تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الانحراف المعياري لمجموعة بيانات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجد ونفسِّر الانحراف المعياري من مجموعة بيانات معطاة.

لكي نفهم معنى الانحراف المعياري لمجموعة بيانات، دعونا نتذكَّر أولًا تعريف الوسط الحسابي لمجموعة بيانات.

تعريف الوسط الحسابي لمجموعة بيانات

يُستخدم الوسط الحسابي، أو المتوسط أو القيمة المتوقَّعة، لمجموعة بيانات باعتباره قياسًا للنزعة المركزية. لمجموعة البيانات 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍، والتي تتكون من 𞸍 من القيم، فإن المتوسط، والذي نشير إليه بالرمز 𝜇 (ويُنطَق «ميو») أو الرمز 𞸎، يُحسَب بإيجاد مجموع البيانات وقسمتها على عدد القيم، 𞸍، كما يظهر في الصيغة بالأسفل: 𝜇=𞸎+𞸎+𞸎++𞸎𞸍=󰌄𞸎𞸍.١٢٣𞸍𞸍𞸓=١𞸓

الانحراف المعياري لمجموعة بيانات يخبرنا مدى تشتُّت البيانات عن الوسط الحسابي. كلما زادت قيمة الانحراف المعياري، زاد تشتُّت البيانات عن الوسط الحسابي، وكلما قلَّت قيمة الانحراف المعياري، قل تشتُّت البيانات عن الوسط الحسابي.

مربع الانحراف المعياري يسمى التباين، وهو قياسٌ آخرُ للتشتُّت. ثمة قياس آخر للتشتُّت، وهو المدى الرُّبيعي، وهو الفرق بين الرُّبيع الأعلى والرُّبيع الأدنى، أو قيمة النسبة المئوية ٧٥ ناقص قيمة النسبة المئوية ٢٥. في هذا الشارح، سنركِّز على الانحراف المعياري باعتباره قياسًا للتشتُّت فقط.

يُعرَّف الانحراف المعياري بصيغة رياضية في التعريف الآتي.

تعريف الانحراف المعياري لمجموعة بيانات

يُستخدم الانحراف المعياري لمجموعة بيانات لقياس مدى تشتُّت البيانات عن الوسط الحسابي. لمجموعة البيانات 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍، وتحتوي على 𞸍 من القيم، يُحسَب الانحراف المعياري، الذي نشير إليه بالرمز 𝜎𞸎، (ويُقرأ «سيجما» 𞸎)، بأخْذ مجموع الفرق بين قيم مجموعة البيانات وبين الوسط الحسابي من المتوسط 𝜇 تربيع، ثم القسمة على عدد القيم، وأخْذ الجذر التربيعي، كما توضِّح الصيغة الآتية: 𝜎=󰋽󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒++󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍=󰋽󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍.𞸎١٢٢٢٣٢𞸍٢𞸍𞸓=١𞸓٢

هناك طريقة أخرى لوصف الانحراف المعياري، وهي باعتباره متوسط المسافة بين الوسط الحسابي ونقاط البيانات الفردية في المجموعة. أي إنه كلما كان الانحراف المعياري أكبر، كان متوسط المسافة بين الوسط الحسابي ونقاط البيانات الفردية أكبر، وهو ما يعني أن البيانات أكثر تشتُّتًا. وبالمثل، كلما كان الانحراف المعياري أصغر، كانت المسافة بين الوسط الحسابي ونقاط البيانات الفردية أقل، وهو ما يعني أن البيانات أقل تشتُّتًا.

سنستخدم تعريف الانحراف المعياري لمجموعة بيانات للإجابة عن المثال الأول.

مثال ١: فهْم الانحراف المعياري

ما اسم الكمية التي تعبِّر عن الفرق بين عدد عناصر المجموعة وقيمة الوسط الحسابي للمجموعة؟

الحل

نحن نعلم أن الانحراف المعياري لمجموعة بيانات يحدِّد مدى تشتُّت مجموعة البيانات عن الوسط الحسابي. ويمكن وصف ذلك أيضًا بمدى اختلاف عناصر مجموعة البيانات عن الوسط الحسابي لمجموعة البيانات.

ومن ثم، فإن الكمية التي تعبِّر عن مدى اختلاف عناصر مجموعة عن الوسط الحسابي للمجموعة هي الانحراف المعياري. الانحراف المعياري المنخفض يوضِّح أن نقاط البيانات في المتوسط، أقرب إلى الوسط الحسابي، والانحراف المعياري المرتفع يوضِّح أن نقاط البيانات، في المتوسط، أبعد عن الوسط الحسابي.

بعد أن تناولنا تعريف الانحراف المعياري، سنتعرض بعد ذلك إلى الحالة التي يكون فيها قياس التشتُّت صفرًا، كما هو موضَّح في المثال الآتي.

مثال ٢: تعريف مجموعة قيم تشتُّتها يساوي صفرًا

إذا كان تشتُّت مجموعة قيم يساوي صفرًا، فأيٌّ مما يأتي صحيح؟

  1. الفرق بين القيم الفردية كبير.
  2. الفرق بين القيم الفردية صغير.
  3. جميع القيم متساوية.
  4. الوسط الحسابي لهذه القيم صفر.
  5. جميع القيم سالبة.

الحل

يمكن قياس تشتُّت مجموعة البيانات باستخدام الانحراف المعياري، ويُشار إليه بالرمز 𝜎𞸎. لمجموعة البيانات 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍، وتحتوي على 𞸍 قيمة، ووسطها الحسابي 𝜇، يُعطى الانحراف المعياري بالصيغة: 𝜎=󰋽󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒++󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍.𞸎١٢٢٢٣٢𞸍٢

إذا كان تشتُّت مجموعة بيانات يساوي صفرًا، فإن الانحراف المعياري يساوي صفرًا. وبمساواة صيغة الانحراف المعياري بالصفر، نحصل على: 𝜎=󰋽󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒++󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍=٠.𞸎١٢٢٢٣٢𞸍٢

بتربيع الطرفين، يصبح لدينا: 󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒++󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍=٠󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒++󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍=٠.١٢٢٢٣٢𞸍٢٢١٢٢٢٣٢𞸍٢

وبضرب الطرفين في 𞸍، نجد أن: 󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒++󰁓𞸎𝜇󰁒=٠×𞸍󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒++󰁓𞸎𝜇󰁒=٠.١٢٢٢٣٢𞸍٢١٢٢٢٣٢𞸍٢

