فيديو الدرس: الحسابات المتعلقة بالمتتابعات الحسابية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول المتتابعات الحسابية. في البداية، سنلقي نظرة على تعريف المتتابعة الحسابية ثم نتناول بعض المتتابعات الحسابية المعتادة. بعد ذلك، سنحلل الفروق بين الحدود المتتالية، مع إيجاد قيمة الحد الصفري لإيجاد صيغة الحد النوني. وسوف تساعدنا صيغة الحد النوني في إيجاد أي حد في المتتابعة.

حسنًا، دعونا ننظر إلى الأعداد خمسة، ثمانية، ١١، ١٤، ١٧. نحن نعلم أن هذه متتابعة؛ لأنها عبارة عن قائمة من الأعداد المرتبة. الحد في المتتابعة هو كل عدد موجود في المتتابعة. ونرقم الحدود فيها على التوالي. فالحد الأول في هذه المتتابعة هو خمسة. والحد الثاني هو ثمانية. والحد الثالث هو ١١. وتستمر المتتابعة على هذا النمط. يستمر هذا الترقيم إلى ما لا نهاية إذ إن المتتابعة يمكن أن تستمر إلى ما لا نهاية. توضح لنا رتبة الحد موضع هذه القيمة في المتتابعة أيضًا. هذا يعني أنه يمكننا القول إن ١١ هو الحد الثالث في المتتابعة.

وبينما ننتقل من حد إلى الحد الذي يليه، فإننا نضيف ثلاثة إلى الحد السابق لنحصل على الحد التالي على الترتيب. نحن نضيف ثلاثة في كل مرة. هذه الخاصية، وهي إضافة ثلاثة في كل مرة، توضح أن هذه المتتابعة هي متتابعة حسابية. وفي المتتابعة الحسابية، يظل الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا على الدوام. لذا يمكننا أن نعتبر هذه المتتابعة متتابعة حسابية. والفرق بين أي حدين متتاليين في أي متتابعة حسابية يسمى «الفرق المشترك». ففي هذا المثال، الفرق المشترك هو موجب ثلاثة.

يجب أن نلاحظ هنا أن الحد الأول في المتتابعة الحسابية مهم. إذا عرفنا الحد الأول والفرق المشترك، وهو موجب ثلاثة في هذا المثال، فيمكننا إيجاد أي حد في المتتابعة. ولذلك، فإن الحد الأول والفرق المشترك هما معلومتان أساسيتان عند التعامل مع أي متتابعة حسابية. تلخيصًا لما سبق، إذا رأيت متتابعة حيث يوجد فرق مشترك بين الحدود المتتالية، فيمكنك قول إنها متتابعة حسابية.

بما أننا تعرفنا على المتتابعة الحسابية، يمكننا حل مسائل من هذا النوع.

اكتب الحدود الثلاثة التالية في المتتابعة الآتية ٣١، ٥٧، ٨٣، ١٠٩، وهكذا مع توالي الأعداد.

لدينا هنا الحد الأول والثاني والثالث والرابع في متتابعة حسابية؛ ما يعني أن علينا إيجاد الحد الخامس والسادس والسابع. لكن دعونا نسأل أنفسنا كيف ننتقل من العدد ٣١ إلى العدد ٥٧؟ الإجابة هي أننا نضيف ٢٦. ‏‏٥٧ زائد ٢٦ يساوي ٨٣. و٨٣ زائد ٢٦ يساوي ١٠٩. وهذا يجعل موجب ٢٦ هو الفرق المشترك. وهذا يعني أنه للانتقال من الحد الرابع إلى الخامس، علينا إضافة ٢٦ إلى ١٠٩. ‏‏١٠٩ زائد ٢٦ يساوي ١٣٥. ‏‏١٣٥ زائد ٢٦ يساوي ١٦١. ولإيجاد الحد السابع، علينا إضافة ٢٦ إلى الحد السادس. ‏‏١٦١ زائد ٢٦ يساوي ١٨٧. إذن، يمكننا القول إن الحدود الثلاثة التالية في هذه المتتابعة هي ١٣٥ و١٦١ و١٨٧.

هيا نتناول مثالًا آخر.

اكتب الحدود الثلاثة التالية في المتتابعة الحسابية: ٣٫٦، ٤٫٣، ٥٫٠، ٥٫٧.

