تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: العمود المنصِّف للوتر الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم نظرية العمود المنصِّف للوتر من مركز الدائرة، ومعكوس تلك النظرية لحلِّ المسائل.

دعونا نبدأ بتذكُّر تعريفات نصْف القطر والوتر والقطر. نصْف القطر هو القطعة المستقيمة التي يقع أحد طرفَيْها عند مركز الدائرة، وطرفها الآخَر على الدائرة.

أمَّا الوتر فهو أيُّ قطعة مستقيمة يقع طرفاها على الدائرة نفسها.

والقطر هو وتر من نوع خاص، وهو الذي يمرُّ بمركز الدائرة. وكما نرى في الشكل، فهو يتكوَّن أيضًا من نصْفَيْ قطر.

في هذا الشارح، سنتناول العمود المنصِّف للوتر، كما في الشكل الآتي.

توجد ثلاث نظريات تتعلَّق بالأعمدة المنصِّفة للأوتار، وسنتناولها في هذا الشارح. دعونا نبدأ بافتراض أن لدينا وترًا في دائرة، وخط مستقيم يمرُّ بمركز الدائرة، 󰏡، وينصِّف أيضًا الوتر 𞸁𞸢، كما هو موضَّح في الشكل.

سنبرهن الآن بالتناقض أن منصِّف الوتر، الذي يمرُّ بمركز الدائرة، عمودي أيضًا على الوتر. نفترض أن 󰌑󰏡𞸃𞸁٠٩، 󰌑󰏡𞸃𞸢٠٩.

في الشكل، يُمكننا أن نرى أن لدينا دائرة مركزها 󰏡، وبها الوتر 𞸁𞸢، والمنصِّف 󰄮󰄮𞸤𞸅، ونصفا القطرين 󰏡𞸁، 󰏡𞸢.

والآن، بما أن 󰏡𞸁، 󰏡𞸢 نصفا قطرين في الدائرة، إذن سيكونان متساويين في الطول. وأيضًا، بما أن 󰄮󰄮𞸤𞸅 ينصِّف 𞸢𞸁، يُمكننا القول إن الطولين 𞸢𞸃، 𞸃𞸁 سيكونان متساويين. وأخيرًا، المثلثان 󰏡𞸢𞸃، 󰏡𞸃𞸁 يشتركان في الضلع 󰏡𞸃؛ ولذا يُمكننا أن نلاحِظ أن الأضلاع الثلاثة لهذين المثلثين متساوية في الطول. ومن ثَمَّ، باستخدام مسلَّمة التطابق بثلاثة أضلاع، فإن: 󰏡𞸢𞸃󰏡𞸃𞸁.

بعد ذلك، نفكِّر في الزاويتين 󰌑󰏡𞸃𞸢، 󰌑󰏡𞸃𞸁. ونحن نعرف أن 𞸢𞸁 خط مستقيم؛ لأنه وتر داخل الدائرة. مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم هو ٠٨١. ونظرًا لتطابق المثلثين 󰏡𞸢𞸃، 󰏡𞸃𞸁، فإن 󰌑󰏡𞸃𞸁=󰌑󰏡𞸃𞸢. بتجميع هاتين النقطتين، نجد أن: 󰌑󰏡𞸃𞸁=󰌑󰏡𞸃𞸢=٠٨١٢=٠٩.

وهذا يتناقض مع افتراضنا في البداية، ومن ثَمَّ يُكمل البرهان. لنلخِّص ما أثبتناه للتوِّ من خلال النظرية الآتية.

نظرية منصِّف الوتر - الجزء الأول

إذا كانت لدينا دائرة مركزها 󰏡 تحتوي على الوتر 𞸁𞸢، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر 󰏡 وينصِّف الوتر 𞸁𞸢، يكون عموديًّا على 𞸁𞸢.

نظرية منصِّف الوتر الثانية مشابِهة جدًّا لهذه النظرية. لكنها تبدأ بافتراض مختلف قليلًا. هذه المرة، لدينا دائرة تحتوي على وتر، وخط مستقيم يمرُّ بمركز الدائرة 󰏡، وهو أيضًا عمودي على الوتر 𞸁𞸢، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

تنصُّ النظرية على أن المستقيم الذي يمرُّ بمركز الدائرة ويكون عموديًا على الوتر ينصِّف هذا الوتر أيضًا. برهان هذه النظرية مُشابِه جدًّا للبرهان الأول؛ ومن ثَمَّ لن نوضِّحه هنا.

