شارح الدرس: العلاقات والدوال الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: تحديد إذا ما كانت العلاقة تُمثل دالةً من مخطط العلاقة

حدِّد إذا ما كانت العبارة الآتية صوابًا أو خطأ: الشكل المُعطَى يُمثِّل دالة.

الحل

نبدأ بتذكر أن الدالة هي علاقة تربط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط. وفي المخطط السهمي، يوضِّح لنا السهم كيف تربط العلاقة بين عناصر كلتا المجموعتين. فإذا كان عنصران متصلين بسهم، فإننا نقول إنهما مرتبطان.

لكي تُمثل هذه العلاقة دالة، يجب أن ترتبط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط. وهذا يعني أن كل عنصر في المجموعة يجب أن يرتبط بعنصر واحد فقط في المجموعة . ولكننا نلاحظ من المخطَّط أن العنصر ٥ في المجموعة مرتبط بعنصرين في المجموعة .

ومن ثَمَّ، نظرًا لأن الدالة لا يمكن أن تربط قيمة مدخلة واحدة بقيمتين مخرجتين مختلفتين، فإن هذه العلاقة لا يمكن أن تُمثِّل دالة؛ ومن ثَمَّ تكون العبارة خاطئة.

مثال ٢: تحديد العلاقات التي تُمثل دوالَّ من خلال مخطط العلاقة

أي من العلاقات الآتية يمثل دالة؟

الحل

نبدأ بتذكر أن الدالة هي علاقة تربط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط. وفي المخطط السهمي، توضِّح لنا الأسهم كيف تربط العلاقة بين عناصر كلتا المجموعتين؛ فإذا كان عنصران متصلين بسهم، فإننا نقول إنهما مرتبطان.

ومن ثَمَّ، لكي تُمثل علاقة في صورة مخطط سهمي دالةً ما، يجب أن يتحقق شرطان:

1. بما أن كل قيمة مدخلة لا بد أن ترتبط بقيمة مخرجة، فإن كل عنصر في المجموعة الأولى يجب أن يخرج منه سهم.
2. بما أن كل قيمة مدخلة لا بد أن ترتبط بقيمة مخرجة واحدة فقط، فإن كل قيمة مدخلة يجب أن يخرج منها سهم واحد فقط.

يمكننا دمج هاتين العبارتين في عبارة واحدة؛ ومع ذلك، يكون من السهل عادةً التحقُّق من كل شرط على حدة. هيا نتحقق الآن من كِلا الشرطين في كل علاقة من العلاقات الموضَّحة في المخطَّطات السهمية المعطاة.

في الشكل (أ)، نلاحظ أن القيمة المدخلة غير مرتبطة بأي قيمة مخرجة؛ ولذلك، فهذه العلاقة لا تُمثل دالة.

في الشكل (ب)، نلاحظ أن كل قيمة مدخلة مرتبطة بقيمة مخرجة؛ ولكن القيمة المدخلة مرتبطة بقيمتين مخرجتين. ولذلك، فإن هذه العلاقة لا تُمثل دالة.

في الشكل (ج)، نلاحظ أن كل قيمة مدخلة مرتبطة بقيمة مخرجة، وأن كلًّا منها مرتبطة بقيمة مخرجة واحدة فقط. ولذلك، فإن هذه العلاقة تُمثل دالة.

ومن ثَمَّ، فإن العلاقة في الشكل (ج) هي فقط التي تُمثل دالة.

مثال ٣: تحديد إذا ما كانت العلاقة تُمثل دالةً من جدول

أيُّ علاقة من العلاقتين التاليتين تُمثِّل دالةً، إذا كان هو القيمة المدخلة، هو القيمة المخرجة؟

الحل

نبدأ بتذكر أن الدالة هي علاقة تربط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط. وفي الجدول، عادةً ما يُشير العنصر الأول إلى القيمة المدخلة، بينما يُشير العنصر الثاني المناظر إلى القيمة المخرجة المرتبطة بها.

ومن ثَمَّ، لكي يُمثل جدول دالةً ما، يجب أن ترتبط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة، كما يجب أن ترتبط بقيمة مخرجة واحدة فقط. بعبارة أخرى، لا يمكن أن ترتبط قيمة مدخلة بقيمتين مخرجتين مختلفتين (أو أكثر). ويمكننا التحقُّق من كل علاقة على حدة لمعرفة إذا ما كانتَا تستوفيان هذين الشرطين.