والآن، نعلم أنه عند تربيع أيِّ عدد حقيقي أكبر من الصفر، نحصل على قيمة أكبر من الصفر أيضًا. وكذلك عند تربيع أيِّ عدد حقيقي أقل من الصفر، نحصل على قيمة أكبر من الصفر. إذن، يجب أن يساوي كلُّ قوس صفرًا لكي تكون النتيجة صفرًا: 󰁓𞸎𝜇󰁒󰄲󰄳󰄳󰄶󰄳󰄳󰄿=٠.+󰁓𞸎𝜇󰁒󰄲󰄳󰄳󰄶󰄳󰄳󰄿+󰁓𞸎𝜇󰁒󰄲󰄳󰄳󰄶󰄳󰄳󰄿++󰁓𞸎𝜇󰁒󰄲󰄳󰄳󰄶󰄳󰄳󰄿=٠=٠=٠=٠𞸍٢٣٢٢٢١٢

بمساواة كل قوس بالصفر نحصل على: 𞸎𝜇=٠،𞸎𝜇=٠،𞸎𝜇=٠،𞸎𝜇=٠.١٢٣𞸍

عند الحل لإيجاد قيم 𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎١٢٣𞸍، نحصل على: 𞸎=𝜇،𞸎=𝜇،𞸎=𝜇،𞸎=𝜇.١٢٣𞸍

إذن، جميع عناصر مجموعة البيانات 𞹎 تساوي الوسط الحسابي 𝜇 وجميع العناصر متساوية، وهذا هو الخيار «ج».

في المثال الآتي، سنستخدم صيغة الانحراف المعياري لمجموعة بيانات لتحديد الانحراف المعياري بمعلومية مجموع الفرق بين المربعات وعدد نقاط البيانات.

مثال ٣: حساب الانحراف المعياري

إذا كان 󰌇󰁓𞸎𞸎󰁒٢ لمجموعة من ٦ قيم يساوي ٢٥، فأوجد الانحراف المعياري للمجموعة لأقرب جزء من ألف.

الحل

لحساب الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات، علينا أولًا أن نتذكر الصيغة: 𝜎=󰋽󰌄󰁓𞸎𞸎󰁒𞸍،𞸎𞸍𞸓=١𞸓٢ حيث 𝜎𞸎 يشير إلى الانحراف المعياري لمجموعة البيانات 𞹎 و𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍، حيث 𞸍 هو عدد عناصر مجموعة البيانات، و𞸎 هو الوسط الحسابي لمجموعة البيانات.

نعلم أن 󰌇󰁓𞸎𞸎󰁒=٥٢٢، وهو ما يماثل القول إن 𞸓=𞸍𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𞸎󰁒=٥٢. ونعلم أيضًا أن لدينا ٦ قيم، وهو ما يعني أن 𞸍=٦.

بالتعويض بـ 𞸓=𞸍𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𞸎󰁒=٥٢ و𞸍=٦ والحل لإيجاد قيمة 𝜎𞸎، نحصل على: 𝜎=󰋽󰌄󰁓𞸎𞸎󰁒𞸍=󰋺٥٢٦=١٤٢١٤٠٫٢١٤٠٫٢.𞸎𞸍𞸓=١𞸓٢

إذن، الإجابة هي ٢٫٠٤١ عند تقريبها لأقرب جزء من ألف.

بعد ذلك، نتناول كيفية إيجاد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات. سنستعرض ذلك بالتفصيل فيما يأتي.

عند حساب الانحراف المعياري لمجموعة بيانات، علينا إجراء عدد من الخطوات عند استخدام الصيغة. دعونا أولًا نتذكر الصيغة: 𝜎=󰋽󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒+󰁓𞸎𝜇󰁒++󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍=󰋽󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍،𞸎١٢٢٢٣٢𞸍٢𞸍𞸓=١𞸓٢ حيث 𝜎𞸎 يشير إلى الانحراف المعياري لمجموعة البيانات 𞹎، 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍، حيث 𞸍 هو عدد عناصر مجموعة البيانات، 𝜇 هو الوسط الحسابي لمجموعة البيانات.

للمساعدة في شرح كيفية استخدام الصيغة، سنستخدم مجموعة البيانات الآتية: 𞹎={١،١،٣،٥،٧}.

بعد ذلك، نطبِّق الخطوات الآتية باستخدام مجموعة البيانات هذه لتوضيح كيفية إجراء الخطوات.

الخطوة ١: إيجاد الوسط الحسابي

بما أن علينا حساب الفرق بين الوسط الحسابي وعناصر المجموعة بين قوسَي الصيغة، علينا أن نبدأ بحساب الوسط الحسابي. وهو: 𝜇=𞸎+𞸎+𞸎++𞸎𞸍=󰌄𞸎𞸍،١٢٣𞸍𞸍𞸓=١𞸓 حيث 𝜇 يرمز إلى الوسط الحسابي، 𞹎=󰁙𞸎+𞸎+𞸎++𞸎󰁘١٢٣𞸍 مجموعة البيانات، 𞸍 عدد نقاط مجموعة البيانات.

لمجموعة البيانات 𞹎={١،١،٣،٥،٧}، سيعطينا هذا: 𝜇=𞸎+𞸎+𞸎++𞸎𞸍=١+١+٣+٥+٧٥=٧١٥=٤٫٣.١٢٣𞸍

الخطوة ٢: إيجاد الفرق بين الوسط الحسابي وكل نقطة من نقاط البيانات

لكي نحسب 𞸍𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒 في هذه الصيغة، علينا حساب 𞸎𝜇𞸓 لجميع قيم 𞸓=١،،𞸍، أو بعبارة أخرى حساب الفرق بين الوسط الحسابي لكلٍّ من نقاط البيانات. في هذه الخطوة والخطوات اللاحقة، من المفيد كتابة ذلك في جدول.

𞸎𞸓𞸎𝜇𞸓
١١٤٫٣=٤٫٢
١١٤٫٣=٤٫٢
٣٣٤٫٣=٤٫٠
٥٥٤٫٣=٦٫١
٧٧٤٫٣=٦٫٣

الخطوة ٣: إيجاد مجموع مربعات الفروق بين الوسط الحسابي وكل نقطة من نقاط البيانات

بناءً على الخطوة ٢، لكي نحسب 𞸍𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒 في الصيغة، علينا بعد ذلك حساب 󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢ لجميع قيم 𞸓=١،،𞸍 ثم جمْع النواتج. بعبارة أخرى، علينا تربيع الفرق بين الوسط الحسابي وكل نقطة من نقاط البيانات ثم جمْع ذلك. سنستخدم الجدول الموجود في الخطوة ٢ ونضيف عمودًا آخر.

