فيديو الدرس: العلاقات والدوال الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الدوال، ونمثلها، ونتعرف عليها باستخدام المخططات الوصفية والمخططات السهمية والتمثيلات البيانية.

١٨:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الدوال، ونمثلها، ونتعرف عليها باستخدام المخططات الوصفية والمخططات السهمية والتمثيلات البيانية. سنبدأ الفيديو بشرح ما نعنيه بالعلاقات والدوال.

العلاقة أو الصلة هي وصف لخاصية بين عناصر مجموعتين. فإذا كان العنصر ﺃ ثلاثة من المجموعة الأولى تربطه هذه العلاقة بالعنصر ﺏ سبعة من المجموعة الثانية، يمكننا تمثيل هذه العلاقة بمخطط يوضحها. فنرسم سهمًا من ﺃ ثلاثة إلى ﺏ سبعة. لنتناول الآن مثالًا من الحياة الواقعية.

يمثل الشكل التالي علاقة «ابن أو ابنة أحد الأشخاص». المجموعة الأولى من الأسماء، أميرة، وندى، وسالي، ونادر، ومنى، هي أسماء الأبناء والبنات. والمجموعة الثانية من الأسماء هي أسماء الأمهات أو الآباء. إذا نظرنا إلى أميرة، فسنرى أنها ابنة مريم وماجد. إذن يمكننا استنتاج أن ندى وأميرة شقيقتان لأن مريم وماجد والدا كلتيهما. وسالي ونادر كلاهما لهما الأم نفسها، وهي لبنى، لكن والديهما مختلفان. فكريم هو والد سالي، وسامح هو والد نادر.

سنعرف الآن ما نعنيه بالدالة. الدالة هي نوع خاص من العلاقات التي تربط كل عنصر من عناصر المجموعة الأولى التي تسمى المدخلات، بعنصر واحد فقط من عناصر المجموعة الثانية التي تسمى المخرجات. وعندما نتحدث عن الدوال، تكون العناصر عادة أعدادًا. سنتناول أولًا مثالًا من الحياة الواقعية.

علاقة «يعيش في» هي دالة لأن كل شخص في المجموعة الأولى مرتبط بمدينة واحدة فقط في المجموعة الثانية. يمكننا أن نرى من الشكل أن هانا تعيش في ديترويت، وشادي يعيش في نيويورك، وكلًّا من رامي وياسمين يعيشان في بوسطن، ولا يعيش أي من هؤلاء الأربعة في شيكاجو. من الواضح أن هذه العلاقة دالة، حيث إن كل عنصر من عناصر المجموعة الأولى مرتبط بعنصر واحد فقط من المجموعة الأخرى. يخرج سهم واحد فقط من كل عنصر.

يمكن تمثيل العلاقات أيضًا في صورة مجموعة من الأزواج المرتبة. في هذه الحالة، سيكون لدينا أربعة أزواج مرتبة: سارة في ديترويت، وشادي في نيويورك، ورامي في بوسطن، وياسمين في بوسطن. الاسم الأول في الزوج المرتب هو القيمة المدخلة، والاسم الثاني، وهو المدينة في هذه الحالة، هو القيمة المخرجة. ولكي تكون العلاقة دالة، لا بد أن تكون جميع المدخلات غير متكررة.

سنتناول الآن بعض الأسئلة التي تتضمن العلاقات والدوال.

حدد إذا ما كانت الجملة الآتية صوابًا أو خطأ: الشكل المعطى يمثل دالة.

لدينا مجموعتان من القيم. فلدينا قيم ﺱ أو القيم المدخلة وهي أربعة وخمسة وثمانية، والقيم المخرجة ﺹ وهي اثنان وخمسة وسبعة وتسعة. ومطلوب منا تحديد ما إذا كان هذا الشكل يمثل دالة. نتذكر هنا أن الدالة هي علاقة يكون فيها كل عنصر في المجموعة الأولى أو المدخلات مرتبطًا بعنصر واحد فقط في المجموعة الثانية أو المخرجات. العدد أربعة في المجموعة الأولى مرتبط فقط بالعدد سبعة في المجموعة الثانية. وبالمثل، العدد ثمانية في المجموعة الأولى أو المدخلات مرتبط فقط بالعدد خمسة في المجموعة الثانية أو المخرجات.