نظرية منصِّف الوتر - الجزء الثاني

إذا كانت لدينا دائرة مركزها 󰏡، وتحتوي على الوتر 𞸁𞸢، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر 󰏡، ويكون عموديًا على 𞸁𞸢، ينصِّف أيضًا 𞸁𞸢.

النظرية الأخيرة التي سنتناولها تُسمَّى عادة معكوس نظرية منصِّف الوتر. وهي تُشبه النظريتين الأخريين تمامًا، لكنها تبدأ بافتراضات مختلفة قليلًا. تنصُّ هذه النظرية على أن العمود المنصِّف للوتر يمرُّ أيضًا بمركز الدائرة. والبرهان أيضًا يُشبه تمامًا برهان النظرية الأولى؛ ومن ثَمَّ نترك هذا البرهان تدريبًا للقارئ.

نظرية: معكوس نظرية العمود المنصِّف للوتر

إذا كانت لدينا دائرة مركزها 󰏡 تحتوي على الوتر 𞸁𞸢، فإن العمود المنصِّف للوتر 𞸁𞸢 يمرُّ عبر 󰏡.

والآن، بعد أن تناولنا هذه النظريات الثلاث، دعونا نتناول بعض الأمثلة على كيفية استخدامها لإيجاد الأطوال والزوايا الناقصة.

مثال ١: إيجاد طولٍ ناقصٍ باستخدام الأعمدة المنصِّفة للأوتار

إذا كان 󰏡𞸌=٠٠٢، 𞸌𞸢=٠٢١، فأوجد طول 󰏡𞸁.

الحل

نلاحِظ في هذا الشكل أن لدينا دائرة مركزها 𞸌. ويُوجَد أيضًا الوتر 󰏡𞸁، الذي تنصِّفه القطعة المستقيمة 𞸌𞸃 عند النقطة 𞸢. يُمكننا هنا تطبيق نظرية منصِّف الوتر، التي تنصُّ على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها 𞸌 تحتوي على الوتر 󰏡𞸁، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر 𞸌 وينصِّف الوتر 󰏡𞸁، يكون عموديًّا على 󰏡𞸁. ومن ثَمَّ، يُمكننا القول إن: 𞹟󰌑𞸌𞸢𞸁=٠٩.

نعلم من السؤال أن 󰏡𞸌=٠٠٢. 󰏡𞸌 نصْف قطر للدائرة، وكذلك 𞸁𞸌؛ وعليه فإن: 𞸁𞸌=٠٠٢.

نعلم أيضًا أن 𞸌𞸢=٠٢١، إذن هيَّا نُضِف هذه القيم إلى الشكل.

نلاحِظ من الشكل أن 𞸌𞸢𞸁 مثلث قائم الزاوية نعلم طولَيْ ضلعَيْن من أضلاعه. يُمكننا إذن إيجاد طول الضلع الثالث باستخدام نظرية فيثاغورس: 𞸁𞸢=󰋴٠٠٢٠٢١=٠٦١.٢٢

يصبح كلُّ ما علينا فعله الآن هو استخدام حقيقة أن النقطة 𞸢 تنصِّف 󰏡𞸁، إذن 󰏡𞸁=٢𞸁𞸢. وبالتعويض بقيمة 𞸁𞸢، نحصل على: 󰏡𞸁=٠٢٣.

في المثال الآتي، سنتعرَّف على كيفية تطبيق النظريات لإيجاد مساحة المثلث.

مثال ٢: إيجاد طول ناقص في مثلث ومساحته باستخدام الأعمدة المنصِّفة للأوتار

في الشكل التالي، إذا كان 𞸌󰏡=٢٫٧١، 󰏡𞸁=٦٫٧٢، فأوجد طول 𞸌𞸢، ومساحة 󰏡𞸃𞸁، لأقرب جزء من عشرة.