في العلاقة أ، نلاحظ أنه لا يوجد فراغ في قيم المجموعة ، ما يعني أن كل قيمة مدخلة ترتبط بقيمة مخرجة. بعد ذلك، نلاحظ أن كل قيمة من قيم المجموعة تظهر مرة واحدة فقط؛ ما يعني أنه لا توجد أي قيمة مدخلة مرتبطة بعدة مخرجات. وعليه، فإن العلاقة أ تُمثل دالة.

في العلاقة ب، نلاحظ أنه لا يوجد فراغ في قيم المجموعة ، ما يعني أن كل قيمة مدخلة ترتبط بقيمة مخرجة. بعد ذلك، نلاحظ أن القيمة المدخلة تتكرَّر في الجدول.

هذا يعني أنه في العلاقة ب، ترتبط القيمة المدخلة بعنصرين مختلفين في المجموعة ، وهما ٦ و٢٠. وفي الدالة، نعلم أن العلاقة تربط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط؛ لذا لا يمكن أن تُمثل هذه العلاقة دالة.

ومن ثَمَّ، فإن العلاقة أ هي فقط التي تُمثِّل دالة.

مثال ٤: تحديد إذا ما كانت العلاقة تُمثل دالة من مجموعة من الأزواج المرتبة

أيُّ علاقة من العلاقتين التاليتين تُمثِّل دالةً؟

الحل

نبدأ بتذكُّر أن الدالة هي علاقة تربط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط. وفي الزوج المرتب، أيْ ، يرتبط العنصر الأول بالعنصر الثاني.

ومن ثَمَّ، لكي تُمثل مجموعة من الأزواج المرتبة (تُسمى علاقة) دالةً ما، لا يمكن أن يرتبط العنصر الأول نفسه بعنصرين ثانيين مختلفين. ويمكننا التحقُّق من ذلك عن طريق تحديد العلاقة التي بها عناصر أولى مختلفة.

في العلاقة أ، نلاحظ أن ٤ يرتبط بعنصرين في المجموعة الثانية، وهما ١٢ و١٥. وبالمثل، يرتبط ٥ بكلٍّ من ١٨ و٢١. ومن ثَمَّ، فإن هذه العلاقة لا تُمثل دالة.

في العلاقة ب، نلاحظ أن كل زوج من الأزواج المرتبة يحتوي على عنصر أول وحيد؛ لذا يمكننا القول إن هذه العلاقة تُمثل دالة. ويمكننا رؤية ذلك بوضوح أكثر من خلال إنشاء مخطط سهمي يُمثل كل علاقة على حدة.

في العلاقة أ، يوجد عنصران في مجموعة المدخلات يرتبط كلٌّ منهما بعنصرين في مجموعة المخرجات؛ لذا فهذه العلاقة لا تُمثل دالة. وفي العلاقة ب، نلاحظ أن كل عنصر في مجموعة المدخلات يرتبط بعنصر واحد فقط في مجموعة المخرجات، لذا فهذه العلاقة تُمثل دالة.

وعليه، فإن الإجابة هي أن العلاقة ب تُمثل دالة.

مثال ٥: تحديد الدوال من التمثيلات البيانية

أيُّ العلاقتين الآتيتين تُمثِّل دالة، علمًا أن القيمة المُدخَلة، القيمة المُخرَجة؟

الحل

نبدأ بتذكر أن الدالة هي علاقة تربط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط. وأيُّ نقطة تقع على التمثيل البياني للعلاقة هي زوج مرتب يخبرنا بأن مرتبط بـ .

بما أننا نعلم أن القيمة المدخلة، القيمة المخرجة، ففي هذين التمثيلين البيانيين، يوضِّح الإحداثي لنقطةٍ ما على التمثيل البياني القيمة المدخلة، بينما يوضِّح الإحداثي المناظر القيمة المخرجة التي ترتبط بها.

ومن ثَمَّ، بما أن الدالة لا بد أن تربط كل عنصر من مجموعة المدخلات بعنصر واحد فقط من مجموعة المخرجات، فلا يمكن أن ترتبط نقطتان مختلفتان على التمثيل البياني لدالة بالإحداثي س نفسه. وإلا، فإننا نربط قيمتين مخرجتين بالقيمة المدخلة نفسها. وهذا يُذكرنا باختبار الخط الرأسي.

في الشكل (أ)، نلاحظ أن هناك العديد من النقاط على التمثيل البياني التي ترتبط بالإحداثي نفسه.