𞸎𞸓𞸎𝜇𞸓󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢
١١٤٫٣=٤٫٢(٤٫٢)=٦٧٫٥٢
١١٤٫٣=٤٫٢(٤٫٢)=٦٧٫٥٢
٣٣٤٫٣=٤٫٠(٤٫٠)=٦١٫٠٢
٥٥٤٫٣=٦٫١(٦٫١)=٦٥٫٢٢
٧٧٤٫٣=٦٫٣(٦٫٣)=٦٩٫٢١٢

عند جمع القيم في العمود الأخير، نحصل على: ٦𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒=٦٧٫٥+٦٧٫٥+٦١٫٠+٦٥٫٢+٦٩٫٢١=٢٫٧٢.

الخطوة ٤: التعويض في الصيغة وإيجاد الانحراف المعياري

في الخطوة الأخيرة، سنعوض بمجموع المربعات 𞸍 في الصيغة، ثم نوجد قيمة الانحراف المعياري.

من الخطوة ٣، وجدنا أن 𞸍𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒=٢٫٧٢، ونحن نعرف أن 𞸍=٥. إذن، بالتعويض في الصيغة 𝜎𞸎 ثم الحل، نحصل على: 𝜎=󰋽󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍=󰋺٢٫٧٢٥=󰋴٤٤٫٥=٣٢٣٣٫٢٣٣٫٢،𞸎𞸍𞸓=١𞸓٢ وهو الانحراف المعياري لمجموعة البيانات 𞹎={١،١،٣،٥،٧}.

يمكننا تلخيص هذه الخطوات كما يأتي.

كيفية إيجاد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات

الخطوة ١: إيجاد الوسط الحسابي لمجموعة البيانات

الخطوة ٢: إيجاد الفرق بين الوسط الحسابي وقيمة كل نقطة من نقاط البيانات

الخطوة ٣: إيجاد مجموع مربعات الفروق بين الوسط الحسابي وقيمة كل نقطة من نقاط البيانات

الخطوة ٤: التعويض بمجموع المربعات 𞸍 في الصيغة وأخْذ الجذر التربيعي لحساب الانحراف المعياري (ويجب أن يكون دائمًا موجبًا.)

في المثال الآتي، سنستخدم هذه العملية لحساب الانحراف المعياري لمجموعة بيانات.

مثال ٤: حساب الانحراف المعياري لمجموعة بيانات

احسب الانحراف المعياري للقيم ٤٥، ٣٥، ٤٢، ٤٩، ٣٩، ٣٤. أوجد الإجابة لأقرب ٣ منازل عشرية.

الحل

لإيجاد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات، نستخدم الصيغة: 𝜎=󰋽󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍،𞸎𞸍𞸓=١𞸓٢ حيث 𝜎𞸎 يشير إلى الانحراف المعياري لمجموعة البيانات 𞹎، 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍 ،𞸍 عدد عناصر مجموعة البيانات، 𝜇 الوسط الحسابي لمجموعة البيانات.

أولًا، نحسب الوسط الحسابي، 𝜇، لمجموعة البيانات. دعونا نتذكر صيغة الوسط الحسابي، وهي: 𝜇=𞸎+𞸎+𞸎++𞸎𞸍.١٢٣𞸍

في هذه الحالة، مجموعة البيانات 𞹎 تتكون من {٥٤،٥٣،٢٤،٩٤،٩٣،٤٣} وعدد عناصر مجموعة البيانات ٦. بالتعويض بـ {٥٤،٥٣،٢٤،٩٤،٩٣،٤٣} عن 󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍 وبـ ٦ عن 𞸍، نحصل على: 𝜇=٥٤+٥٣+٢٤+٩٤+٩٣+٤٣٦=٤٤٢٦=̇٦٫٠٤.

بعد ذلك، نحسب 𞸎𝜇𞸓 لكل عنصر في مجموعة البيانات. وللمساعدة في ذلك، سنضع البيانات في جدول كما يأتي:

𞸎𞸓𞸎𝜇𞸓
٤٥٥٤̇٦٫٠٤=̇٣٫٤
٣٥٥٣̇٦٫٠٤=̇٦٫٥
٤٢٢٤̇٦٫٠٤=̇٣٫١
٤٩٩٤̇٦٫٠٤=̇٣٫٨
٣٩٩٣̇٦٫٠٤=̇٦٫١
٣٤٤٣̇٦٫٠٤=̇٦٫٦

وبناءً على ذلك، يمكننا الآن حساب 𞸍𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒. للقيام بذلك، نأخذ مربع 𞸎𝜇𞸓 لكل عناصر مجموعة البيانات، ثم نحسب مجموع كل البيانات. سنضيف عمودًا آخر إلى الجدول بالأعلى لسهولة الحساب.

𞸎𞸓𞸎𝜇𞸓󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢
٤٥٥٤̇٦٫٠٤=̇٣٫٤(̇٣٫٤)=̇٧٫٨١٢
٣٥٥٣̇٦٫٠٤=̇٦٫٥󰁓̇٦٫٥󰁒=̇١٫٢٣٢
٤٢٢٤̇٦٫٠٤=̇٣٫١(̇٣٫١)=̇٧٫١٢
٤٩٩٤̇٦٫٠٤=̇٣٫٨(̇٣٫٨)=̇٤٫٩٦٢
٣٩٩٣̇٦٫٠٤=̇٦٫١󰁓̇٦٫١󰁒=̇٧٫٢٢
٣٤٤٣̇٦٫٠٤=̇٦٫٦󰁓̇٦٫٦󰁒=̇٤٫٤٤٢

بجمع 󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢ لكل عنصر من عناصر البيانات، نحصل على: ٦𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒=̇٧٫٨١+̇١٫٢٣+̇٧٫١+̇٤٫٩٦+̇٧٫٢+̇٤٫٤٤=̇٣٫٩٦١.

