فيديو الدرس: الانحراف المعياري لمجموعة بيانات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد ونفسر الانحراف المعياري من مجموعة بيانات معطاة.

لكي نفهم معنى الانحراف المعياري لمجموعة بيانات، دعونا نتذكر أولًا تعريف الوسط الحسابي لمجموعة بيانات. الوسط الحسابي، الذي يعرف أيضًا باسم المتوسط أو القيمة المتوقعة لمجموعة بيانات، يستخدم باعتباره قياسًا للنزعة المركزية. لمجموعة البيانات ﺱ التي تحتوي على القيم ﺱ واحد وﺱ اثنين وﺱ ثلاثة، وهكذا حتى ﺱ ﻥ، والتي تتكون من ﻥ من القيم، فإن المتوسط الذي نشير إليه بـ ﺱ بار، يحسب بإيجاد مجموع البيانات وقسمته على عدد القيم ﻥ. ويمكن كتابة ذلك على صورة مجموع قيم ﺱ للعدد ﻥ من الحدود مقسومًا على ﻥ.

والآن، دعونا نتعرف على ما نعنيه بالانحراف المعياري. يستخدم الانحراف المعياري لمجموعة بيانات لقياس مدى تشتت البيانات عن الوسط الحسابي. فكلما زادت قيمة الانحراف المعياري، زاد تشتت البيانات عن الوسط الحسابي. وكلما قلت قيمة الانحراف المعياري، قل تشتت البيانات عن الوسط الحسابي. لمجموعة البيانات ﺱ نفسها التي تحتوي على القيم ﺱ واحد وﺱ اثنين، وهكذا حتى ﺱﻥ، والتي تتكون من ﻥ من القيم، يحسب الانحراف المعياري، الذي نشير إليه بـ 𝜎ﺱ، كما هو موضح. نحن نوجد الجذر التربيعي لمجموع الفرق بين قيم مجموعة البيانات والوسط الحسابي من المتوسط ﺱ بار تربيع، مقسومًا على عدد القيم ﻥ. وهذا يمكن تبسيطه إلى الصيغة الموضحة. تعد الصيغتان المختصرتان لحساب كل من الوسط الحسابي والانحراف المعياري أساسيتين لحل الأمثلة في هذا الفيديو.

سنبدأ باستخدام صيغة الانحراف المعياري لمجموعة بيانات لإيجاد الانحراف المعياري بمعلومية مجموع مربعات الفروق وعدد نقاط البيانات.

إذا كان مجموع ﺱ ناقص ﺱ بار الكل تربيع لمجموعة مكونة من ست قيم يساوي ٢٥، فأوجد الانحراف المعياري للمجموعة لأقرب جزء من ألف.

نبدأ بتذكر ما يعنيه الرمز الوارد في السؤال. ﺱ بار، وهو الوسط الحسابي لمجموعة البيانات. مطلوب منا إيجاد الانحراف المعياري للمجموعة. ويشار إلى الانحراف المعياري بـ 𝜎ﺱ، وهو يحقق المعادلة الموضحة. ‏ﻥ هو عدد القيم في مجموعة البيانات، وهو في هذا السؤال يساوي ستة. نعلم أيضًا أن مجموع ﺱ ناقص ﺱ بار الكل تربيع يساوي ٢٥. بالتعويض بهاتين القيمتين، نجد أن الانحراف المعياري 𝜎ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٥ على ستة. وبحساب ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج ٢٫٠٤١٢٤١ وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا تقريب الناتج لأقرب جزء من ألف. لذا علينا التقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية. ومن ثم، نجد أن الانحراف المعياري يساوي ٢٫٠٤١.

في هذا السؤال، لدينا مجموع الفرق بين قيم مجموعة بيانات الوسط الحسابي من المتوسط تربيع. لكن بصفة عامة، يكون لدينا مجموعة البيانات فقط. لذا، فإن خطوتنا التالية هي تناول العملية المكونة من أربع خطوات التي يمكننا استخدامها لإيجاد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات.

نبدأ بتذكر صيغة حساب الانحراف المعياري 𝜎ﺱ التي عرفناها سابقًا. بمعلومية مجموعة البيانات، تكون الخطوة الأولى هي إيجاد الوسط الحسابي ﺱ بار لمجموعة البيانات. الخطوة الثانية هي إيجاد الفرق بين الوسط الحسابي وقيمة كل نقطة من نقاط البيانات. والخطوة الثالثة هي إيجاد مجموع مربع كل قيمة من القيم التي أوجدناها في الخطوة الثانية. والخطوة الرابعة والأخيرة هي التعويض بمجموع المربعات وبقيمة ﻥ في الصيغة، ثم أخذ الجذر التربيعي لحساب الانحراف المعياري، مع العلم أن هذه القيمة يجب أن تكون دائمًا موجبة. والآن، سنتناول مثالًا علينا فيه اتباع هذه العملية المكونة من أربع خطوات.

