شارح الدرس: الانحراف المعياري لمجموعة بيانات الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: فهْم الانحراف المعياري

ما اسم الكمية التي تعبِّر عن الفرق بين عدد عناصر المجموعة وقيمة الوسط الحسابي للمجموعة؟

الحل

نحن نعلم أن الانحراف المعياري لمجموعة بيانات يحدِّد مدى تشتُّت مجموعة البيانات عن الوسط الحسابي. ويمكن وصف ذلك أيضًا بمدى اختلاف عناصر مجموعة البيانات عن الوسط الحسابي لمجموعة البيانات.

ومن ثم، فإن الكمية التي تعبِّر عن مدى اختلاف عناصر مجموعة عن الوسط الحسابي للمجموعة هي الانحراف المعياري. الانحراف المعياري المنخفض يوضِّح أن نقاط البيانات في المتوسط، أقرب إلى الوسط الحسابي، والانحراف المعياري المرتفع يوضِّح أن نقاط البيانات، في المتوسط، أبعد عن الوسط الحسابي.

مثال ٢: تعريف مجموعة قيم تشتُّتها يساوي صفرًا

إذا كان تشتُّت مجموعة قيم يساوي صفرًا، فأيٌّ مما يأتي صحيح؟

1. الفرق بين القيم الفردية كبير.
2. الفرق بين القيم الفردية صغير.
3. جميع القيم متساوية.
4. الوسط الحسابي لهذه القيم صفر.
5. جميع القيم سالبة.

الحل

يمكن قياس تشتُّت مجموعة البيانات باستخدام الانحراف المعياري، ويُشار إليه بالرمز . لمجموعة البيانات ، وتحتوي على قيمة، ووسطها الحسابي ، يُعطى الانحراف المعياري بالصيغة:

إذا كان تشتُّت مجموعة بيانات يساوي صفرًا، فإن الانحراف المعياري يساوي صفرًا. وبمساواة صيغة الانحراف المعياري بالصفر، نحصل على:

بتربيع الطرفين، يصبح لدينا:

وبضرب الطرفين في ، نجد أن:

والآن، نعلم أنه عند تربيع أيِّ عدد حقيقي أكبر من الصفر، نحصل على قيمة أكبر من الصفر أيضًا. وكذلك عند تربيع أيِّ عدد حقيقي أقل من الصفر، نحصل على قيمة أكبر من الصفر. إذن، يجب أن يساوي كلُّ قوس صفرًا لكي تكون النتيجة صفرًا:

بمساواة كل قوس بالصفر نحصل على:

عند الحل لإيجاد قيم ، نحصل على:

إذن، جميع عناصر مجموعة البيانات تساوي الوسط الحسابي وجميع العناصر متساوية، وهذا هو الخيار «ج».

مثال ٣: حساب الانحراف المعياري

إذا كان لمجموعة من ٦ قيم يساوي ٢٥، فأوجد الانحراف المعياري للمجموعة لأقرب جزء من ألف.

الحل

لحساب الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات، علينا أولًا أن نتذكر الصيغة: حيث يشير إلى الانحراف المعياري لمجموعة البيانات و، حيث هو عدد عناصر مجموعة البيانات، و هو الوسط الحسابي لمجموعة البيانات.

نعلم أن ، وهو ما يماثل القول إن . ونعلم أيضًا أن لدينا ٦ قيم، وهو ما يعني أن .

بالتعويض بـ و والحل لإيجاد قيمة ، نحصل على:

إذن، الإجابة هي ٢٫٠٤١ عند تقريبها لأقرب جزء من ألف.

مثال ٤: حساب الانحراف المعياري لمجموعة بيانات

احسب الانحراف المعياري للقيم ٤٥، ٣٥، ٤٢، ٤٩، ٣٩، ٣٤. أوجد الإجابة لأقرب ٣ منازل عشرية.

الحل

لإيجاد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات، نستخدم الصيغة: حيث يشير إلى الانحراف المعياري لمجموعة البيانات ، ، عدد عناصر مجموعة البيانات، الوسط الحسابي لمجموعة البيانات.

أولًا، نحسب الوسط الحسابي، ، لمجموعة البيانات. دعونا نتذكر صيغة الوسط الحسابي، وهي:

في هذه الحالة، مجموعة البيانات تتكون من وعدد عناصر مجموعة البيانات ٦. بالتعويض بـ عن وبـ ٦ عن ، نحصل على:

بعد ذلك، نحسب لكل عنصر في مجموعة البيانات. وللمساعدة في ذلك، سنضع البيانات في جدول كما يأتي:

وبناءً على ذلك، يمكننا الآن حساب . للقيام بذلك، نأخذ مربع لكل عناصر مجموعة البيانات، ثم نحسب مجموع كل البيانات. سنضيف عمودًا آخر إلى الجدول بالأعلى لسهولة الحساب.