والآن، يمكننا أن نعوض بـ ٦𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒=̇٣٫٩٦١ ،𞸍=٦ مرة أخرى في الصيغة الأصلية للانحراف المعياري ثم الحل لإيجاد 𝜎𞸎: 𝜎=󰋽󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍=󰋺̇٣٫٩٦١٦=󰋴̇٢٫٨٢٩٥٤٢١٣٫٥.𞸎𞸍𞸓=١𞸓٢

وبذلك، يكون الناتج ٥٫٣١٢ بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية.

إذن، الانحراف المعياري لمجموعة البيانات يساوي ٥٫٣١٢ لأقرب ٣ منازل عشرية.

في المثال الآتي، سنحدِّد أيُّ مجموعة بيانات بين ثلاث مجموعات بيانات لها أكبر تشتُّت، وذلك باستخدام الانحراف المعياري.

مثال ٥: تحديد مجموعة البيانات التي لها أعلى انحراف معياري

باستخدام الانحراف المعياري، أيٌّ من المجموعات {٧١،٠٢،٦،٣١}، {٥،٦١،٥،٩}، {١،٦،٠٢،١} هي الأكثر تشتُّتًا؟

الحل

لإيجاد الانحراف المعياري لكلٍّ من مجموعات البيانات التي لدينا، نستخدم الصيغة: 𝜎=󰋽󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍،𞸎𞸍𞸓=١𞸓٢ حيث 𝜎𞸎 يشير إلى الانحراف المعياري لمجموعة البيانات 𞹎، 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍، 𞸍 هو عدد عناصر مجموعة البيانات، 𝜇 هو الوسط الحسابي لمجموعة البيانات.

يمكننا ملاحظة أن كل مجموعة بيانات تتكون من أربعة عناصر، إذن 𞸍 يساوي ٤ لكل حالة.

أولًا، سنوجد الانحراف المعياري لكل مجموعة بيانات، ثم نقارن بين النواتج لتحديد أيٌّ منهما له أكثر تشتُّت.

للمجموعة {٧١،٠٢،٦،٣١}، سنوجد أولًا الوسط الحسابي، 𝜇، لمجموعة البيانات. دعونا نتذكر صيغة الوسط الحسابي، وهي: 𝜇=𞸎+𞸎+𞸎++𞸎𞸍.١٢٣𞸍

إذن، بالتعويض بـ {٧١،٠٢،٦،٣١} عن 󰁙𞸎،𞸎،𞸎،𞸎󰁘١٢٣٤ وبـ ٤ عن 𞸍، نحصل على: 𝜇=٧١+٠٢+٦+(٣١)٤=٤٤=١.

بعد ذلك، سنحسب 𞸎𝜇𞸓 لكل عنصر في مجموعة البيانات. ولمساعدتنا في ذلك، نكتب البيانات في جدول كما يأتي:

𞸎𞸓𞸎𝜇𞸓
٧١٧١(١)=٦١
٢٠٠٢(١)=١٢
٦٦(١)=٧
٣١٣١(١)=٢١

وبناءً على ذلك، يمكننا الآن حساب 𞸍𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒. للقيام بذلك، سنقوم بتربيع 𞸎𝜇𞸓 لكل عناصر مجموعة البيانات، ثم نحسب مجموع كل البيانات. سنضيف عمودًا آخر إلى الجدول السابق لسهولة الحساب.

𞸎𞸓𞸎𝜇𞸓󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢
٧١٧١(١)=٦١(٦١)=٦٥٢٢
٢٠٠٢(١)=١٢(١٢)=١٤٤٢
٦٦(١)=٧(٧)=٩٤٢
٣١٣١(١)=٢١(٢١)=٤٤١٢

بجمع 󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢ لكل عنصر في مجموعة البيانات، نحصل على: ٤𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒=٦٥٢+١٤٤+٩٤+٤٤١=٠٩٨.

يمكننا الآن التعويض بـ ٤𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒=٠٩٨ ،𞸍=٤ مرة أخرى في الصيغة الأصلية للانحراف المعياري والحل لإيجاد 𝜎𞸎: 𝜎=󰋽󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍=󰋺٠٩٨٤=󰋴٥٫٢٢٢=٤٦١٩٫٤١.𞸎𞸍𞸓=١𞸓٢

سنكرِّر الآن هذه الخطوات مع مجموعتَي البيانات الأُخْرَيَيْن.

للمجموعة {٥،٦١،٥،٩}، الوسط الحسابي سيساوي: 𝜇=𞸎+𞸎+𞸎++𞸎𞸍=٥+(٦١)+٥+٩٤=٧٤=٥٧٫١.١٢٣𞸍

لحساب 𞸍𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒، نوجد 𞸎𝜇𞸓 ،󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢ لكل عنصر في مجموعة البيانات. سنكتب ذلك في جدول كما فعلنا من قبل.

𞸎𞸓𞸎𝜇𞸓󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢
٥٥(٥٧٫١)=٥٢٫٣(٥٢٫٣)=٥٢٦٥٫٠١٢
٦١٦١(٥٧٫١)=٥٢٫٤١(٥٢٫٤١)=٥٢٦٠٫٣٠٢٢
٥٥(٥٧٫١)=٥٧٫٦(٥٧٫٦)=٥٢٦٥٫٥٤٢
٩٩(٥٧٫١)=٥٧٫٠١(٥٧٫٠١)=٥٢٦٥٫٥١١٢

بجمع 󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢ لكل عنصر في مجموعة البيانات، نحصل على: ٤𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒=٥٢٦٥٫٠١+٥٢٦٠٫٣٠٢+٥٢٦٥٫٥٤+٥٢٦٥٫٥١١=٥٧٫٤٧٣.

بالتعويض بـ ٤𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒=٥٧٫٤٧٣ ،𞸍=٤ مرة أخرى في الصيغة الأصلية للانحراف المعياري ثم الحل لإيجاد 𝜎𞸎، نحصل على: 𝜎=󰋽󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍=󰋺٥٧٫٤٧٣٤=󰋴٥٧٨٦٫٣٩=٢٩٧٦٫٩.𞸎𞸍𞸓=١𞸓٢

لمجموعة البيانات الأخيرة، {١،٦،٠٢،١}، الوسط الحسابي سيساوي: 𝜇=𞸎+𞸎+𞸎++𞸎𞸍=١+(٦)+٠٢+(١)٤=٢١٤=٣.١٢٣𞸍

لحساب 𞸍𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒، سنوجد 𞸎𝜇𞸓 ،󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢ لكل عنصر في مجموعة البيانات. وسنكتب ذلك في جدول كما فعلنا من قبل.