لدينا هنا الأربعة حدود الأولى. إذن، الحدود الثلاثة التالية هي الخامس والسادس والسابع. والانتقال من ٣٫٦ إلى ٤٫٣ يتطلب زيادة بمقدار ٠٫٧؛ أي زيادة بمقدار سبعة أعشار. من العدد ٤٫٣ إلى العدد خمسة، توجد زيادة مقدارها ٠٫٧، ومن العدد خمسة إلى ٥٫٧ توجد زيادة مقدارها ٠٫٧؛ ما يعني أن الفرق المشترك لدينا هو موجب ٠٫٧ وهذا يؤكد أن هذه المتتابعة متتابعة حسابية. ومن ثم، عرفنا أنه لإيجاد الحد الخامس، علينا إضافة الفرق المشترك إلى الحد الرابع. ‏‏٥٫٧ زائد ٠٫٧ يساوي ٦٫٤، و٦٫٤ زائد ٠٫٧ يساوي ٧٫١، و٧٫١ زائد ٠٫٧ يساوي ٧٫٨. إذن، الحدود الثلاثة التالية في هذه المتتابعة هي ٦٫٤ و٧٫١ و٧٫٨.

ما نلاحظه الآن هو أن المتتابعات الحسابية يمكن أن تكون بأي نوع من القيم؛ فقد تتكون من أعداد صحيحة وأعداد عشرية، وكذلك الكسور. وما دام الفرق المشترك بين الحدود المتتالية ثابت، تكون المتتابعة متتابعة حسابية. هيا نتناول مثالًا آخر.

أوجد الحد العاشر في المتتابعة الحسابية: ٢٣، ١٩، ١٥، ١١، سبعة.

لدينا هنا الحدود من واحد إلى خمسة. وهدفنا ليس إيجاد الحدود من ستة إلى تسعة. لكن كل ما علينا فعله هو إيجاد الحد العاشر. أول ما يمكنك ملاحظته هنا هو أن المتتابعة تتناقص. كل حد أقل من الحد الذي يسبقه بمقدار أربعة. إذن، الفرق المشترك هو سالب أربعة. دعونا نستعرض طريقتين مختلفتين لإيجاد الحد العاشر.

يمكننا إيجاد قيمة كل من الحد السادس والسابع والثامن والتاسع، ثم إيجاد الحد العاشر. وسيكون علينا هنا طرح أربعة من كل حد سابق. أو يمكننا البدء من الحد الخامس، وهو العدد سبعة، لندرك هنا أن علينا جمع خمسة أمثال العدد سالب أربعة للحصول على الحد العاشر. في الطريقة الأولى، سبعة ناقص أربعة يساوي ثلاثة، وثلاثة ناقص أربعة يساوي سالب واحد، وسالب واحد ناقص أربعة يساوي سالب خمسة، وسالب خمسة ناقص أربعة يساوي سالب تسعة، وسالب تسعة ناقص أربعة يساوي سالب ١٣.

أما باستخدام الطريقة الأخرى، فسنبدأ بالعدد سبعة، ثم نضيف إليه خمسة أمثال العدد سالب أربعة. حسنًا، سبعة زائد خمسة في سالب أربعة يساوي سبعة ناقص ٢٠. خمسة في سالب أربعة يساوي سالب ٢٠. وسبعة ناقص ٢٠ يساوي سالب ١٣. إذن، توضح كلتا الطريقتين أن الحد العاشر هو سالب ١٣.

لكن ماذا لو طلب منا السؤال كتابة الحد ٢٥٠ من المتتابعة؟ لن نرغب حينئذ في إيجاد الحدود كلها وصولًا إلى الحد ٢٥٠. لذا، دعونا نفكر في طريقة ما لإيجاد صيغة عامة تعطينا أي حد في المتتابعة.

إذا كانت لدينا المتتابعة ثلاثة، سبعة، ١١، ١٥، فإن الفرق المشترك هو موجب أربعة. ونحن نبحث هنا عن صيغة عامة. لذا، يمكننا أن نستخدم الحرف ﻥ كي نشير إلى رتبة الحد. هذا يعني موضع الحد في المتتابعة. ويمكننا استخدام الترميز ﺣ يليه قوس بداخله ﻥ للتعبير عن الحد النوني. عندما يكون ﻥ يساوي واحدًا، فإن ﺣ واحد يساوي ثلاثة. عندما يكون ﻥ يساوي اثنين، فإن ﺣ اثنين يساوي سبعة، وهكذا. إذا نظرنا إلى هذا جيدًا، فسنلاحظ أنه في كل مرة تزداد الرتبة في المتتابعة بمقدار واحد، تزداد قيمة الحد في المتتابعة بمقدار أربعة. أي إن قيمة الحد تزداد عن قيمة الرتبة بمقدار أربعة أمثال. وبذلك، نعلم أن جزءًا من الصيغة التي نريدها سيتضمن موجب أربعة ﻥ.