الحل

بما أن 𞸌 هو مركز الدائرة، والمستقيم 𞸌𞸃 ينصِّف الوتر 󰏡𞸁 عند النقطة 𞸢، يُمكننا تطبيق نظرية منصِّف الوتر، التي تنصُّ على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها 𞸌 تحتوي على الوتر 󰏡𞸁، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر 𞸌 وينصِّف الوتر 󰏡𞸁 يكون عموديًّا على 󰏡𞸁. ومن ثَمَّ، يُمكننا القول إن: 𞹟󰌑𞸌𞸢󰏡=٠٩.

نعلم طول 󰏡𞸁، ونعلم أيضًا أن النقطة 𞸢 تنصِّف هذا الوتر؛ لذا يُمكننا القول إن: 󰏡𞸢=٦٫٧٢٢=٨٫٣١.

بإضافة هذه المعلومات إلى الشكل، نلاحِظ أن لدينا المثلث القائم الزاوية 𞸌𞸢󰏡؛ حيث نعلم طولَيْ ضلعَيْن من أضلاعه. ومن ثَمَّ، يُمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول 𞸌𞸢: 𞸌𞸢=󰋴٢٫٧١٨٫٣١=٦٦٢٫٠١.٢٢

للإجابة عن الجزء الأول من السؤال، علينا تقريب هذه القيمة لأقرب جزء من عشرة. وبذلك، نحصل على: 𞸌𞸢=٣٫٠١.

بعد ذلك، علينا إيجاد مساحة 󰏡𞸃𞸁. نعرف أن 𞸌𞸃 عمودي على 󰏡𞸁، إذن نعلم أن 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃=٠٩. ونعلم أيضًا أن 󰏡𞸁=٦٫٧٢، إذن كلُّ ما علينا إيجاده هو طول 𞸢𞸃.

𞸌𞸃، 𞸌󰏡 نصْفا قطرين بالدائرة، إذن سيكون لهما الطول نفسه. وعليه فإن 𞸌𞸃=٢٫٧١. يُمكننا إيجاد طول 𞸢𞸃 بطرح طول 𞸌𞸢 الذي أوجدناه من قبل من طول 𞸌𞸃. وبذلك، نحصل على: 𞸢𞸃=٢٫٧١٦٦٢٫٠١=٣٣٩٫٦.

نحن نعلم أن مساحة المثلث تُعطى بالصيغة: ااةارع=١٢××.

وبالتعويض في هذه الصيغة، نجد أن مساحة هذا المثلث تساوي: 󰏡𞸃𞸁=١٢×٦٫٧٢×٣٣٩٫٦=٣٨٦٫٥٩.٢

كل ما علينا فعله الآن هو التقريب لأقرب جزء من عشرة، لنجد أن الحلَّ هو: 󰏡𞸃𞸁=٧٫٥٩.٢

في المثال الآتي، سنرى كيف يُمكننا استخدام عمودين منصفين لوترين لإيجاد قياس زاوية ناقصة.

مثال ٣: إيجاد قياس زاوية ناقصة باستخدام عمودين منصفين لوترين

󰏡𞸁، 󰏡𞸢 وتران في الدائرة التي مركزها 𞸌 على جانبين متقابلين؛ حيث 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=٣٣. إذا كانت النقطتان 𞸃، 𞸤 نقطتَيْ منتصف 󰏡𞸁، 󰏡𞸢، على الترتيب، فأوجد 𞹟󰌑𞸃𞸌𞸤.

الحل

يُمكننا بدء الحل بملاحَظة أن 𞸌𞸤، 𞸌𞸃 يمرَّان بمركز الدائرة، وينصِّفان الوترين 󰏡𞸢، 󰏡𞸁 على الترتيب. لذا يُمكننا تطبيق نظرية منصِّف الوتر، التي تنصُّ على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها 𞸌 تحتوي على الوتر 󰏡𞸁، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر 𞸌 وينصِّف الوتر 󰏡𞸁 يكون عموديًّا على 󰏡𞸁. باستخدام هذه النظرية، يُمكننا القول إن 𞸌𞸃󰏡𞸁، 𞸌𞸤󰏡𞸢؛ بحيث يصبح لدينا: 𞹟󰌑𞸌𞸤󰏡=٠٩𞹟󰌑𞸌𞸃󰏡=٠٩.،

بالنظر إلى الشكل الرباعي 󰏡𞸃𞸌𞸤، نلاحِظ أننا نعرف الآن قياسات ثلاث من الزوايا الداخلية. وبما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للشكل الرباعي يساوي ٠٦٣، إذن يُمكننا إيجاد قياس الزاوية المجهولة على النحو الآتي: 𞹟󰌑𞸃𞸌𞸤=٠٦٣٠٩٠٩٣٣=٧٤١.