احسب الانحراف المعياري للقيم ٤٥ و٣٥ و٤٢ و٤٩ و٣٩ و٣٤. أوجد الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

نبدأ بتذكر أن صيغة حساب الانحراف المعياري 𝜎ﺱ لمجموعة بيانات هي تلك الصيغة الموضحة، حيث ﻥ عدد عناصر مجموعة البيانات، وﺱ بار وسطها الحسابي. لعلنا نتذكر أنه يمكننا حساب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات بإيجاد مجموع القيم وقسمته على عدد القيم. الوسط الحسابي ﺱ بار في هذا السؤال يساوي مجموع القيم الست مقسومًا على ستة. وهذا يساوي ٢٢٤ مقسومًا على ستة، وهو ما يساوي ٤٠٫٦ دوري. والآن، سنقوم بإنشاء جدول يمكننا من اتباع العملية المكونة من أربع خطوات لحساب الانحراف المعياري.

في الصف الأول من هذا الجدول، لدينا القيم الست في مجموعة البيانات ﺱ. سنبدأ بطرح الوسط الحسابي ﺱ بار من كل قيمة من هذه القيم. ‏٤٥ ناقص ٤٠٫٦ دوري يساوي ٤٫٣ دوري. وبطرح الوسط الحسابي من ٣٥، نحصل على سالب ٥٫٦ دوري. بتكرار هذه العملية مع جميع القيم الأربع الأخرى في مجموعة البيانات، نحصل على ١٫٣ دوري، و٨٫٣ دوري، وسالب ١٫٦ دوري، وسالب ٦٫٦ دوري. الخطوة التالية هي إيجاد مربع كل قيمة من هذه القيم. بمعلومية أن جميع هذه القيم يجب أن تكون موجبة، نحصل على القيم الست الموضحة. يمكننا الآن إيجاد مجموع ﺱ ناقص ﺱ بار الكل تربيع لأول ست حدود. وهو مجموع القيم الست الموجودة في الصف الثالث. وهو مجموع القيم الست الموجودة في الصف الثالث.

بحساب ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ١٦٩٫٣ دوري. ومن ثم، فإن الانحراف المعياري 𝜎ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٦٩٫٣ دوري مقسومًا على ستة، وهو ما يساوي ٥٫٣١٢٤٥٩ وهكذا مع توالي الأرقام. وبما أنه مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية، نستنتج أن الانحراف المعياري للقيم ٤٥ و٣٥ و٤٢ و٤٩ و٣٩ و٣٤ هو ٥٫٣١٢.

قبل أن ننتقل إلى المثال الأخير، دعونا نتناول كيفية حساب الوسط الحسابي والانحراف المعياري لمجموعة بيانات في جدول تكراري. لمجموعة البيانات ﺱ التي تحتوي على القيم ﺱ واحد وﺱ اثنين، وهكذا حتى ﺱﻥ، بالتكرارات المناظرة ﻙ يساوي ﻙ واحدًا، ﻙ اثنين، وهكذا، وﻥ من القيم المختلفة لمجموعة البيانات، فإن الوسط الحسابي ﺱ بار يحسب كما هو موضح. وهو مجموع ﺱ ﻙ للعدد ﻥ من الحدود مقسومًا على مجموع ﻙ للعدد ﻥ من الحدود. عندما نجيب على أي سؤال من هذا النوع، علينا إضافة صف إلى الجدول يحتوي على قيم ﺱ مضروبة في ﻙ𝑖.

بعد ذلك، يمكننا استخدام قيمة الوسط الحسابي هذه لحساب الانحراف المعياري بطريقة مماثلة. الانحراف المعياري 𝜎 يساوي الجذر التربيعي لمجموع ﺱ ناقص ﺱ بار الكل تربيع مضروبًا في ﻙ للعدد ﻥ من الحدود، مقسومًا على مجموع ﻙ للعدد ﻥ من الحدود. بعد إيجاد مربعات الفروق، علينا ضرب كل قيمة من هذه القيم في التكرار قبل إيجاد مجموعها. لنتناول الآن مثالًا على هذا النوع من المسائل.

يوضح الجدول الآتي توزيع الأهداف المسجلة في الدور الأول من موسم كرة قدم. أوجد الانحراف المعياري لعدد الأهداف المسجلة. قرب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

نلاحظ من الجدول أنه في خمس مباريات، لم تسجل أي أهداف في الدور الأول. وفي مباراتين، سجل هدف واحد في كل منهما. هناك مجموعتان تتكون كل منهما من سبع مباريات، سجلت في كل مباراة من المجموعة الأولى ثلاثة أهداف، وسجلت في كل مباراة من المجموعة الثانية أربعة أهداف. وهناك أربع مباريات، سجلت فيها ستة أهداف في كل منها في الدور الأول. مطلوب منا إيجاد الانحراف المعياري لعدد الأهداف المسجلة. ويمكن حساب ذلك باستخدام الصيغة الموضحة بمعلومية مجموعة بيانات في جدول تكراري. في هذا السؤال، ﺱ هو عدد الأهداف. وﻙ هو عدد المباريات. ‏ﺱ بار هو الوسط الحسابي لعدد الأهداف المسجلة في المباراة الواحدة.