𞸎𞸓𞸎𝜇𞸓󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢
١١٣=٤(٤)=٦١٢
٦٦٣=٩(٩)=١٨٢
٢٠٠٢٣=٧١(٧١)=٩٨٢٢
١١٣=٤(٤)=٦١٢

بجمع 󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢ لكل عنصر في مجموعة البيانات، نحصل على: ٤𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒=٦١+١٨+٩٨٢+٦١=٢٠٤.

وبالتعويض بـ ٤𞸓=١𞸓٢󰌇󰁓𞸎𝜇󰁒=٢٠٤ ،𞸍=٤ مرة أخرى في الصيغة الأصلية للانحراف المعياري والحل لإيجاد قيمة 𝜎𞸎 عندما نحصل عليها: 𝜎=󰋽󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍=󰋺٢٠٤٤=󰋴٥٫٠٠١=٩٤٢٠٫٠١.𞸎𞸍𞸓=١𞸓٢

لقد أوجدنا الانحراف المعياري لكلٍّ من مجموعات البيانات. لنلخِّص هذا كما يأتي:

  • للمجموعة {٧١،٠٢،٦،٣١}، لدينا 𝜎=١٩٫٤١𞸎 إلى أقرب منزلتين عشريتين.
  • للمجموعة {٥،٦١،٥،٩}، لدينا 𝜎=٨٦٫٩𞸎 إلى أقرب منزلتين عشريتين.
  • للمجموعة {١،٦،٠٢،١}، لدينا 𝜎=٢٠٫٠١𞸎 إلى أقرب منزلتين عشريتين.

بمقارنة مجموعات البيانات هذه، يمكننا ملاحظة أن المجموعة الأولى، {٧١،٠٢،٦،٣١}، لها أكبر انحراف معياري.

إذن، المجموعة {٧١،٠٢،٦،٣١} هي الأعلى تشتُّتًا، وذلك لأن الانحراف المعياري هو قياس للتشتُّت.

حتى الآن، وجدنا الانحراف المعياري لمجموعة بيانات تكون البيانات فيها ممثَّلة في قائمة. بعد ذلك، سنتعلَّم كيفية إيجاد الانحراف المعياري من مجموعة بيانات ممثَّلة في جدول تكراري.

لإيجاد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات يتم تمثيل البيانات فيها في جدول تكراري، علينا التفكير في تكرار القيم في مجموعة البيانات وكذلك تكرار القيم في مجموعة البيانات نفسها. وإحدى طرق إجراء ذلك هي كتابة القيم. على سبيل المثال، نفترض أن لدينا مجموعة البيانات الآتية:

𞸎𞸕𞸎
٣١
٤٧
٥٣

يمكننا كتابة ذلك في صورة ثلاثة واحدة، وسبع أربعات، وثلاث خمسات، أو ٣،٤،٤،٤،٤،٤،٤،٤،٥،٥،٥، وذلك لحساب الانحراف المعياري، كما ذكرنا من قبل. تكمُن مشكلة هذه الطريقة عند وجود تكرارات كثيرة لنقاط البيانات (مثل ١٠٠ أو حتى ١‎ ‎٠٠٠)، حيث سيكون علينا كتابة ذلك في قائمة طويلة جدًّا. ومن ثم، فمن الأفضل حساب فروق مربعات الأوساط الحسابية لكل مجموعة بيانات ثم الضرب في التكرار المناظِر (ويجب أن نحسب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات في جدول تكراري بالطريقة نفسها).

قبل أن نتناول الصيغة وطريقة إيجاد الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات في جدول تكراري، دعونا نتذكر أولًا كيفية حساب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات باستخدام الجدول التكراري.

تعريف الوسط الحسابي لمجموعة بيانات في جدول تكراري

لمجموعة البيانات، 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍، بالتكرارات المناظِرة 𞸕=󰁙𞸕،𞸕،𞸕،،𞸕󰁘١٢٣𞸍 ،𞸍 من القيم المميزة لمجموعة البيانات، فإن الوسط الحسابي 𝜇 يُحسَب بالصيغة: 𝜇=𞸎𞸕+𞸎𞸕+𞸎𞸕++𞸎𞸕𞸕+𞸕+𞸕++𞸕=󰌄𞸎𞸕󰌄𞸕.١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍𞸍𞸓=١𞸓𞸓𞸍𞸓=١𞸓

هناك طريقة أخرى لتمثيل ذلك، وهي استخدام جدول يحتوي على قيم مجموعة البيانات في العمود الأول، ثم التكرارات المناظِرة في العمود الثاني، وضرب نقطة البيانات في تكرارها في العمود الثالث، والمجاميع في الصف الأخير من الجدول. بعد ذلك يمكن حساب الوسط الحسابي بقسمة مجموع العمود الثاني على مجموع العمود الثالث.

𞸎𞸓𞸕𞸓𞸎𞸕𞸓𞸓
𞸎١𞸕١𞸎𞸕١١
𞸎٢𞸕٢𞸎𞸕٢٢
𞸎٣𞸕٣𞸎𞸕٣٣
𞸎𞸍𞸕𞸍𞸎𞸕𞸍𞸍
𞸍𞸓=١𞸓󰌇𞸕𞸍𞸓=١𞸓𞸓󰌇𞸎𞸕

بعد أن لخَّصنا كيفية إيجاد الوسط الحسابي لمجموعة بيانات في جدول تكراري، سنتناول الانحراف المعياري. وصيغته هي كما يأتي.

تعريف الانحراف المعياري لمجموعة بيانات في جدول تكراري

لمجموعة البيانات 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍، بالتكرارات المتناظرة 𞸕=󰁙𞸕،𞸕،𞸕،،𞸕󰁘١٢٣𞸍، 𞸍 من القيم المميزة لمجموعة البيانات، والوسط الحسابي 𝜇 فإن الانحراف المعياري 𝜎𞸎 يُحسَب على النحو الآتي: 𝜎=󰋽󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕+󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕+󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕++󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕𞸕+𞸕+𞸕++𞸕=󰌁󰌀󰌀󰌂󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸕󰌄𞸕.𞸎١٢١٢٢٢٣٢٣𞸍٢𞸍١٢٣𞸍𞸍𞸓=١𞸓٢𞸓𞸍𞸓=١𞸓

طريقة إيجاد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات هي نفسها طريقة إيجاد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات في جدول تكراري؛ ولكن هناك بعض الاختلافات المهمة. أثناء التعامل مع التكرارات، علينا ضرب كل قيمة من قيم البيانات في التكرار المناظِر لها عند حساب الوسط الحسابي. وأيضًا، عند حساب مجموع مربعات الفرق بين الوسط الحسابي وكل قيمة مختلفة من قيم البيانات، علينا أيضًا الضرب في التكرار.