حتى الآن، كل عنصر مرتبط بعنصر واحد فقط في المخرجات. لكن لدينا مشكلة في العدد خمسة في المدخلات؛ حيث إنه يرتبط بكل من العددين اثنين وتسعة. هذا يعني أن الشكل المعطى لا يمثل دالة وأن الإجابة هي «خطأ». فالشكل لا يمثل دالة؛ إذ إن العدد خمسة مرتبط بكل من العددين اثنين وتسعة.

في السؤال التالي، علينا تحديد أي شكل من الأشكال الثلاثة يمثل دالة.

أي من العلاقات الآتية يمثل دالة؟ هل هي (أ) ﺃ إلى واحد وﺟ إلى ثلاثة، أم (ب) ﺃ إلى واحد وﺏ إلى اثنين وﺟ إلى اثنين وﺟ إلى ثلاثة، أم (ج) ﺃ إلى ثلاثة وﺏ إلى واحد وﺟ إلى ثلاثة؟

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر تعريف الدالة. الدالة هي علاقة يكون فيها كل عنصر في المجموعة الأولى أو المدخلات مرتبطًا بعنصر واحد فقط في المجموعة الثانية. وهي تعرف بالمخرجات. الكلمتان الدلاليتان هنا هما «واحد فقط». في الخيار (أ)، الحرف ﺏ في المدخلات غير مرتبط بأي عدد في المخرجات. وهذا يعني أن هذه العلاقة لا تمثل دالة.

في الخيار (ب)، الحرفان ﺃ وﺏ مرتبطان بعنصر واحد فقط في المجموعة الثانية؛ إذ إن ﺃ مرتبط بالعدد واحد وﺏ مرتبط بالعدد اثنين. لكن الحرف ﺟ مرتبط بعنصرين في المجموعة الثانية؛ فهو مرتبط بالعدد اثنين والعدد ثلاثة. هذا يعني أن العلاقة (ب) أيضًا لا تمثل دالة.

في الخيار (ج)، الحرف ﺃ مرتبط بالعدد ثلاثة فقط. والحرف ﺏ مرتبط بالعدد واحد فقط. وأخيرًا، الحرف ﺟ مرتبط بالعدد ثلاثة فقط. إذن كل عنصر من المجموعة الأولى، أي الأحرف ﺃ وﺏ وﺟ، مرتبط بعنصر واحد فقط من المجموعة الثانية. وهذا يعني أن الإجابة الصحيحة هي (ج). هذه هي العلاقة الوحيدة التي تمثل دالة.

يتضمن السؤال التالي التعرف على دالة من جدول.

أي علاقة من العلاقتين التاليتين تمثل دالة إذا كان ﺱ هو القيمة المدخلة وﺹ هو القيمة المخرجة؟ تحتوي كل من العلاقة (أ) والعلاقة (ب) على خمس قيم مدخلة ﺱ، وخمس قيم مخرجة ﺹ مناظرة لها. على سبيل المثال، في العلاقة (أ)، القيمة المدخلة ﺱ التي تساوي سالب ثلاثة تعطينا القيمة المخرجة ﺹ التي تساوي ستة. في العلاقة (ب)، عندما ﺱ يساوي سالب اثنين، فإن ﺹ يساوي ستة.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر تعريف الدالة. الدالة هي علاقة يكون فيها لكل قيمة مدخلة قيمة مخرجة واحدة فقط. الكلمتان الدلاليتان هنا هما «واحدة فقط». في العلاقة (أ) لدينا خمس مدخلات مختلفة، وهي سالب ثلاثة، وصفر، وثلاثة، وثمانية، وسالب ١٠. وكل من هذه المدخلات له قيمة مخرجة واحدة فقط، وهي ستة وثمانية و٢٠ وأربعة وثمانية، على الترتيب. لا يهم هنا أن العدد ثمانية يظهر مرتين في المخرجات. فما يهم في أي دالة هو أن يكون لكل قيمة مدخلة، ﺱ، قيمة ﺹ واحدة فقط. في العلاقة (أ)، القيمة المدخلة صفر مرتبطة فقط بثمانية، والقيمة المدخلة سالب ١٠ مرتبطة فقط بثمانية. يمكننا إذن استنتاج أن العلاقة (أ) هي بالتأكيد دالة.