إذا كان موجب أربعة ﻥ هو الصيغة العامة لدينا، فسنقول إن ﺣﻥ يساوي أربعة ﻥ. عندما يكون ﻥ يساوي واحدًا في الموضع الأول، فإن ﺣﻥ يساوي أربعة. وعندما يكون ﻥ يساوي اثنين، فإن ﺣﻥ يساوي ثمانية. وعندما يكون ﻥ يساوي ثلاثة، فإن ﺣﻥ يساوي ١٢. وعندما يكون ﻥ يساوي أربعة، فإن ﺣﻥ يساوي ١٦. لكن هذه الصيغة ليست صحيحة تمامًا. فعندما يكون ﻥ يساوي واحدًا، يجب أن يكون لدينا ثلاثة وليس أربعة. وعندما يكون ﻥ يساوي اثنين، يجب أن يكون لدينا سبعة وليس ثمانية. وعندما يكون ﻥ يساوي ثلاثة، يجب أن يكون لدينا ١١ وليس ١٢. وعندما يكون ﻥ يساوي أربعة، يجب أن يكون لدينا ١٥ وليس ١٦. فجميع هذه القيم تقل بمقدار واحد. أربعة ناقص واحد يساوي ثلاثة، وثمانية ناقص واحد يساوي سبعة، و١٢ ناقص واحد يساوي ١١، و١٦ ناقص واحد يساوي ١٥. ومن ثم، يمكننا إضافة سالب واحد إلى الصيغة ﺣﻥ بحيث تكون الصيغة العامة الجديدة هي ﺣﻥ يساوي موجب أربعة ﻥ ناقص واحد، لكن ليس من الضروري إضافة إشارة الموجب.

إذن، الصيغة المطلوبة لإيجاد الحد النوني لهذه المتتابعة ستكون ﺣﻥ يساوي أربعة ﻥ ناقص واحد. إذا استخدمنا هذه الصيغة لحساب الحد رقم ٢٥٠، يصبح لدينا أربعة في ٢٥٠ يساوي ١٠٠٠، و١٠٠٠ ناقص واحد يساوي ٩٩٩. إذن، الحد رقم ٢٥٠ في هذه المتتابعة هو ٩٩٩. علينا أن نلاحظ أيضًا أن هناك بعض الرموز المختلفة للتعبير عن ﺣﻥ. فيمكنك استخدام ﺣﻥ أو حتى ﺃﻥ. ويمكننا استخدام جميع الطرق الثلاثة لتمثيل الحد النوني.

هيا نستخدم هذه الطريقة في مسألة جديدة.

أوجد الحد رقم ٨١ في المتتابعة: ١٠٧، ٩٩، ٩١، ٨٣.

لدينا هنا الحدود الأربعة الأولى في متتابعة. سنفترض أن ﻥ هو رقم الموضع أو رتبة الحد، وﺣﻥ هو قيمة الحد في المتتابعة. نلاحظ هنا أن المتتابعة تتناقص بمقدار ثمانية؛ ولذلك فإن الفرق المشترك هو سالب ثمانية. ولتكوين صيغة عامة لهذه المتتابعة، علينا استخدام سالب ثمانية ﻥ. إذا عوضنا عن ﻥ بالقيم من واحد إلى أربعة، فسنحصل على القيم سالب ثمانية وسالب ١٦ وسالب ٢٤ وسالب ٣٢. لكن عندما يكون ﻥ يساوي واحدًا، تكون القيمة ١٠٧ وليست سالب ثمانية. وعندما يكون ﻥ يساوي اثنين، لا بد أن تكون القيمة ٩٩ وليست سالب ١٦. وبالنسبة إلى الحد الثالث، لا بد أن تكون القيمة ٩١ وليست سالب ٢٤. وبالنسبة إلى الحد الرابع، لا بد أن تكون القيمة ٨٣ وليست سالب ٣٢.

إذا أضفنا ١١٥ إلى سالب ثمانية، فسنحصل على ١٠٧. وإذا أضفنا ١١٥ إلى سالب ١٦، فسنحصل على ٩٩. لذا، علينا إضافة ١١٥ إلى سالب ثمانية ﻥ. وستبدو الصيغة العامة لهذه المتتابعة بهذا الشكل. ‏‏ﺣﻥ يساوي سالب ثمانية ﻥ زائد ١١٥. وعليه، لإيجاد الحد رقم ٨١ في المتتابعة، سنحتاج إلى إيجاد ﺣ ٨١، وهو ما يساوي سالب ثمانية في ٨١ زائد ١١٥. وهذا يعطينا سالب ٥٣٣. إذن، الحد رقم ٨١ في هذه المتتابعة هو سالب ٥٣٣.

ما يزال إيجاد الصيغة العامة باستخدام هذه الطريقة يتطلب الكثير من العمليات الحسابية، لذا دعونا نتناول طريقة أخرى لإجراء ذلك. إذا أخذنا قيمتي ﻥ وﺣﻥ وحددناهما على طول المحورين ﺱ وﺹ، فسنبدأ بجدول يبدو بهذا الشكل. عند تحديد هذه النقاط، نحصل على هذا الشكل تقريبًا. ‏ﻥ لا يمكن أن يمثل سوى قيم صحيحة، مثل واحد واثنين وثلاثة وأربعة وخمسة، وهكذا. وذلك لأن هذه المتتابعة تتضمن الحدود واحد واثنين وثلاثة وأربعة، وهكذا. فمن غير المنطقي أن نتحدث عن الحد رقم ٣٫٧٥، لكن دعونا نر ما يحدث إذا وصلنا هذه النقاط بخط مستقيم.

سيقطع الخط المستقيم المحور ﺹ عند ١١٥. وهذا لأن عندما تزيد قيمة ﺱ بمقدار واحد، تقل قيمة ﺹ بمقدار ثمانية. وهذا يعني أننا إذا فعلنا عكس ذلك، أي إذا قللنا قيمة ﺱ بمقدار واحد، فعلينا أن نزيد من قيمة ﺹ بمقدار ثمانية. إذا تحركنا إلى اليسار من ﺱ يساوي واحدًا، فسنصل إلى الموضع حيث ﺱ يساوي صفرًا. وعلينا إضافة ثمانية. ونلاحظ أنه عندما يكون ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي ١١٥. وإذا كنا نتحدث عن هذا الشكل باعتباره خطًا مستقيمًا، فسنقول إن ميله يساوي سالب ثمانية والجزء المقطوع من المحور ﺹ هو ١١٥. إذن، يمكننا القول إن ﺹ يساوي سالب ثمانية ﺱ زائد ١١٥.

ويمكننا استخدام ذلك لمساعدتنا في إيجاد الصيغة العامة في أي متتابعة حسابية. فالفرق المشترك هو سالب ثمانية. ومن خلال الفرق المشترك، علمنا ميل الخط المستقيم. كما علمنا من خلال الجزء المقطوع من المحور ﺹ العدد الذي علينا إضافته. وهذا يطابق الصيغة التي أوجدناها سابقًا، وهي ﺣﻥ يساوي سالب ثمانية ﻥ زائد ١١٥. هيا نجرب استخدام هذه الطريقة في مسألة مختلفة.

أوجد صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية: ٦٫٨، ٧٫٩، ٩٫٠، ١٠٫١.

لدينا هنا الأربعة حدود الأولى في متتابعة حسابية. سنجعل رتبة الحد هي ﻥ، وﺣﻥ هي القيمة المناظرة للحد في المتتابعة. للانتقال من الحد الأول إلى الحد الثاني، نضيف ١٫١. وللانتقال من الحد الثاني إلى الحد الثالث، نضيف ١٫١. والحد الثالث زائد ١٫١ يعطينا الحد الرابع. إذن، الفرق المشترك هو موجب ١٫١. ما نريده الآن هو إيجاد قيمة الحد الصفري.

