شارح الدرس: العمود المنصِّف للوتر الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: إيجاد طولٍ ناقصٍ باستخدام الأعمدة المنصِّفة للأوتار

إذا كان ، ، فأوجد طول .

الحل

نلاحِظ في هذا الشكل أن لدينا دائرة مركزها . ويُوجَد أيضًا الوتر ، الذي تنصِّفه القطعة المستقيمة عند النقطة . يُمكننا هنا تطبيق نظرية منصِّف الوتر، التي تنصُّ على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها تحتوي على الوتر ، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر وينصِّف الوتر ، يكون عموديًّا على . ومن ثَمَّ، يُمكننا القول إن:

نعلم من السؤال أن . نصْف قطر للدائرة، وكذلك ؛ وعليه فإن:

نعلم أيضًا أن ، إذن هيَّا نُضِف هذه القيم إلى الشكل.

نلاحِظ من الشكل أن مثلث قائم الزاوية نعلم طولَيْ ضلعَيْن من أضلاعه. يُمكننا إذن إيجاد طول الضلع الثالث باستخدام نظرية فيثاغورس:

يصبح كلُّ ما علينا فعله الآن هو استخدام حقيقة أن النقطة تنصِّف ، إذن . وبالتعويض بقيمة ، نحصل على:

مثال ٢: إيجاد طول ناقص في مثلث ومساحته باستخدام الأعمدة المنصِّفة للأوتار

في الشكل التالي، إذا كان ، ، فأوجد طول ، ومساحة ، لأقرب جزء من عشرة.

الحل

بما أن هو مركز الدائرة، والمستقيم ينصِّف الوتر عند النقطة ، يُمكننا تطبيق نظرية منصِّف الوتر، التي تنصُّ على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها تحتوي على الوتر ، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر وينصِّف الوتر يكون عموديًّا على . ومن ثَمَّ، يُمكننا القول إن:

نعلم طول ، ونعلم أيضًا أن النقطة تنصِّف هذا الوتر؛ لذا يُمكننا القول إن:

بإضافة هذه المعلومات إلى الشكل، نلاحِظ أن لدينا المثلث القائم الزاوية ؛ حيث نعلم طولَيْ ضلعَيْن من أضلاعه. ومن ثَمَّ، يُمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول :

للإجابة عن الجزء الأول من السؤال، علينا تقريب هذه القيمة لأقرب جزء من عشرة. وبذلك، نحصل على:

بعد ذلك، علينا إيجاد مساحة . نعرف أن عمودي على ، إذن نعلم أن . ونعلم أيضًا أن ، إذن كلُّ ما علينا إيجاده هو طول .

، نصْفا قطرين بالدائرة، إذن سيكون لهما الطول نفسه. وعليه فإن . يُمكننا إيجاد طول بطرح طول الذي أوجدناه من قبل من طول . وبذلك، نحصل على:

نحن نعلم أن مساحة المثلث تُعطى بالصيغة:

وبالتعويض في هذه الصيغة، نجد أن مساحة هذا المثلث تساوي:

كل ما علينا فعله الآن هو التقريب لأقرب جزء من عشرة، لنجد أن الحلَّ هو:

مثال ٣: إيجاد قياس زاوية ناقصة باستخدام عمودين منصفين لوترين

، وتران في الدائرة التي مركزها على جانبين متقابلين؛ حيث . إذا كانت النقطتان ، نقطتَيْ منتصف ، ، على الترتيب، فأوجد .

الحل

يُمكننا بدء الحل بملاحَظة أن ، يمرَّان بمركز الدائرة، وينصِّفان الوترين ، على الترتيب. لذا يُمكننا تطبيق نظرية منصِّف الوتر، التي تنصُّ على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها تحتوي على الوتر ، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر وينصِّف الوتر يكون عموديًّا على . باستخدام هذه النظرية، يُمكننا القول إن ، ؛ بحيث يصبح لدينا:

بالنظر إلى الشكل الرباعي ، نلاحِظ أننا نعرف الآن قياسات ثلاث من الزوايا الداخلية. وبما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للشكل الرباعي يساوي ، إذن يُمكننا إيجاد قياس الزاوية المجهولة على النحو الآتي:

مثال ٤: إيجاد محيط مثلث مرسوم داخل مثلث آخَر تمسُّ رءوسه دائرة

في الدائرة التي مركزها ، ، ، . إذا كانت ، ، فأوجد محيط .