لنتناول الآن السبب في أن العلاقة (ب) ليست دالة. عند النظر إلى القيم المدخلة في العلاقة (ب)، نلاحظ أن العدد سالب اثنين يظهر مرتين. فالقيمة المدخلة سالب اثنين تعطينا القيمة المخرجة ستة، ولكنها تعطينا أيضًا القيمة المخرجة ٢٠. هذا يعني أن ليس لها قيمة مخرجة واحدة فقط. إذن، العلاقة (ب) ليست دالة؛ ما يؤكد أن الإجابة الصحيحة هي العلاقة (أ).

في السؤال التالي، سنلقي نظرة على الإحداثيات أو الأزواج المرتبة. كما ترى، هذا السؤال شبيه للغاية بالسؤال السابق. لكن البيانات هذه المرة مكتوبة في صورة أزواج مرتبة.

أي علاقة من العلاقات الآتية يمثل دالة؟ هل هي العلاقة (أ) أربعة، ١٢؛ وأربعة، ١٥؛ وخمسة، ١٨؛ وخمسة، ٢١؛ وستة، ٢٤ ؟ أم العلاقة (ب) أربعة، ١٢؛ وخمسة، ١٥؛ وستة، ١٨؛ وسبعة، ٢١؛ وثمانية، ٢٤ ؟

نتذكر هنا أنه لكي تعبر العلاقة عن دالة، لا بد أن يكون لكل قيمة ﺱ أو قيمة مدخلة قيمة ﺹ أو قيمة مخرجة واحدة فقط مناظرة لها. لنتناول أولًا العلاقة (أ). نلاحظ مباشرة هنا أن القيمة المدخلة أو قيمة ﺱ التي تساوي أربعة موجودة مرتين. وبالمثل، قيمة ﺱ التي تساوي خمسة موجودة مرتين. فقيمة ﺱ التي تساوي أربعة مرتبطة بقيمة ﺹ التي تساوي ١٢ وقيمة ﺹ التي تساوي ١٥. وقيمة ﺱ التي تساوي خمسة مرتبطة بقيمة ﺹ التي تساوي ١٨، وقيمة ﺹ التي تساوي ٢١. هذا يعني أن كل قيمة من قيم ﺱ ليس لها قيمة واحدة فقط من قيم ﺹ. وهو ما يعني أن العلاقة (أ) ليست دالة.

من ناحية أخرى في العلاقة (ب)، لدينا خمس قيم مختلفة لـ ﺱ. وهي الأعداد أربعة وخمسة وستة وسبعة وثمانية. كل من هذه القيم مرتبط بقيمة ﺹ واحدة، وهي الأعداد ١٢ و١٥ و١٨ و٢١ و٢٤ على الترتيب. وبما أن كل قيمة ﺱ لها قيمة ﺹ مناظرة واحدة فقط، فإن الإجابة الصحيحة هي العلاقة ب. فهذه العلاقة تمثل دالة.

في السؤال قبل الأخير، علينا تحديد أي مجموعة من الأزواج المرتبة تمثل دالة.

أي من العلاقات الآتية الموضحة في صورة مجموعة من الأزواج المرتبة لا تمثل دالة؟ هل هي (أ) ثلاثة، ١١؛ و١١، ١٩؛ و٢٧، ٣٥؛ و٤٣، ٤٣ ؟ أم (ب) ثلاثة، ١١؛ وأربعة، ١١؛ وخمسة، ١١؛ وستة، ١١ ؟ أم (ج) سالب ثمانية، أربعة؛ وسالب تسعة، أربعة؛ و١٠، أربعة؛ و١١، أربعة؟ أم (د) ثلاثة، أربعة؛ و١١، ثمانية؛ وثلاثة، ١٢؛ و١١، ١١ ؟

نتذكر أن الدالة هي علاقة تربط كل قيمة من قيم ﺱ بقيمة ﺹ واحدة فقط. هذا يعني أنه في أي علاقة من أزواج مرتبة، كل قيمة من قيم ﺱ يجب أن تظهر مرة واحدة فقط. في الخيار (أ)، لدينا أربع قيم لـ ﺱ مختلفة أو غير متكررة، وهي الأعداد ثلاثة، و١١، و٢٧، و٤٣. هذا يعني أن الخيار (أ) يمثل دالة. يتضمن الخيار (ب) أيضًا أربع قيم ﺱ غير متكررة، وهي الأعداد ثلاثة وأربعة وخمسة وستة. وحقيقة أن جميع قيم ﺹ هي العدد ١١ لا تؤثر على كون هذه العلاقة دالة. فكل قيمة من قيم ﺱ مرتبطة بقيمة واحدة فقط لـ ﺹ. إذن، الخيار (ب) يمثل دالة أيضًا.