على سبيل المثال، يمكننا ملاحظة أن النقطتين ، تقعان على التمثيل البياني لهذه العلاقة، وأن كِلتيهما تقعان على الخط الرأسي . وعليه، فإن هذه العلاقة لا يمكن أن تُمثل دالة؛ نظرًا لأنه لا يمكننا ربط القيمة المدخلة نفسها بقيمتين مُخرجتين.

للتحقُّق من العلاقة في الشكل (ب)، ننظر إلى أيِّ خط رأسي على التمثيل البياني. على سبيل المثال، .

نلاحظ أن هذا الخط يتقاطع مع التمثيل البياني للعلاقة مرة واحدة فقط؛ ومن ثَمَّ توجد نقطة واحدة على التمثيل البياني لهذه العلاقة يكون الإحداثي لها هو ٢. وينطبق الأمر نفسه على أيِّ خط رأسي، أيْ ترتبط كل قيمة بقيمة واحدة فقط.

ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن العلاقة في الشكل (ب) تُمثل دالة.

مثال ٦: تحديد إذا ما كانت العلاقة الممثَّلة بالمخطط البياني تُمثِّل دالة

أيٌّ من المخططات البيانية الآتية يمثِّل دالة من إلى ؛ حيث ؟

الحل

نبدأ بتذكُّر أن الدالة هي علاقة تربط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط. وأيُّ نقطة تقع على التمثيل البياني للعلاقة هي زوج مرتب يخبرنا بأن مرتبط بـ .

في المخطط البياني، عادةً ما يُمثل الإحداثي الأفقي القيمة المدخلة، ويُمثل الإحداثي الرأسي القيمة المخرجة.

ومن ثَمَّ، بما أن الدالة لا بد أن تربط كل عنصر من مجموعة المدخلات بعنصر واحد فقط من مجموعة المخرجات، فلا بد أن يتحقَّق الشرطان التاليان لكي يُمثل التمثيل البياني دالة من إلى :

1. بما أن كل قيمة مدخلة لا بد أن ترتبط بقيمة مخرجة، فيجب أن تكون هناك نقطة على التمثيل البياني يكون الإحداثي لها يساوي كل عنصر من عناصر المجموعة .
2. بما أنه لا يمكننا ربط قيمتين مخرجتين بالقيمة المدخلة نفسها، فلن تكون هناك نقطتان مختلفتان على التمثيل البياني لهما الإحداثي نفسه.

والآن، يمكننا التحقُّق من كلِّ تمثيل بياني على حدة لنتحرَّى استيفاء كل شرط من هذين الشرطين.

أولًا، في المخطط (أ)، نلاحظ أن إحداثيات النقاط الواقعة على التمثيل البياني هي ، . ويمكننا ملاحظة أن كل عنصر من عناصر المجموعة يُمثل الإحداثي لنقطة معينة، أيْ إن كل عنصر من عناصر المجموعة يرتبط بقيمة مخرجة. كما نلاحظ أيضًا أن كل عنصر يظهر مرة واحدة فقط؛ ما يعني أن كل عنصر يرتبط بقيمة مخرجة واحدة فقط؛ ومن ثَمَّ، فإن هذا المخطط البياني يُمثل دالة.

ثانيًا، في المخطط (ب)، يمكننا ملاحظة أنه لا توجد نقطة على التمثيل البياني يكون الإحداثي لها هو ٥.

بما أن الدالة لا بد أن تربط كل عنصر من عناصر مجموعة المدخلات بعنصر واحد في مجموعة المخرجات، فإننا نستنتج أن هذه العلاقة لا تُمثل دالة؛ نظرًا لأن العنصر ٥ غير مرتبط بأي قيمة مخرجة.

ثالثًا، لدينا حالة مماثلة في المخطط (ج).

لا يرتبط العنصر ١١ بأيِّ قيمة مخرجة؛ ومن ثَمَّ لا يمكن أن تُمثل هذه العلاقة دالة.

وأخيرًا، في المخطط (د)، يمكننا أن نلاحظ أن كل قيمة مدخلة ترتبط بقيمة مخرجة. لكن يمكننا أيضًا ملاحظة أن العنصر ٧ مرتبط بقيمتين مخرجتين.

بما أن النقطتين ، تقعان على التمثيل البياني لهذه العلاقة، فإن العلاقة تربط العنصر ٧ بقيمتين مختلفتين، وهما ٧ و٩. ونحن نعلم أن الدالة يمكنها ربط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط؛ لذا فإن هذه العلاقة لا تُمثل دالة.

