شارح الدرس: الحركة في خط مستقيم والتكامل الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد الإزاحة خلال فترة زمنية مُعطاة بمعلومية دالة السرعة

بدأت سيارةٌ الحركةَ في خط مستقيم من نقطة ثابتة بَدْءًا من السكون. كانت سرعتها بعد ثانية مُعطاة بالعلاقة: م/ث، .

احسب إزاحة السيارة عندما يكون .

الحل

نحن نعلم أن السرعة هي مشتقة الموضع بالنسبة إلى الزمن؛ ومن ثَمَّ، فيمكننا الحصول على التغير في الموضع من ، إلى عن طريق تكامل دالة السرعة بين هذين الزمنين كما يلي:

بما أن السرعة مقيسة بوحدة م/ث، ونحن نجري التكامل بالنسبة إلى بوحدة الثانية، فإن الإزاحة تكون مقيسة هنا بوحدة المتر.

إزاحة السيارة عندما يكون هي: ٢‎ ‎١٨٧ م.

مثال ٢: إيجاد دالة الإزاحة بمعلومية دالة السرعة

يتحرَّك جسيم في خط مستقيم؛ حيث كانت سرعته عند الزمن ثانية تُعطَى بالعلاقة: ، .

إذا كان موضع الجسيم الابتدائي من نقطة ثابتة ٢٠ م، فأوجد تعبيرًا يدل على إزاحته بالنسبة إلى هذه النقطة الثابتة عند الزمن ثانية.

الحل

تعرَّف إزاحة الجسيم عند الزمن ثانية على أنها التغير في الموضع بالنسبة إلى نقطة ثابتة مُعطاة. عندما يتحرك الجسيم في خط مستقيم، تُوصف إزاحته بدالة الإزاحة، ، وهي مشتقة عكسية لـ :

بالتعويض بالتعبير المُعطى لـ ، نحصل على:

الحل العام للمشتقة العكسية لـ هو ، حيث هو ثابت التكامل.

نحن نعلم من المعطيات أن الموضع الابتدائي للجسيم من النقطة الثابتة هو ٢٠ م؛ وهو ما يعني أن الإزاحة عند هي ٢٠ م. ومن ثَمَّ، نجد أن: أي إن:

إذن، دالة الإزاحة هي:

مثال ٣: إيجاد السرعة الابتدائية بمعلومية دالة العجلة والسرعة عند زمن معين

يتحرك جسيم في اتجاه المحور . عند الزمن ثانية، تُعطى عجلته بالعلاقة ، .

إذا كانت سرعة الجسيم عند تساوي ٢٨ م/ث، فما سرعته الابتدائية؟

الحل

لدينا هنا دالة العجلة وقيمة السرعة عند الزمن . عندما يتحرك جسيم في خط مستقيم، فإننا نعلم أن تكامل دالة العجلة بين زمنين يعطينا التغير في السرعة كما يلي:

نفترض أن الزمن الابتدائي (بما أن )، وأن ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد السرعة الابتدائية المجهولة. بعد ذلك، نعوض بالتعبير المُعطى لـ لنحصل على:

بما أن ، فإن: وعليه، نجد أن:

إذن، السرعة الابتدائية للجسيم تساوي ٨ م/ث.

مثال ٤: إيجاد الزمن اللازم للوصول إلى سرعة معينة بمعلومية دالتَيِ العجلة والسرعة

يتسارع جسيم بمُعدَّل م/ث^٢ بعد ثانية من الحركة في خط مستقيم. إذا كانت ، فما المدة الزمنية التي تستغرقها السرعة للوصول إلى ٥٠ م/ث؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لدينا هنا دالة العجلة والسرعة الابتدائية، والمطلوب منا هو إيجاد المدة الزمنية التي تستغرقها السرعة للوصول إلى ٥٠ م/ث. بعبارة أخرى، بما أن الزمن الابتدائي هو ، فإننا نريد إيجاد الزمن الذي تكون عنده . سنتمكن من إيجاد ذلك إذا أوجدنا دالة السرعة أولًا، ، ثم حللنا .