في المثال الآتي، سنُوجِد محيط مثلث باستخدام الأعمدة المنصِّفة للأوتار.

مثال ٤: إيجاد محيط مثلث مرسوم داخل مثلث آخَر تمسُّ رءوسه دائرة

في الدائرة التي مركزها 𞸌، 󰏡𞸁=٥٣، 𞸢𞸁=٥٢، 󰏡𞸢=٠٤. إذا كانت 𞸌𞸃𞸁𞸢، 𞸌𞸤󰏡𞸢، فأوجد محيط 𞸢𞸃𞸤.

الحل

أول ما نلاحِظه في هذا السؤال هو أن القطعتين المستقيمتين 𞸌𞸤، 𞸌𞸃 يمرُّ كلٌّ منهما بالمركز 𞸌، ويقطعان الوترين 󰏡𞸢، 𞸢𞸁، على الترتيب، مكوِّنتين زاويتين قائمتين. ومن ثَمَّ، يُمكننا تطبيق النظرية التي تنصُّ على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها 𞸌، وتحتوي على الوتر 𞸁𞸢، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر 𞸌 يكون عموديًّا على الوتر 𞸁𞸢، وينصِّف أيضًا الوتر 𞸁𞸢.

باستخدام هذه المعلومات، يُمكننا القول إن: 󰏡𞸤=𞸢𞸤𞸢𞸃=𞸃𞸁.،

وهذا يعني أن 𞸤 هي نقطة المنتصف لـ 󰏡𞸢، 𞸃 هي نقطة المنتصف لـ 𞸁𞸢.

والآن، نستخدم نظرية نقطة المنتصف، التي تنصُّ على أن القطعة المستقيمة في مثلث الواصِلة بين نقطتَيِ المنتصف لضلعين في المثلث توازي الضلع الثالث، وطولها يساوي نصْف طول الضلع الثالث. ومن ثَمَّ لدينا: 𞸤𞸃=١٢󰏡𞸁=٥٣٢=٥٫٧١.

نحن نعرف أيضًا أن 𞸢𞸤=١٢󰏡𞸢=٠٢، 𞸢𞸃=١٢𞸢𞸁=٥٫٢١. وبتجميع هذه الأطوال الثلاثة، نَصِل إلى الحل: 𞸢𞸃𞸤=٥٫٧١+٠٢+٥٫٢١=٠٥.

في المثال الأخير، سنرى كيف يُمكننا استخدام الأعمدة المنصِّفة للأوتار لإيجاد قطر دائرة بمعلومية طول أحد الأوتار فيها.

مثال ٥: إيجاد طول قطر دائرة بمعلومية طول وتر فيها

باستخدام الشكل، وعلمًا بأن 𞸁𞸢=٢٣󰋴٣، أوجد قطر الدائرة.

الحل

يطلب منَّا السؤال إيجاد طول قطر الدائرة. بما أن طول القطر يساوي ضِعْف طول نِصْف القطر، فسيكون منطقيًّا البدء بتحديد طول نِصْف قطر الدائرة.

أول ما نلاحِظه عند النظر إلى هذا السؤال هو أن القطعة المستقيمة 𞸌󰏡 تمرُّ بمركز الدائرة، وهي أيضًا عمودية على الوتر 𞸁𞸢. وهذا يعني أن 𞸌󰏡 تنصِّف الوتر 𞸁𞸢. وبما أن 𞸁𞸢=٢٣󰋴٣، يُمكننا القول إن: 𞸁𞸃=٦١󰋴٣.

بعد ذلك، دعونا نفكِّر في 𞸌𞸁󰏡. نحن نعرف أن 𞸌𞸁=𞸁󰏡، ولكننا نعرف أيضًا أن 𞸌𞸁=𞸌󰏡؛ لأنهما نصفا قطرين بالدائرة. ومن ثَمَّ، فإن هذا المثلث متساوي الأضلاع. باستخدام هذه الحقيقة، يُمكننا القول إن: 𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁=٠٦.

يوضِّح الشكل الآتي المعلومات التي توصَّلنا إليها حتى الآن.