يمثل الخيار (ج) دالة للسبب نفسه بالضبط. فلدينا أربع قيم لـ ﺱ وهي سالب ثمانية، وسالب تسعة، و١٠، و١١، وجميعها مرتبطة بقيمة واحدة لـ ﺹ وهي أربعة. هذا يشير إلى أن الخيار (د) لا يمثل دالة. نعرف أن هذا صحيح لأن القيمة المدخلة أو قيمة ﺱ التي هي ثلاثة مرتبطة بقيمة ﺹ التي هي أربعة وقيمة ﺹ التي هي ١٢. وبالمثل، فقيمة ﺱ التي هي ١١ مرتبطة بقيمتي ﺹ ثمانية و١١. وعليه، فإن الخيار (د) لا يمثل دالة، لأن كل قيمة من قيم ﺱ لا ترتبط بقيمة ﺹ واحدة فقط. إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (د).

يتضمن السؤال الأخير علاقات ممثلة بيانيًّا.

أي من العلاقتين التاليتين تمثل دالة إذا كان ﺱ هو القيمة المدخلة وﺹ هو القيمة المخرجة؟

نتذكر هنا أن الدالة هي علاقة يكون فيها لكل قيمة مدخلة قيمة مخرجة واحدة فقط. علمنا من السؤال أن القيمة المدخلة هي ﺱ، والقيمة المخرجة هي ﺹ. إذن كل قيمة من قيم ﺱ يجب أن تناظرها قيمة ﺹ واحدة فقط. في التمثيل البياني الأول، نرى أنه عند ﺱ يساوي واحدًا، توجد قيمتان لـ ﺹ، وهما سالب واحد وواحد. وبالمثل، عند ﺱ يساوي أربعة، يمكن أن يساوي ﺹ اثنين أو سالب اثنين. وينطبق الأمر نفسه عند ﺱ يساوي تسعة. فالزوجان المرتبان تسعة، سالب ثلاثة، وتسعة، ثلاثة؛ يقعان على التمثيل البياني. هذا يعني أن التمثيل البياني (أ) لا يمثل دالة؛ إذ إن كل قيمة مدخلة أو قيمة ﺱ ليس لها قيمة مخرجة أو قيمة ﺹ واحدة فقط.

على الجانب الآخر، الخيار (ب) يمثل دالة. وهي في الواقع دالة خطية. فكل قيمة من قيم ﺱ أو قيمة مدخلة لها قيمة ﺹ أو قيمة مخرجة واحدة فقط. على سبيل المثال، عند ﺱ يساوي اثنين، ﺹ يساوي ثمانية، وعند ﺱ يساوي سالب ستة، ﺹ يساوي سالب ثمانية. أيًّا كانت قيمة ﺱ التي نختارها، ستكون لدينا قيمة ﺹ واحدة فقط مرتبطة بها. إذن، الإجابة الصحيحة هي التمثيل البياني (ب).

سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. عرفنا في هذا الفيديو أن الدالة هي نوع خاص من العلاقات بين مجموعتين. وتكون العلاقة دالة إذا كان: (١) لكل عنصر من عناصر مجموعة المدخلات قيمة مخرجة و(٢) لا يرتبط أي عنصر من عناصر مجموعة المدخلات بأكثر من عنصر واحد من مجموعة المخرجات. يمكن تلخيص ذلك بقولنا إن الدالة هي علاقة يرتبط فيها كل عنصر من عناصر المدخلات بعنصر واحد فقط من المخرجات. ورأينا في هذا الفيديو أن الدوال يمكن تمثيلها في صورة مخططات أو أزواج مرتبة أو جداول أو تمثيلات بيانية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.