بما أن الجسيم يتحرك في خط مستقيم، فإن: بالتعويض بالتعبير المُعطى لـ ، نجد أن:

بعد ذلك، يمكننا إيجاد ثابت التكامل، ، باستخدام معلومة أن :

إذن، دالة السرعة للجسيم هي:

نحن نريد إيجاد قيمة التي تكون عندها ، أي عندما تكون:

بإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على:

وباستخدام صيغة المميز، نجد أن هذه المعادلة لها حلان:

بما أن هو الزمن المنقضي بالثانية، فهو موجب. إذن، لا يمكن أن يكون حلًّا. وبذلك، نكون قد استنتجنا أن الجسيم يستغرق ٤٫٨٨ ثوانٍ للوصول إلى السرعة ٥٠ م/ث.

مثال ٥: إيجاد السرعة القصوى والمسافة المقطوعة المناظرة بمعلومية دالة العجلة والسرعة الابتدائية

بدأ جسيم حركته في خط مستقيم. عجلة الجسيم عند الزمن ثانية بعد أن بدأ حركته تُعطى بالعلاقة: ، . أوجد السرعة القصوى للجُسيم، والمسافة التي قطعها قبل وصوله إلى هذه السرعة، إذا كانت سرعته الابتدائية تساوي ٠ م/ث.

الحل

المطلوب منا هو إيجاد السرعة القصوى للجسيم. في سياق الدوال، يعني هذا إيجاد قيمة قصوى للدالة، ونحصل عليها عندما تساوي مشتقتها صفرًا. مشتقة السرعة هي العجلة. لذا، فإننا نبحث عن الزمن الذي تكون عنده .

نحن نعلم من المعطيات أن ، ، ومن ثم، فإن عندما يكون ، أي عندما يكون بما أن .

نلاحظ أن العجلة تكون موجبة بين ، ، ثم تصبح سالبة بعد ذلك. يعني هذا أن الجسيم يبدأ التحرك من السكون في الاتجاه الموجب، وأن سرعته تزداد بين ، . لكن بدءًا من ، نجد أن العجلة سالبة؛ لذا تقل سرعة الجسيم إلى أن تصل إلى الصفر، فيصبح الجسيم في حالة سكون لحظي، وعند هذه النقطة يغير الجسيم اتجاه حركته ويبدأ في التحرك في الاتجاه السالب.

وبذلك، تصل السرعة بالفعل إلى قيمة عظمى عند .

علينا الآن إيجاد دالة السرعة لحساب قيمتها (القصوى) عند .

لدينا هنا دالة العجلة، ، ونحن نعلم أن الجسيم بدأ التحرك من السكون (أي إن ). ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد دالة السرعة باستخدام: حيث هو ثابت يُسمى ثابت التكامل.

بما أن ، فإن:

إذن، ، وهذا يعني أن:

السرعة القصوى، ، تكون عند ؛ ومن ثَمَّ، فإن:

لإيجاد المسافة، ، التي قطعها الجسيم خلال أول ثانية، علينا ببساطة إيجاد مقدار الإزاحة بين ، ، بما أن الجسيم كان يتحرك دائمًا في الاتجاه نفسه خلال هذه الفترة الزمنية. وهكذا، نجد أن:

بذلك، نكون قد وجدنا أن: ، .

مثال ٦: إيجاد سرعة جسيم بمعلومية عجلته على صورة دالة في الإزاحة

بدأ جسيم حركته من السكون في خط مستقيم. عجلته مقيسة بوحدة متر لكل ثانية مربعة، والمسافة من نقطة بداية الحركة مقيسة بوحدة المتر وكلتاهما تحققان المعادلة: . أوجد سرعة الجسيم عندما تكون .

الحل

لدينا هنا عجلة جسيم يتحرك في خط مستقيم على صورة دالة في الإزاحة. نحن نعلم أيضًا أن الجسيم بدأ حركته من السكون؛ وهو ما يعني أن عند بما أن مقيسة من نقطة البداية. تجدر الإشارة هنا إلى أن هي المسافة المقيسة من نقطة البداية. وعليه، بما أن العجلة دائمًا موجبة ( لكل قيم )، لن يتغير اتجاه السرعة. إذن، السرعة المتجِهة هنا هي نفسها السرعة.

علينا هنا إيجاد السرعة عندما تكون: .

دعونا نتذكر أن تكامل العجلة بالنسبة إلى يعطينا: حيث هو ثابت التكامل.

باستخدام الشرطين الابتدائيين، نجد أن:

بما أننا نعرف أن: موجبة، فإن:

عندما تكون ، فإن سرعة الجسيم هي: .