سنفكِّر الآن في 𞸌𞸃𞸁. ونلاحِظ أنه مثلث قائم الزاوية؛ حيث نعلم أن 󰌑𞸃𞸌𞸁=٠٦، 𞸁𞸃=٦١󰋴٣. هناك طريقتان يُمكننا استخدامهما لإيجاد طول 𞸌𞸁، وهو أيضًا نصْف قطر الدائرة. وسوف نتناول الطريقتين.

الطريقة الأولى

سنبدأ بالتفكير في 󰌑𞸌𞸁𞸃. نحن نعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ٠٨١، وأن قياسَيِ الزاويتين الأخريين في 𞸌𞸃𞸁 هما ٠٩، ٠٦. إذن لدينا: 󰌑𞸌𞸁𞸃=٠٨١٠٩٠٦=٠٣.

والآن يُمكننا استخدام حقيقة أنه في المثلث الذي زواياه ٣٠-٦٠-٩٠، يكون طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٠٣ يساوي نصْف طول الوتر، إذن 𞸌𞸁=٢𞸌𞸃.

وبما أن هذا المثلث قائم الزاوية، يُمكننا استخدام نظرية فيثاغورس التي تنصُّ على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعَيْ طولَيِ الضلعين الآخَرين. وبتطبيق هذا على المثلث، نعرف أن: 𞸌𞸁=𞸌𞸃+𞸁𞸃.٢٢٢

بعد ذلك، يُمكننا التعويض بـ 𞸌𞸁=٢𞸌𞸃، 𞸁𞸃=٦١󰋴٣، ثم التبسيط: (٢𞸌𞸃)=𞸌𞸃+󰂔٦١󰋴٣󰂓٣𞸌𞸃=٨٦٧𞸌𞸃=٦٥٢𞸌𞸃=٦١.٢٢٢٢٢

نلاحِظ أنه عند أخْذ الجذر التربيعي في الخطوة الأخيرة هنا، يُمكننا تجاهل الحل السالب؛ لأن 𞸌𞸃 لا بدَّ أن يكون موجبًا. يُمكننا الآن إيجاد طول 𞸌𞸁 باستخدام حقيقة أن 𞸌𞸁=٢𞸌𞸃. وهو ما يُعطينا: 𞸌𞸁=٢٣.

هذا هو طول نصْف قطر الدائرة. لكن السؤال يطلب منَّا إيجاد طول القطر؛ ومن ثَمَّ علينا مضاعفة ذلك لنحصل على الحل وهو: ٤٦.

الطريقة الثانية

في الطريقة الثانية، سنستخدم حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. نحن نعرف أن: اا𝜃=.

في السؤال لدينا، الضلع المقابل هو 𞸁𞸃، والوتر هو 𞸌𞸁. يُمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة لنحصل على: 𞸌𞸁=٦١󰋴٣٠٦=٢٣.

والآن بعد أن وجدنا طول نصْف القطر، كلُّ ما علينا فعله هو مضاعفة طوله لإيجاد طول القطر. وهذا يُعطينا الحل: ٤٦.

تناولنا مجموعة متنوِّعة من الأمثلة لكيفية استخدام الأعمدة المنصِّفة للأوتار لإيجاد أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا الناقصة والمجاهيل الأخرى في المسائل التي تتضمَّن دوائر. دعونا نلخَّص بعض النقاط الرئيسية في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • إذا كانت لدينا دائرة مركزها 󰏡 تحتوي على الوتر 𞸁𞸢، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر 󰏡 وينصِّف الوتر 𞸁𞸢، يكون عموديًّا على 𞸁𞸢.
  • إذا كانت لدينا دائرة مركزها 󰏡 تحتوي على الوتر 𞸁𞸢، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر 󰏡 وعمودي على الوتر 𞸁𞸢 ينصِّف أيضًا الوتر 𞸁𞸢.
  • إذا كانت لدينا دائرة مركزها 󰏡 تحتوي على الوتر 𞸁𞸢، فإن العمود المنصِّف للوتر 𞸁𞸢 يمرُّ عبر 󰏡.
  • يُمكن استخدام هذه النظريات لإيجاد أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا الناقصة والمجاهيل الأخرى في المسائل التي تتضمَّن دوائر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.