في المثال الآتي، سنناقش كيفية إيجاد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات موجودة في جدول تكراري.

مثال ٦: تحديد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات

يوضِّح الجدول الآتي توزيع الأهداف المسجَّلة في النصف الأول من موسم كرة قدم.

عدد الأهداف٠١٣٤٦
عدد المباريات٥٢٧٧٤

أوجد الانحراف المعياري لعدد الأهداف. قرِّب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

بما أن البيانات في هذا السؤال ممثَّلة في صورة جدول تكراري، إذن يمكننا حساب الانحراف المعياري 𝜎𞸎 باستخدام الصيغة: 𝜎=󰋽󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕+󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕+󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕++󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕𞸕+𞸕+𞸕++𞸕=󰋽󰌄(𞸎𝜇)𞸕󰌄𞸕،𞸎١٢١٢٢٢٣٢٣𞸍٢𞸍١٢٣𞸍𞸍𞸓=١𞸓٢𞸓𞸍𞸓=١𞸓 حيث 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍 يمثِّل قيم مجموعة البيانات ذات التكرارات المناظِرة 𞸕=󰁙𞸕،𞸕،𞸕،،𞸕󰁘١٢٣𞸍، يوجد 𞸍 من القيم المميزة لمجموعة البيانات، والوسط الحسابي الذي يمثِّله الرمز 𝜇.

في هذا السؤال، قيم مجموعة البيانات هي عدد الأهداف المسجلة في النصف الأول من موسم كرة القدم. يشير عدد المباريات إلى تكرار كل عدد من الأهداف. دعونا نعيد كتابة ذلك باستخدام 𞸎𞸓 ،𞸕𞸓 بوصفهما اسمين للعمودين ثم تدوير الجدول، كما يأتي:

𞸎𞸓𞸕𞸓
٠٥
١٢
٣٧
٤٧
٦٤

لحساب الانحراف المعياري، علينا أولًا حساب الوسط الحسابي 𝜇. لمجموعة من البيانات 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍 بالتكرارات المناظِرة 𞸕=󰁙𞸕،𞸕،𞸕،،𞸕󰁘١٢٣𞸍 ،𞸍 من القيم المميزة لمجموعة البيانات، نستخدم الصيغة الآتية: 𝜇=𞸎𞸕+𞸎𞸕+𞸎𞸕++𞸎𞸕𞸕+𞸕+𞸕++𞸕=󰌄𞸎𞸕󰌄𞸕.١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍𞸍𞸓=١𞸓𞸓𞸍𞸓=١𞸓

باستخدام الجدول السابق، يمكننا إضافة عمود جديد لإيجاد 𞸎𞸕𞸓𞸓 لكل قيمة من 𞸓 ثم نستخدم ذلك لإيجاد الوسط الحسابي.

𞸎𞸓𞸕𞸓𞸎𞸕𞸓𞸓
٠٥٠×٥=٠
١٢١×٢=٢
٣٧٣×٧=١٢
٤٧٤×٧=٨٢
٦٤٦×٤=٤٢

بجمع قيم 𞸎𞸕𞸓𞸓 ثم قسمة مجموع التكرارات، نحصل على: 𝜇=𞸎𞸕+𞸎𞸕+𞸎𞸕++𞸎𞸕𞸕+𞸕+𞸕++𞸕=٠+٢+١٢+٨٢+٤٢٥+٢+٧+٧+٤=٥٧٥٢=٣.١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍

بعد ذلك، سنحسب الفرق بين كل قيمة من قيم مجموعة البيانات والوسط الحسابي، ثم نأخذ مربع هذا الفرق لإيجاد مجموع المربعات. وسنفعل ذلك بإضافة عمودين آخرين إلى الجدول السابق.

𞸎𞸓𞸕𞸓𞸎𞸕𞸓𞸓𞸎𝜇𞸓󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢
٠٥٠×٥=٠٠٣=٣(٣)=٩٢
١٢١×٢=٢١٣=٢(٢)=٤٢
٣٧٣×٧=١٢٣٣=٠٠=٠٢
٤٧٤×٧=٨٢٤٣=١١=١٢
٦٤٦×٤=٤٢٦٣=٣٣=٩٢

والآن، علينا حساب حاصل ضرب الفرق بين مربعات الوسط الحسابي وقيم البيانات في تكرارات قيم مجموعة البيانات. سنضيف عمودًا آخر بالجدول لنفعل ذلك.

𞸎𞸓𞸕𞸓𞸎𞸕𞸓𞸓𞸎𝜇𞸓󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢󰁓𞸎𝜇󰁒𞸕𞸓٢𞸓
٠٥٠×٥=٠٠٣=٣(٣)=٩٢٩×٥=٥٤
١٢١×٢=٢١٣=٢(٢)=٤٢٤×٢=٨
٣٧٣×٧=١٢٣٣=٠٠=٠٢٠×٧=٠
٤٧٤×٧=٨٢٤٣=١١=١٢١×٧=٧
٦٤٦×٤=٤٢٦٣=٣٣=٩٢٩×٤=٦٣

والآن، نحن جاهزون لإيجاد الانحراف المعياري. سنعوض بالقيم من الجدول في صيغة الانحراف المعياري ثم نحل لإيجاد 𝜎𞸎: 𝜎=󰋽󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕+󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕+󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕++󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕𞸕+𞸕+𞸕++𞸕=󰋺٥٤+٨+٠+٧+٦٣٥+٢+٧+٧+٤=󰋺٦٩٥٢=󰋴٤٨٫٣=٩٥٩٥٩٫١٠٦٩٫١،𞸎١٢١٢٢٢٣٢٣𞸍٢𞸍١٢٣𞸍 وهو ما يساوي ١٫٩٦٠ لأقرب ثلاث منازل عشرية.

ومن ثم، فإن الانحراف المعياري لعدد الأهداف المسجَّلة يساوي ١٫٩٦٠ لأقرب ثلاث منازل عشرية.

