إحداثيات ﺱ ومتوسط إحداثيات ﺹ. متوسط إحداثيات ﺱ للنقطتين ﺃ، ﺏ يساوي اثنين زائد أربعة على اثنين. ومتوسط إحداثيات ﺹ للنقطتين ﺃ، ﺏ يساوي سالب واحد زائد ثلاثة على اثنين. يمكننا حساب قيمة كل من الإحداثيين. ومن ثم، نحصل على ﺟ وهي النقطة ثلاثة، واحد.
نعرف إذن أن الخط المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها ثلاثة، واحد. ومن ثم، يمكننا التعويض بـ ﺱ واحد يساوي ثلاثة وﺹ واحد يساوي واحدًا في المعادلتين البارامتريتين. لكننا لم ننته بعد. علينا أيضًا إيجاد المتجه الموازي للخط المستقيم. ولفعل ذلك، علينا ملاحظة أن الخط المستقيم يمر بالنقطة ﺟ، ويمر أيضًا بالنقطة التي إحداثياتها اثنان، سالب ثلاثة. إذا أضفنا هذه النقطة إلى الشكل ورسمنا أيضًا القطعة المستقيمة بين النقطة ﺟ والنقطة اثنين، سالب ثلاثة، فسيصبح لدينا الشكل الموضح. وبما أن لدينا طرفي هذه القطعة المستقيمة، يمكننا استخدامهما لإيجاد متجه مواز لهذا الخط المستقيم.
يمكننا فعل ذلك بحساب الفرق بين متجهي الموضع للطرفين. لكن الترتيب الذي سنختار به متجهي الموضع سيحدد اتجاه المتجه الموازي للمستقيم. مثلًا، يمكننا اختيار أن تكون نقطة نهاية المتجه عند النقطة اثنين، سالب ثلاثة. سنسمي هذا المتجه ﺭ، ويمكن إيجاد مركبات المتجه ﺭ بطرح متجه الموضع لنقطة بداية هذا المتجه من متجه الموضع لنقطة نهايته. وعليه، فإن ﺭ سيساوي المتجه اثنين، سالب ثلاثة ناقص المتجه ثلاثة، واحد. نوجد قيمة المتجه بطرح مركباته. ومن ثم، فإن المتجه ﺭ يساوي اثنين ناقص ثلاثة، سالب ثلاثة ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب واحد، سالب أربعة.
قبل أن نستخدم هاتين القيمتين للتعويض بهما عن ﺃ، ﺏ، تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا أن نختار ضرب هذا المتجه في أي عدد ثابت لا يساوي صفرًا، وفي هذه الحالة سيظل المتجه الناتج موازيًا للخط المستقيم. مثلًا، قد نرغب في اختيار المتجه واحد، أربعة، وهو المتجه الناتج عن ضرب هذا المتجه في سالب واحد، وأيضًا يمكننا ملاحظة أن هذا المتجه الذي قد نختاره هو الناتج الدقيق الذي سنحصل عليه عند التعويض عن النقطتين بالترتيب العكسي، وبعبارة أخرى تبديل اتجاه المتجه ﺭ.
لكن هذا ليس ضروريًّا. وذك لأننا إذا نظرنا إلى الخيار ج، نلاحظ أن النقطة ثلاثة، واحد التي تقع على الخط المستقيم هي النقطة ﺟ التي وجدناها. وإذا نظرنا إلى معاملي البارامترين، فسنجد أن متجه الاتجاه هو سالب واحد، سالب أربعة. ومن ثم، إذا جعلنا ﺱ صفرًا يساوي ثلاثة، ﺹ صفرًا يساوي واحدًا، ﺃ يساوي سالب واحد، ﺏ يساوي سالب أربعة، فسنحصل على المعادلتين البارامتريتين ﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﻙ، ﺹ يساوي واحدًا ناقص أربعة ﻙ؛ وهذا هو الخيار ج.