بجمع لكل عنصر من عناصر البيانات، نحصل على:

والآن، يمكننا أن نعوض بـ ، مرة أخرى في الصيغة الأصلية للانحراف المعياري ثم الحل لإيجاد :

وبذلك، يكون الناتج ٥٫٣١٢ بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية.

إذن، الانحراف المعياري لمجموعة البيانات يساوي ٥٫٣١٢ لأقرب ٣ منازل عشرية.

مثال ٥: تحديد مجموعة البيانات التي لها أعلى انحراف معياري

باستخدام الانحراف المعياري، أيٌّ من المجموعات ، ، هي الأكثر تشتُّتًا؟

الحل

لإيجاد الانحراف المعياري لكلٍّ من مجموعات البيانات التي لدينا، نستخدم الصيغة: حيث يشير إلى الانحراف المعياري لمجموعة البيانات ، ، هو عدد عناصر مجموعة البيانات، هو الوسط الحسابي لمجموعة البيانات.

يمكننا ملاحظة أن كل مجموعة بيانات تتكون من أربعة عناصر، إذن يساوي ٤ لكل حالة.

أولًا، سنوجد الانحراف المعياري لكل مجموعة بيانات، ثم نقارن بين النواتج لتحديد أيٌّ منهما له أكثر تشتُّت.

للمجموعة ، سنوجد أولًا الوسط الحسابي، ، لمجموعة البيانات. دعونا نتذكر صيغة الوسط الحسابي، وهي:

إذن، بالتعويض بـ عن وبـ ٤ عن ، نحصل على:

بعد ذلك، سنحسب لكل عنصر في مجموعة البيانات. ولمساعدتنا في ذلك، نكتب البيانات في جدول كما يأتي:

وبناءً على ذلك، يمكننا الآن حساب . للقيام بذلك، سنقوم بتربيع لكل عناصر مجموعة البيانات، ثم نحسب مجموع كل البيانات. سنضيف عمودًا آخر إلى الجدول السابق لسهولة الحساب.

بجمع لكل عنصر في مجموعة البيانات، نحصل على:

يمكننا الآن التعويض بـ ، مرة أخرى في الصيغة الأصلية للانحراف المعياري والحل لإيجاد :

سنكرِّر الآن هذه الخطوات مع مجموعتَي البيانات الأُخْرَيَيْن.

للمجموعة ، الوسط الحسابي سيساوي:

لحساب ، نوجد ، لكل عنصر في مجموعة البيانات. سنكتب ذلك في جدول كما فعلنا من قبل.

بجمع لكل عنصر في مجموعة البيانات، نحصل على:

بالتعويض بـ ، مرة أخرى في الصيغة الأصلية للانحراف المعياري ثم الحل لإيجاد ، نحصل على:

لمجموعة البيانات الأخيرة، ، الوسط الحسابي سيساوي:

لحساب ، سنوجد ، لكل عنصر في مجموعة البيانات. وسنكتب ذلك في جدول كما فعلنا من قبل.

بجمع لكل عنصر في مجموعة البيانات، نحصل على:

وبالتعويض بـ ، مرة أخرى في الصيغة الأصلية للانحراف المعياري والحل لإيجاد قيمة عندما نحصل عليها:

لقد أوجدنا الانحراف المعياري لكلٍّ من مجموعات البيانات. لنلخِّص هذا كما يأتي:

• للمجموعة ، لدينا إلى أقرب منزلتين عشريتين.
• للمجموعة ، لدينا إلى أقرب منزلتين عشريتين.
• للمجموعة ، لدينا إلى أقرب منزلتين عشريتين.

بمقارنة مجموعات البيانات هذه، يمكننا ملاحظة أن المجموعة الأولى، ، لها أكبر انحراف معياري.

إذن، المجموعة هي الأعلى تشتُّتًا، وذلك لأن الانحراف المعياري هو قياس للتشتُّت.

مثال ٦: تحديد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات

يوضِّح الجدول الآتي توزيع الأهداف المسجَّلة في النصف الأول من موسم كرة قدم.

أوجد الانحراف المعياري لعدد الأهداف. قرِّب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

بما أن البيانات في هذا السؤال ممثَّلة في صورة جدول تكراري، إذن يمكننا حساب الانحراف المعياري باستخدام الصيغة: حيث يمثِّل قيم مجموعة البيانات ذات التكرارات المناظِرة ، يوجد من القيم المميزة لمجموعة البيانات، والوسط الحسابي الذي يمثِّله الرمز .

في هذا السؤال، قيم مجموعة البيانات هي عدد الأهداف المسجلة في النصف الأول من موسم كرة القدم. يشير عدد المباريات إلى تكرار كل عدد من الأهداف. دعونا نعيد كتابة ذلك باستخدام ، بوصفهما اسمين للعمودين ثم تدوير الجدول، كما يأتي:

لحساب الانحراف المعياري، علينا أولًا حساب الوسط الحسابي . لمجموعة من البيانات بالتكرارات المناظِرة ، من القيم المميزة لمجموعة البيانات، نستخدم الصيغة الآتية:

باستخدام الجدول السابق، يمكننا إضافة عمود جديد لإيجاد لكل قيمة من ثم نستخدم ذلك لإيجاد الوسط الحسابي.