بعد ذلك، سوف نتناول كيفية حساب الانحراف المعياري لبيانات مُجمَّعة باستخدام نقطة المنتصف. وتتضمن هذه الطريقة الخطوات نفسها مثل طريقة الجداول التكرارية، لكننا نتعامل هنا مع فترات مجموعة بيانات وليس مجموعة قيم، ولذلك علينا استخدام نقطة المنتصف لتقريب مجموعة القيم. سنتعرَّف على ذلك في المثال الأخير.

مثال ٧: أوجد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات مجمَّعة

أكمل ٩٢ طالبًا اختبارًا، وسُجِّلَت درجاتهم في الجدول التكراري الآتي. أوجد الانحراف المعياري لأقرب منزلتين عشريتين.

الدرجة٠<𞸃٠٢٠٢<𞸃٠٤٠٤<𞸃٠٦٠٦<𞸃٠٨٠٨<𞸃٠٠١
التكرار٢٦١٠٢٤٥٢٧

الحل

بما أن البيانات في هذا السؤال ممثَّلة في صورة جدول تكراري، إذن يمكننا حساب الانحراف المعياري، 𝜎𞸎، باستخدام الصيغة: 𝜎=󰋽󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕+󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕+󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕++󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕𞸕+𞸕+𞸕++𞸕=󰌁󰌀󰌀󰌂󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸕󰌄𞸕،𞸎١٢١٢٢٢٣٢٣𞸍٢𞸍١٢٣𞸍𞸍𞸓=١𞸓٢𞸓𞸍𞸓=١𞸓 حيث 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍 يمثِّل قيم مجموعة البيانات بالتكرارات المتناظرة 𞸕=󰁙𞸕،𞸕،𞸕،،𞸕󰁘١٢٣𞸍، ويوجد 𞸍 من القيم المميزة لمجموعة البيانات، والوسط الحسابي يمثِّله 𝜇.

في هذا النوع من المسائل، لدينا «فئات» مختلفة من القيم تمثِّلها فترات وليست قيم دقيقة. وهذا يعني أنه لا يمكننا تطبيق الصيغة السابقة مباشرة، لأنه لا يمكننا التعويض بهذه الفترات عن قيم 𞸎𞸓 في الصيغة لدينا.

بدلًا من ذلك، فإن الطريقة التي يجب أن نتبعها هي إيجاد «نقطة منتصف» كل فترة واستخدامها لتمثيل قيمة 𞸎𞸓 المناظِرة لها. بعد القيام بهذا، يمكننا التعامل مع المسألة مثل أيِّ مسألة جدول تكراري آخر ذي مجموعات.

لإيجاد نقطة المنتصف، نجمع الأطراف معًا ثم نقسم على ٢. وهذا يساعدنا على إيجاد انحراف معياري تقريبي لمجموعة البيانات.

إذن، قيم مجموعة البيانات هي نقطة منتصف كلٍّ من الدرجات التي حصل عليها الطلاب في الاختبار، والتكرارات المناظِرة لها هي تكرارات كل قيمة من القيم. هيَّا نوجد نقطة المنتصف لكل فترة من الفترات، ثم نعيد كتابة نقاط المنتصف تحت اسم 𞸎𞸓 والتكرارات تحت اسم 𞸕𞸓 كما يأتي:

الفترةنقطة المنتصف 𞸎𞸓التكرار 𞸕𞸓
٠<𞸃٠٢٠+٠٢٢=٠١٢٦
٠٢<𞸃٠٤٠٢+٠٤٢=٠٣١٠
٠٤<𞸃٠٦٠٤+٠٦٢=٠٥٢٤
٠٦<𞸃٠٨٠٦+٠٨٢=٠٧٥
٠٨<𞸃٠٠١٠٨+٠٠١٢=٠٩٢٧

لحساب الانحراف المعياري، علينا أولًا حساب الوسط الحسابي، 𝜇. لمجموعة البيانات 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍 بالتكرارات المناظِرة 𞸕=󰁙𞸕،𞸕،𞸕،،𞸕󰁘١٢٣𞸍 ،𞸍 من القيم المميزة لمجموعة البيانات، نستخدم الصيغة الآتية: 𝜇=𞸎𞸕+𞸎𞸕+𞸎𞸕++𞸎𞸕𞸕+𞸕+𞸕++𞸕=󰌄𞸎𞸕󰌄𞸕.١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍𞸍𞸓=١𞸓𞸓𞸍𞸓=١𞸓

مرة أخرى، نتذكر أن نقطة المنتصف تُستخدَم الآن لتمثيل قيم 𞸎𞸓. باستخدام الجدول السابق، يمكننا إضافة عمود جديد لإيجاد 𞸎𞸕𞸓𞸓 لكلٍّ من قيم 𞸓 ثم نستخدم هذا لإيجاد الوسط الحسابي.

الفترةنقطة المنتصف 𞸎𞸓التكرار 𞸕𞸓𞸎𞸕𞸓𞸓
٠<𞸃٠٢٠+٠٢٢=٠١٢٦٠١×٦٢=٠٦٢
٠٢<𞸃٠٤٠٢+٠٤٢=٠٣١٠٠٣×٠١=٠٠٣
٠٤<𞸃٠٦٠٤+٠٦٢=٠٥٢٤٠٥×٤٢=٠٠٢١
٠٦<𞸃٠٨٠٦+٠٨٢=٠٧٥٠٧×٥=٠٥٣
٠٨<𞸃٠٠١٠٨+٠٠١٢=٠٩٢٧٠٩×٧٢=٠٣٤٢

بجمع قيم 𞸎𞸕𞸓𞸓 وقسمة مجموع التكرارات، نحصل على: 𝜇=𞸎𞸕+𞸎𞸕+𞸎𞸕++𞸎𞸕𞸕+𞸕+𞸕++𞸕=٠٦٢+٠٠٣+٠٠٢١+٠٥٣+٠٣٤٢٦٢+٠١+٤٢+٥+٧٢=٠٤٥٤٢٩٢٨٧٤٣٫٩٤.١١٢٢٣٣𞸍𞸍١٢٣𞸍

بعد ذلك، نحسب الفرق بين نقاط المنتصف لكل فئة من مجموعة البيانات والوسط الحسابي ثم نحسب مربع هذا الفرق لكي نوجد مجموع المربعات. سنفعل ذلك بإضافة عمودين آخرين إلى الجدول السابق. لاحظ أن جميع القيم مقرَّبة لأقرب ٤ منازل عشرية.