يمكن حساب قيمة الوسط الحسابي بإيجاد مجموع ﺱ مضروبًا في ﻙ للعدد ﻥ من الحدود مقسومًا على مجموع ﻙ للعدد ﻥ من الحدود. قبل استخدام أي من هاتين الصيغتين، سنضيف بعض الصفوف الأخرى إلى الجدول. لحساب الوسط الحسابي، نبدأ بضرب كل قيمة من قيم ﺱ في قيمة ﻙ المناظرة لها. وبضرب صفر من الأهداف في خمس مباريات، نحصل على صفر. واحد مضروبًا في اثنين يساوي اثنين. وبإتمام هذا الصف، نحصل على القيم ٢١ و٢٨ و٢٤. بإضافة عمود آخر للمجموع، يكون علينا إيجاد هذه القيمة للعدد ﻥ من الحدود للصفين الثاني والثالث.

مجموع التكرارات هو ٢٥ ؛ ما يعني أنه لعبت ٢٥ مباراة إجمالًا. وسيكون هذا هو المقام عند حساب كل من الوسط الحسابي والانحراف المعياري. بجمع صفر واثنين و٢١ و٢٨ و٢٤، نحصل على ٧٥. إذن، الوسط الحسابي يساوي ٧٥ مقسومًا على ٢٥. ومن ثم، الوسط الحسابي أو متوسط عدد الأهداف المسجلة في المباراة الواحدة يساوي ثلاثة. في الصف الرابع من الجدول، سنطرح هذا الوسط الحسابي من كل قيمة من قيم ﺱ. صفر ناقص ثلاثة يساوي سالب ثلاثة. وبطرح ﺱ بار من كل قيمة من قيم ﺱ الأخرى، نحصل على سالب اثنين وصفر وواحد وثلاثة. الخطوة التالية هي تربيع هذه القيم الخمس جميعها. بمعلومية أن تربيع أي عدد سالب يعطينا عددًا موجبًا، نحصل على تسعة وأربعة وصفر وواحد وتسعة.

وأخيرًا، علينا أن نضرب كل قيمة من هذه القيم في التكرار المناظر لها. تسعة مضروبًا في خمسة يساوي ٤٥. بعد ذلك، نضرب أربعة في اثنين، فنحصل على ثمانية. القيم الثلاث الأخيرة هي صفر وسبعة و٣٦. علينا الآن إيجاد مجموع القيم الموجودة في الصف الأخير. وهو يساوي ٩٦. ومن ثم، نجد أن الانحراف المعياري 𝜎ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٩٦ على ٢٥. يبسط ذلك إلى الجذر التربيعي لـ ٣٫٨٤. نتذكر أنه مطلوب منا تقريب الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية؛ لذا يمكننا حساب ذلك على الآلة الحاسبة. إذن، الانحراف المعياري لعدد الأهداف المسجلة، لأقرب ثلاث منازل عشرية، يساوي ١٫٩٦٠.

من الجدير بالذكر أنه يمكننا أيضًا إيجاد الانحراف المعياري لمجموعة بيانات مبوبة بطريقة مماثلة، على الرغم من أننا لن نتناولها في هذا الفيديو. فعندما نتعامل مع مجموعة بيانات مبوبة، نوجد نقطة منتصف كل مجموعة، وستكون هذه هي قيم ﺱ. بعد ذلك نطبق الخطوات نفسها المتبعة في هذا السؤال.

سنختتم الآن هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. عرفنا في هذا الفيديو أن الانحراف المعياري لمجموعة بيانات يستخدم لقياس مدى تشتت البيانات عن الوسط الحسابي. لأي بيانات ممثلة في قائمة، يحسب الانحراف المعياري 𝜎ﺱ باستخدام الصيغة الموضحة، حيث تحتوي مجموعة البيانات ﺱ على القيم ﺱ واحد، وﺱ اثنين وهكذا، حتى ﺱﻥ، وهي مكونة من ﻥ من العناصر ووسطها الحسابي ﺱ بار. عندما تكون البيانات ممثلة في جدول تكراري، وكل عنصر من عناصر مجموعة البيانات له تكرار مناظر ﻙ واحد، ﻙ اثنان وهكذا، حتى ﻙﻥ، يمكننا حساب الانحراف المعياري كما هو موضح. نلاحظ أيضًا أنه لأي جداول تكرارية ذات مجموعات تمثل فيها البيانات على صورة فترات، فإن نقطة منتصف الفترة تستخدم لتمثيل قيم ﺱ.