شارح الدرس: الحسابات المتعلِّقة بالمتتابعات الحسابية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: تحديد المتتابعة الحسابية

أيٌّ من هذه الخيارات يمثِّل متتابعة حسابية؟

الحل

في هذا السؤال، لدينا خمس متتابعات مختلفة، وواحدة منها فقط متتابعة حسابية. السمة المميِّزة للمتتابعة الحسابية هي أن الفرق بين أيِّ حدَّين متتاليين فيها يظل ثابتًا. لذلك، فإن أفضل طريقة للمتابَعة هي حساب الفرق بين الحدين الأول والثاني؛ ومن ثَمَّ الفرق بين الحدَّين الثاني والثالث، وهكذا. بعد ذلك، سنتمكَّن من معرفة أيُّ متتابعة لها فرق مشترك ثابت.

نبدأ بالمتتابعة (\alef). الفرق بين الحدَّين الثاني والأول هو .

نلاحِظ أنه قد يكون من الأسهل البحث عن العدد الذي يجب جمعه أو طرحه من الحد الأول للحصول على الحد الثاني.

إذن، للانتقال من إلى ، علينا طرح ٨ أو إضافة مرةً أخرى.

و، وهي قيمة الحد الرابع.

توصَّلنا إلى أن الفرق بين أيِّ حدَّين متتاليين في المتتابعة (\alef) هو . إذن هذه متتابعة حسابية أساسها هو .

مثال ٢: إيجاد الحدود التالية في متتابعة حسابية

اكتب الحدود الثلاثة التالية في المتتابعة الحسابية .

الحل

في هذا السؤال، لدينا متتابعة حسابية. السمة المميِّزة للمتتابعة الحسابية هي أن الفرق بين أيِّ حدَّين متتاليين يظل ثابتًا دائمًا. نستخدم هذه الحقيقة لإيجاد الحدود الثلاثة التالية.

لكن أولًا، علينا إيجاد هذا الفرق الذي يُسمَّى أساس المتتابعة الحسابية. لفعل ذلك، نحتاج ببساطة إلى إيجاد الفرق بين أحد الحدود والحد السابق له، على سبيل المثال، . نجد أن هذا الفرق هو . تذكَّر أن هذا يعني أنه يتم الحصول على أيِّ حد من الحد السابق له بجمع (أو طرح ٩).

والآن، بعد أن أوجدنا أساس المتتابعة الحسابية، يمكننا إيجاد الحد الخامس بطرح ٩ من ١٣٤، ليكون الناتج:

بعد ذلك، نحصل على الحد السادس:

والحد السابع:

إذن الحدود الثلاثة التالية هي: ١٢٥ و١١٧ و١٠٧.

مثال ٣: إيجاد الحدود الأولى لمتتابعة حسابية باستخدام وصف حدها النوني

أوجد الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة الحسابية التي حدُّها العام يُعطى بالعلاقة ؛ حيث .

الحل

لدينا الوصف الرياضي لقيمة الحد ، وهو : ؛ حيث رقم الحد، وتبدأ قيمته من ١؛ حيث . نستخدم هذا الوصف لإيجاد الحدود الخمسة الأولى في المتتابعة.

تُعطى قيمة الحد الأول عند ؛ لذا علينا التعويض عن في المعادلة بواحد لإيجاد قيمة :

وبالمثل، نجد أن الحد الثاني يُعطى بواسطة: والحدود التالية بواسطة:

نلاحِظ أنه كان بإمكاننا أيضًا أن ندرك على الفور أنها متتابعة حسابية؛ لأن قيمة الحد بدلالة تُعطى على الصورة . بالمقارنة بـ ، نستنتج أن أساس المتتابعة الحسابية يساوي ٤. من هذا المنطلق، يمكننا استنتاج الحدود الأربعة التالية، بمجرد إيجاد قيمة ، بجمع ٤ مع أحد الحدود يمكن الحصول على الحد الذي يليه.

إذن الحدود الخمسة الأولى هي ٥، ٩، ١٣، ١٧، ٢١.

مثال ٤: وصف الحد النوني لمتتابعة حسابية واستخدامه لإيجاد أحد الحدود

بدأ شادي في تكوين مجموعة دُمى للشخصيات الخاصة به؛ حيث يشتري ٨ دُمى كل عام.

اكتب مقدارًا جبريًّا يمكن استخدامه لإيجاد عدد الدُّمى التي سيمتلكها بعد سنة، ثم أوجد عدد الدُّمى التي سيمتلكها بعد ٢٤ سنة.

الحل

في هذا السؤال، نريد أن نعبِّر رياضيًّا عن عدد الدُّمى التي سيمتلكها شادي بعد سنة، كما هو موضَّح في السؤال.

نُحلِّل الوصف المعطى في السؤال. يكوِّن شادي مجموعة من دُمى الشخصيات، وعلمنا أنه يشتري ٨ منها كل عام. يعني هذا أنه في العام الأول سيكون لديه ٨ دُمى، وفي العام الثاني ١٦ دُمية، وفي العام الثالث ٢٤، وهكذا. نضع هذه الأعداد في جدول لمساعدتنا.

بعبارة أخرى، كل عام، يزداد عدد الدُّمى التي يجمعها شادي بمقدار ٨، وهذا يناظر متتابعة حسابية أساسها يساوي ٨. تُعطى قيمة الحد لمتتابعة حسابية، ، بالوصف الرياضي ؛ حيث هو أساس المتتابعة الحسابية، وحيث عدد (إما موجب أو سالب).

نجد هنا أن عدد الدُّمى في العام هو .

ولإيجاد عدد الدمى التي سيمتلكها شادي بعد ٢٤ سنة، علينا ببساطة التعويض عن في المعادلة بـ ٢٤: .