ومن ثَمَّ، فإن العلاقة في المخطط (أ) هي فقط التي تُمثل دالة من إلى .

مثال ٧: تحديد التعبيرات التي يمكن تعريفها على أنها دوال

أيُّ العلاقات الآتية لا تكون فيها دالة في المتغير ؟

1. .
2. .
3. .
4. .

الحل

نبدأ بتذكُّر أن الدالة هي علاقة تربط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط. كما نتذكر أيضًا أن العلاقة المعرفة بمعادلة تعني أن عنصر في هذه العلاقة إذا كان ، يحققان المعادلة.

ومن ثَمَّ، لكي تُمثَّل علاقة في صورة معادلة دالةً ما، يجب أن ترتبط كل قيمة مدخلة بقيمة واحدة ممكنة فقط التي تحقق المعادلة. يمكننا أولًا محاولة إعادة كتابة كل معادلة لجعل المتغير التابع.

نلاحظ أن الخيارات (أ)، (ب)، (د) معادلات يكون فيها في صورة متغير تابع بالفعل. كما نلاحظ أيضًا أننا إذا عوضنا بأي قيمة لـ في هذه المعادلات، فسنحصل على قيمة واحدة. ومن ثَمَّ، فإن كل هذه العلاقات تُمثل دوالَّ.

في الخيار (ج)، يمكننا محاولة إعادة ترتيب المعادلة لجعل المتغير التابع؛ حيث نضيف ١٨ إلى كِلا طرفي المعادلة لنحصل على:

بعد ذلك، نوجد الجذر التربيعي لكِلا طرفي المعادلة، حيث نلاحظ أننا نحصل على جذر موجب وآخر سالب:

هذا يجعلنا نلاحظ أن القيمة المدخلة يمكن أن ترتبط بعدة مخرجات؛ على سبيل المثال، إذا كان ، فإن:

إذن، ، ؛ ، هما حلان لهذه المعادلة. وبما أن كل قيمة ترتبط بقيم متعدِّدة، يمكننا استنتاج أن العلاقة في الخيار (ج) لا تُمثل دالة في المتغير .

مثال ٨: إيجاد قيم مجهولة بمعلومية دالة بين مجموعتين

إذا كان ، ؛ حيث دالة على ، فأوجد القيمة العددية للمقدار .

الحل

نبدأ بتذكر أن دالةً على المجموعة هي علاقة تربط كل «قيمة مدخلة»، أيْ عنصر من المجموعة ، «بقيمة مخرجة»، أيْ عنصر واحد فقط من المجموعة . ومن ثَمَّ، بما أن دالة معرفة على المجموعة ؛ فإنها علاقة معرفة على المجموعة ، ما يعني أنها مجموعة جزئية من . بعبارة أخرى، كل عنصر في هو زوج مرتب، حيث إن العنصر الأول في الزوج المرتب هو القيمة المدخلة، والعنصر الثاني هو القيمة المخرجة.

بما أن دالة، فيجب أن ترتبط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة؛ وهذا يعني أن كل عنصر في المجموعة لا بد أن يكون العنصر الأول في أحد الأزواج المرتبة للدالة ، ولا يمكن أن يظهر في أكثر من زوج مرتب واحد، وإلا فسيرتبط بقيمتين مخرجتين.

بما أن ، العنصران الأوليان في الزوجين المرتبين للدالة ، فإنهما قيمتان مدخلتان للدالة. وهذا يعني أن ؛ ويمكننا أيضًا ملاحظة أن القيمة المخرجة لـ هي والقيمة المخرجة لـ هي .

نلاحظ أن ؛ لذا يرتبط العنصر بالقيمة المخرجة ٩. وبما أن دالة، فلا يمكن أن يرتبط العنصر أيضًا بالقيمتين المخرجتين أو ؛ ما يعني أن كلًّا من ، لا يمكن أن يساوي .

عند هذه المرحلة، هناك احتمالان لكلٍّ من ، . نلاحظ أن ، لا يمكن أن يكونا متساويين، وإلا فسترتبط القيمة المدخلة نفسها بقيمتين مخرجتين. كما نلاحظ أيضًا أن المجموعة تتكون من ثلاثة عناصر فقط، ونحن نعلم أن كلًّا من ، لا يمكن أن يساوي ٩، إذن لدينا خياران: ، أو، .

كلا هذان الخياران يجعلان دالة؛ إذْ إن كل قيمة مدخلة من المجموعة ترتبط بقيمة مخرجة واحدة من المجموعة .

إذن، في كلتا الحالتين، .