بجمع قيم ثم قسمة مجموع التكرارات، نحصل على:

بعد ذلك، سنحسب الفرق بين كل قيمة من قيم مجموعة البيانات والوسط الحسابي، ثم نأخذ مربع هذا الفرق لإيجاد مجموع المربعات. وسنفعل ذلك بإضافة عمودين آخرين إلى الجدول السابق.

والآن، علينا حساب حاصل ضرب الفرق بين مربعات الوسط الحسابي وقيم البيانات في تكرارات قيم مجموعة البيانات. سنضيف عمودًا آخر بالجدول لنفعل ذلك.

والآن، نحن جاهزون لإيجاد الانحراف المعياري. سنعوض بالقيم من الجدول في صيغة الانحراف المعياري ثم نحل لإيجاد : وهو ما يساوي ١٫٩٦٠ لأقرب ثلاث منازل عشرية.

ومن ثم، فإن الانحراف المعياري لعدد الأهداف المسجَّلة يساوي ١٫٩٦٠ لأقرب ثلاث منازل عشرية.

مثال ٧: أوجد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات مجمَّعة

أكمل ٩٢ طالبًا اختبارًا، وسُجِّلَت درجاتهم في الجدول التكراري الآتي. أوجد الانحراف المعياري لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

بما أن البيانات في هذا السؤال ممثَّلة في صورة جدول تكراري، إذن يمكننا حساب الانحراف المعياري، ، باستخدام الصيغة: حيث يمثِّل قيم مجموعة البيانات بالتكرارات المتناظرة ، ويوجد من القيم المميزة لمجموعة البيانات، والوسط الحسابي يمثِّله .

في هذا النوع من المسائل، لدينا «فئات» مختلفة من القيم تمثِّلها فترات وليست قيم دقيقة. وهذا يعني أنه لا يمكننا تطبيق الصيغة السابقة مباشرة، لأنه لا يمكننا التعويض بهذه الفترات عن قيم في الصيغة لدينا.

بدلًا من ذلك، فإن الطريقة التي يجب أن نتبعها هي إيجاد «نقطة منتصف» كل فترة واستخدامها لتمثيل قيمة المناظِرة لها. بعد القيام بهذا، يمكننا التعامل مع المسألة مثل أيِّ مسألة جدول تكراري آخر ذي مجموعات.

لإيجاد نقطة المنتصف، نجمع الأطراف معًا ثم نقسم على ٢. وهذا يساعدنا على إيجاد انحراف معياري تقريبي لمجموعة البيانات.

إذن، قيم مجموعة البيانات هي نقطة منتصف كلٍّ من الدرجات التي حصل عليها الطلاب في الاختبار، والتكرارات المناظِرة لها هي تكرارات كل قيمة من القيم. هيَّا نوجد نقطة المنتصف لكل فترة من الفترات، ثم نعيد كتابة نقاط المنتصف تحت اسم والتكرارات تحت اسم كما يأتي:

لحساب الانحراف المعياري، علينا أولًا حساب الوسط الحسابي، . لمجموعة البيانات بالتكرارات المناظِرة ، من القيم المميزة لمجموعة البيانات، نستخدم الصيغة الآتية:

مرة أخرى، نتذكر أن نقطة المنتصف تُستخدَم الآن لتمثيل قيم . باستخدام الجدول السابق، يمكننا إضافة عمود جديد لإيجاد لكلٍّ من قيم ثم نستخدم هذا لإيجاد الوسط الحسابي.

بجمع قيم وقسمة مجموع التكرارات، نحصل على:

بعد ذلك، نحسب الفرق بين نقاط المنتصف لكل فئة من مجموعة البيانات والوسط الحسابي ثم نحسب مربع هذا الفرق لكي نوجد مجموع المربعات. سنفعل ذلك بإضافة عمودين آخرين إلى الجدول السابق. لاحظ أن جميع القيم مقرَّبة لأقرب ٤ منازل عشرية.

علينا الآن حساب حاصل ضرب الفرق بين مربعات الوسط الحسابي ونقاط منتصف البيانات في تكرارات قيم مجموعة البيانات. سنضيف عمودًا آخر في الجدول لنفعل ذلك. ومرة أخرى، سنقرِّب الناتج لأقرب ٤ منازل عشرية.

نحن الآن جاهزون لإيجاد الانحراف المعياري. سنعوِّض بالقيم من الجدول في صيغة الانحراف المعياري ثم نحل لإيجاد : وهو ما يساوي ٣١٫٤١ لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن، الانحراف المعياري يساوي ٣١٫٤١ لأقرب منزلتين عشريتين.