الفترةنقطة المنتصف 𞸎𞸓التكرار 𞸕𞸓𞸎𞸕𞸓𞸓𞸎𝜇𞸓󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢
٠<𞸃٠٢٠+٠٢٢=٠١٢٦٠١×٦٢=٠٦٢٠١٨٧٤٣٫٩٤=٨٧٤٣٫٩٣١‎ ‎٥٤٨٫٢٤٩٤
٠٢<𞸃٠٤٠٢+٠٤٢=٠٣١٠٠٣×٠١=٠٠٣٠٣٨٧٤٣٫٩٤=٨٧٤٣٫٩١٣٧٤٫٣٣٧٥
٠٤<𞸃٠٦٠٤+٠٦٢=٠٥٢٤٠٥×٤٢=٠٠٢١٠٥٨٧٤٣٫٩٤=٢٢٥٦٫٠٠٫٤٢٥٤
٠٦<𞸃٠٨٠٦+٠٨٢=٠٧٥٠٧×٥=٠٥٣٠٧٨٧٤٣٫٩٤=٢٢٥٦٫٠٢٤٢٦٫٥١٣٤
٠٨<𞸃٠٠١٠٨+٠٠١٢=٠٩٢٧٠٩×٧٢=٠٣٤٢٠٩٨٧٤٣٫٩٤=٢٢٥٦٫٠٤١‎ ‎٦٥٢٫٦٠١٤

علينا الآن حساب حاصل ضرب الفرق بين مربعات الوسط الحسابي ونقاط منتصف البيانات في تكرارات قيم مجموعة البيانات. سنضيف عمودًا آخر في الجدول لنفعل ذلك. ومرة أخرى، سنقرِّب الناتج لأقرب ٤ منازل عشرية.

الفترةنقطة المنتصف 𞸎𞸓التكرار 𞸕𞸓𞸎𞸕𞸓𞸓𞸎𝜇𞸓󰁓𞸎𝜇󰁒𞸓٢󰁓𞸎𝜇󰁒𞸕𞸓٢𞸓
٠<𞸃٠٢٠+٠٢٢=٠١٢٦٠١×٦٢=٠٦٢٠١٨٧٤٣٫٩٤=٨٧٤٣٫٩٣١‎ ‎٥٤٨٫٢٤٩٣٦٤٠‎ ‎٢٥٤٫٤٨١٨
٠٢<𞸃٠٤٠٢+٠٤٢=٠٣١٠٠٣×٠١=٠٠٣٠٣٨٧٤٣٫٩٤=٨٧٤٣٫٩١٣٧٤٫٣٣٧٣٦٥٣‎ ‎٧٤٣٫٣٧٣٦
٠٤<𞸃٠٦٠٤+٠٦٢=٠٥٢٤٠٥×٤٢=٠٠٢١٠٥٨٧٤٣٫٩٤=٢٢٥٦٫٠٠٫٤٢٥٣٦٤٨٤١٠٫٢٠٨٨
٠٦<𞸃٠٨٠٦+٠٨٢=٠٧٥٠٧×٥=٠٥٣٠٧٨٧٤٣٫٩٤=٢٢٥٦٫٠٢٤٢٦٫٥١٣٣٦٥٢‎ ‎١٣٢٫٥٦٦٨
٠٨<𞸃٠٠١٠٨+٠٠١٢=٠٩٢٧٠٩×٧٢=٠٣٤٢٠٩٨٧٤٣٫٩٤=٢٢٥٦٫٠٤١‎ ‎٦٥٢٫٦٠١٣٦٤٤‎ ‎٦٢٠٫٢٣٥١

نحن الآن جاهزون لإيجاد الانحراف المعياري. سنعوِّض بالقيم من الجدول في صيغة الانحراف المعياري ثم نحل لإيجاد 𝜎𞸎: 𝜎=󰋽󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕+󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕+󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕++󰁓𞸎𝜇󰁒×𞸕𞸕+𞸕+𞸕++𞸕=󰋺٨١٨٤٫٤٥٢٠٤+٦٣٧٣٫٣٤٧٣+٨٨٠٢٫٠١+٨٦٦٥٫٢٣١٢+١٥٣٢٫٠٢٦٤٤٦٢+٠١+٤٢+٥+٧٢=󰋺١٦٦٨٫٠٦٧٠٩٢٩=󰋴١١٣٥٫٦٨٩=١٩٠٤٫١٣،𞸎١٢١٢٢٢٣٢٣𞸍٢𞸍١٢٣𞸍 وهو ما يساوي ٣١٫٤١ لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن، الانحراف المعياري يساوي ٣١٫٤١ لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا الشارح، عرفنا معنى الانحراف المعياري وكيفية إيجاده لمجموعة بيانات، من قائمة وجدول تكراري. كما تعلَّمنا كيفية المقارنة بين مجموعات البيانات والخروج منها باستنتاجات، وذلك باستخدام الانحراف المعياري.

النقاط الرئيسية

  • يُستخدم الانحراف المعياري لمجموعة بيانات لقياس مدى تشتُّت البيانات عن الوسط الحسابي.
  • للبيانات الممثَّلة في قائمة، يُعطى الانحراف المعياري 𝜎𞸎 لمجموعة بيانات 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍 مكوَّنة من 𞸍 من العناصر ووسطها الحسابي 𝜇 بالصيغة: 𝜎=󰋽󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸍.𞸎𞸍𞸓=١𞸓٢
  • للبيانات الممثَّلة في جدول تكراري، يُعطى الانحراف المعياري 𝜎𞸎 لمجموعة بيانات 𞹎=󰁙𞸎،𞸎،𞸎،،𞸎󰁘١٢٣𞸍 بالتكرارات المناظِرة 𞸕=󰁙𞸕،𞸕،𞸕،،𞸕󰁘١٢٣𞸍، 𞸍 من القيم المميزة لمجموعة البيانات والوسط الحسابي 𝜇 بالصيغة: 𝜎=󰌁󰌀󰌀󰌂󰌄󰁓𞸎𝜇󰁒𞸕󰌄𞸕.𞸎𞸍𞸓=١𞸓٢𞸓𞸍𞸓=١𞸓
  • بالنسبة إلى الجداول التكرارية ذات المجموعات التي تُمثَّل فيها البيانات على صورة فترات، تُستخدم نقطة منتصف الفترة لتمثيل قيم 𞸎𞸓.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.