عندما نتحرك بشكل متتابع من اليمين إلى اليسار، فإننا نضيف ١٫١. وإذا أردنا التحرك في الاتجاه المعاكس، فسنطرح ١٫١. ومن ثم، لإيجاد الحد الصفري، علينا طرح ١٫١ من الحد الأول. ‏‏٦٫٨ ناقص ١٫١ يساوي ٥٫٧. إذن، صيغة الحد النوني لهذه المتتابعة هي ١٫١ في ﻥ زائد ٥٫٧.

سنلخص ما تناولناه للتو. يمكننا القول إن صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية تبدو كالتالي. ‏ ﺣﻥ يساوي ﺃ في ﻥ زائد ﺏ. الثابت ﺃ هو القيمة التي نضربها في رتبة الحد، أي الفرق المشترك، الذي يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا. وقيمة ﺏ هي الثابت الذي يمثل الحد الصفري للمتتابعة. أما إذا رأينا صيغًا تحتوي على تربيع أو جذور تربيعية أو قوى ﻥ، فإن المتتابعة التي تعبر عنها هذه الصيغ ليست متتابعة حسابية. فكل هذه المعادلات عبارة عن معادلات غير خطية؛ ومن ثم لا يمكنها أن تمثل متتابعة حسابية.

دعونا نستعرض نوعًا أخيرًا من الأسئلة التي قد تجدها عند التعامل مع المتتابعات الحسابية.

هل العدد ١١٧ ينتمي إلى المتتابعة الحسابية خمسة، ١٨، ٣١، ٤٤؟

لدينا هنا الأربعة حدود الأولى في متتابعة حسابية. سنفترض أن ﻥ هو رتبة الحد وﺣﻥ هو قيمة الحد في المتتابعة. أول شيء علينا التحقق منه هو الفرق المشترك. للانتقال من حد إلى آخر في هذه المتتابعة، نضيف ١٣. إذن، الفرق المشترك هو موجب ١٣. من الجيد هنا أن نتذكر أن ﺣﻥ يساوي ﺃ في ﻥ زائد ﺏ؛ حيث ﺃ هو الفرق المشترك، وﺏ هو الحد الصفري. وهذا يعني أن القيمة التالية التي علينا إيجادها هي الحد الصفري.

في هذه المتتابعة، عندما نتحرك يمينًا فإننا نضيف ١٣. وهذا يعني أن التحرك يسارا يتطلب منا طرح ١٣. خمسة ناقص ١٣ يساوي سالب ثمانية. إذن، سالب ثمانية هو الحد الصفري. لدينا الآن من المعلومات ما يكفي لكتابة الصيغة العامة للحد النوني في هذه المتتابعة. وهي ١٣ﻥ ناقص ثمانية، حيث الفرق المشترك هو موجب ١٣، والحد الصفري هو سالب ثمانية.

لمعرفة ما إذا كان العدد ١١٧ ينتمي إلى هذه المتتابعة أم لا، علينا التعويض عن ﺣﻥ بـ ١١٧. إذا كان العدد ١١٧ جزءًا من هذه المتتابعة، فسيكون لـ ﻥ قيمة صحيحة. لذا، سنحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻥ ونرى ما إذا كانت عددًا صحيحًا أم لا. لكي نفعل ذلك، سنضيف أولًا ثمانية إلى كلا الطرفين. هذا يعطينا ١٢٥ يساوي ١٣ﻥ. وبعد ذلك، نقسم طرفي المعادلة على ١٣. ‏‏١٢٥ مقسومًا على ١٣ يساوي ٩٫٦١٥٣ وهكذا مع توالي الأرقام، أو تسعة وثمانية على ١٣ في صورة كسر. ونظرًا لأن ٩٫٦١٥٣ مع توالي الأرقام ليس عددًا صحيحًا، فإن العدد ١١٧ لا ينتمي إلى هذه المتتابعة. إذن، عند التعامل مع المتتابعات الحسابية ومع هذه الصيغة العامة، يجب أن تكون قيمة ﻥ عددًا صحيحًا.

تلخيصًا لما تناولناه، المتتابعة الحسابية هي متتابعة يكون فيها الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا على الدوام. الفرق المشترك هو الفرق بين أي حدين متتاليين في أي متتابعة حسابية. ويمكننا استخدام الصيغة العامة ﺣﻥ يساوي ﺃﻥ زائد ﺏ؛ حيث ﺃ يساوي فرقًا مشتركًا موجب أو سالب القيمة، وﺏ يساوي الحد الصفري.