الحل

أول ما نلاحِظه في هذا السؤال هو أن القطعتين المستقيمتين ، يمرُّ كلٌّ منهما بالمركز ، ويقطعان الوترين ، ، على الترتيب، مكوِّنتين زاويتين قائمتين. ومن ثَمَّ، يُمكننا تطبيق النظرية التي تنصُّ على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها ، وتحتوي على الوتر ، فإن الخط المستقيم الذي يمرُّ عبر يكون عموديًّا على الوتر ، وينصِّف أيضًا الوتر .

باستخدام هذه المعلومات، يُمكننا القول إن:

وهذا يعني أن هي نقطة المنتصف لـ ، هي نقطة المنتصف لـ .

والآن، نستخدم نظرية نقطة المنتصف، التي تنصُّ على أن القطعة المستقيمة في مثلث الواصِلة بين نقطتَيِ المنتصف لضلعين في المثلث توازي الضلع الثالث، وطولها يساوي نصْف طول الضلع الثالث. ومن ثَمَّ لدينا:

نحن نعرف أيضًا أن ، . وبتجميع هذه الأطوال الثلاثة، نَصِل إلى الحل:

مثال ٥: إيجاد طول قطر دائرة بمعلومية طول وتر فيها

باستخدام الشكل، وعلمًا بأن ، أوجد قطر الدائرة.

الحل

يطلب منَّا السؤال إيجاد طول قطر الدائرة. بما أن طول القطر يساوي ضِعْف طول نِصْف القطر، فسيكون منطقيًّا البدء بتحديد طول نِصْف قطر الدائرة.

أول ما نلاحِظه عند النظر إلى هذا السؤال هو أن القطعة المستقيمة تمرُّ بمركز الدائرة، وهي أيضًا عمودية على الوتر . وهذا يعني أن تنصِّف الوتر . وبما أن ، يُمكننا القول إن:

بعد ذلك، دعونا نفكِّر في . نحن نعرف أن ، ولكننا نعرف أيضًا أن ؛ لأنهما نصفا قطرين بالدائرة. ومن ثَمَّ، فإن هذا المثلث متساوي الأضلاع. باستخدام هذه الحقيقة، يُمكننا القول إن:

يوضِّح الشكل الآتي المعلومات التي توصَّلنا إليها حتى الآن.

سنفكِّر الآن في . ونلاحِظ أنه مثلث قائم الزاوية؛ حيث نعلم أن ، . هناك طريقتان يُمكننا استخدامهما لإيجاد طول ، وهو أيضًا نصْف قطر الدائرة. وسوف نتناول الطريقتين.

الطريقة الأولى

سنبدأ بالتفكير في . نحن نعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ، وأن قياسَيِ الزاويتين الأخريين في هما ، . إذن لدينا:

والآن يُمكننا استخدام حقيقة أنه في المثلث الذي زواياه ٣٠-٦٠-٩٠، يكون طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها يساوي نصْف طول الوتر، إذن .

وبما أن هذا المثلث قائم الزاوية، يُمكننا استخدام نظرية فيثاغورس التي تنصُّ على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعَيْ طولَيِ الضلعين الآخَرين. وبتطبيق هذا على المثلث، نعرف أن:

بعد ذلك، يُمكننا التعويض بـ ، ، ثم التبسيط:

نلاحِظ أنه عند أخْذ الجذر التربيعي في الخطوة الأخيرة هنا، يُمكننا تجاهل الحل السالب؛ لأن لا بدَّ أن يكون موجبًا. يُمكننا الآن إيجاد طول باستخدام حقيقة أن . وهو ما يُعطينا:

هذا هو طول نصْف قطر الدائرة. لكن السؤال يطلب منَّا إيجاد طول القطر؛ ومن ثَمَّ علينا مضاعفة ذلك لنحصل على الحل وهو:

الطريقة الثانية

في الطريقة الثانية، سنستخدم حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. نحن نعرف أن:

في السؤال لدينا، الضلع المقابل هو ، والوتر هو . يُمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة لنحصل على:

والآن بعد أن وجدنا طول نصْف القطر، كلُّ ما علينا فعله هو مضاعفة طوله لإيجاد طول القطر. وهذا يُعطينا الحل: