فيديو الدرس: العمود المنصف للوتر الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية العمود المنصف للوتر من مركز الدائرة، ومعكوس تلك النظرية لحل المسائل.

١٣:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية العمود المنصف للوتر من مركز الدائرة، ومعكوس تلك النظرية لحل المسائل. دعونا نبدأ بتذكر تعريفات نصف القطر والوتر والقطر. نصف القطر هو القطعة المستقيمة التي يقع أحد طرفيها عند مركز الدائرة، ويقع الطرف الآخر على المحيط. والوتر هو أي قطعة مستقيمة يقع طرفاها على محيط نفس الدائرة. أما القطر فهو وتر من نوع خاص يمر عبر مركز الدائرة. وتجدر الإشارة هنا إلى أن القطر عبارة عن نصفي قطر.

سنتناول الآن شكل العمود المنصف للوتر. في الشكل الموضح، لدينا الوتر ﺏﺟ، والعمود المنصف له. سنستعرض في هذا الفيديو ثلاث نظريات. وفي كل حالة لدينا، سيكون علينا التعامل مع مركز الدائرة ﺃ ونصفي القطرين ﺃﺏ وﺃﺟ.

تنص النظرية الأولى على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها ﺃ، وتحتوي على الوتر ﺏﺟ، فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر ﺃ وينصف الوتر ﺏﺟ يكون عموديًّا على ﺏﺟ. النظرية الثانية مشابهة جدًّا للأولى. إذا كانت لدينا دائرة مركزها ﺃ، وتحتوي على الوتر ﺏﺟ، فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر ﺃ ويكون عموديًّا على ﺏﺟ ينصف الوتر ﺏﺟ أيضًا. أما النظرية الثالثة فهي معكوس نظرية منصف الوتر. وتنص على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها ﺃ، وتحتوي على الوتر ﺏﺟ، فإن العمود المنصف للوتر ﺏﺟ يمر عبر ﺃ.

من المهم هنا ملاحظة أن العمود المنصف للوتر ينتج عنه مثلثان متطابقان. في الشكل الموضح، هذان المثلثان هما ﺃﺩﺟ وﺃﺩﺏ. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي يمكننا من خلالها استخدام النظريات التي استعرضناها لإيجاد أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا الناقصة.

إذا كان ﺃﻡ يساوي ٢٠٠ سنتيمتر، وﻡﺟ يساوي ١٢٠ سنتيمترًا، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ‏.

في الشكل الموضح، لدينا دائرة مركزها ﻡ. والقطعة المستقيمة ﻡﺩ تنصف الوتر ﺃﺏ عند النقطة ﺟ. بتطبيق نظرية منصف الوتر التي تنص على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها ﻡ، وتحتوي على الوتر ﺃﺏ، فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر ﻡ وينصف الوتر ﺃﺏ يكون عموديًّا على ﺃﺏ. يمكننا القول إذن إن قياس الزاوية ﻡﺟﺏ يساوي ٩٠ درجة. ونحن نعلم من السؤال أن طول ﺃﻡ يساوي ٢٠٠ سنتيمتر. وبما أن هذا نصف قطر في الدائرة، فإن ﺏﻡ يساوي أيضًا ٢٠٠ سنتيمتر. نحن نعلم أيضًا من المعطيات أن ﻡﺟ يساوي ١٢٠ سنتيمترًا. بإضافة هذه القياسات إلى الشكل، يصبح لدينا المثلث القائم الزاوية ﻡﺟﺏ، كما هو موضح.

بتطبيق نظرية فيثاغورس، نجد أن طول ﺏﺟ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٠٠ تربيع ناقص ١٢٠ تربيع. وهذا يساوي ١٦٠. وبما أن ﺏﺟ يساوي ١٦٠ سنتيمترًا، والنقطة ﺟ تنصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ، فإن ﺃﺟ يساوي ١٦٠ سنتيمترًا أيضًا. إذن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تساوي ٣٢٠ سنتيمترًا.

في المثال الآتي، سنتعرف على كيفية تطبيق النظريات لإيجاد مساحة مثلث.

في الشكل الآتي، إذا كان ﻡﺃ يساوي ١٧٫٢ سنتيمترًا، وﺃﺏ يساوي ٢٧٫٦ سنتيمترًا، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﻡﺟ، ومساحة المثلث ﺃﺩﺏ، لأقرب جزء من عشرة.

بما أن ﻡ هو مركز الدائرة، والقطعة المستقيمة ﻡﺩ تنصف الوتر ﺃﺏ عند ﺟ، يمكننا تطبيق نظرية منصف الوتر. وهذه النظرية تنص على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها ﻡ، وتحتوي على الوتر ﺃﺏ، فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر ﻡ وينصف ﺃﺏ يكون عموديًّا على ﺃﺏ. هذا يعني أن قياس الزاوية ﻡﺟﺃ يساوي ٩٠ درجة. وبما أن الوتر ﺃﺏ طوله ٢٧٫٦ سنتيمترًا، ونحن نعلم أن النقطة ﺟ تنصف هذا الوتر، فإن ﺃﺟ يساوي ٢٧٫٦ مقسومًا على اثنين. وهذا يساوي ١٣٫٨ سنتيمترًا.

نحن نعلم أيضًا أن نصف القطر ﻡﺃ يساوي ١٧٫٢ سنتيمترًا. يمكننا إذن استخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية ﻡﺟﺃ، وسنجد أن ﻡﺟ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٧٫٢ تربيع ناقص ١٣٫٨ تربيع. وهذا يساوي ١٠٫٢٦٦، وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب جزء من عشرة، نجد أن القطعة المستقيمة ﻡﺟ تساوي ١٠٫٣ سنتيمترات.

الجزء الثاني من السؤال يطلب منا حساب مساحة المثلث ﺃﺩﺏ. دعونا نفرغ بعض المساحة، ونسترجع معًا أن مساحة أي مثلث تساوي طول قاعدته مضروبًا في طول ارتفاعه العمودي مقسومًا على اثنين. إننا نعلم أن قاعدة المثلث؛ أي ﺃﺏ، تساوي ٢٧٫٦ سنتيمترًا. والارتفاع العمودي ﺟﺩ يساوي طول ﻡﺩ ناقص طول ﻡﺟ‏. ‏ﻡﺩ هو نصف قطر الدائرة، ونحن نعلم أنه يساوي ١٧٫٢ سنتيمترًا. ورغم أنه يمكننا استخدام القيمة ١٠٫٣ سنتيمترات للتعبير عن طول ﻡﺟ، لكن من الأفضل استخدام القيمة غير المقربة لنكون أكثر دقة؛ إذن ﻡﺟ يساوي ١٠٫٢٦٦، وهكذا مع توالي الأرقام. وبطرح هذه القيمة من ١٧٫٢، نجد أن طول ﺟﺩ يساوي ٦٫٩٣٣ سنتيمترات، وهكذا مع توالي الأرقام.

يمكننا الآن حساب مساحة المثلث ﺃﺩﺏ بضرب هذه القيمة في ٢٧٫٦ سنتيمترًا، ثم القسمة على اثنين. هذا يساوي ٩٥٫٦٨٣، وهكذا مع توالي الأرقام. علينا التقريب مرة أخرى لأقرب جزء من عشرة، وهذا يعطينا الإجابة ٩٥٫٧ سنتيمترًا مربعًا.

في المثال الآتي، سنتعرف على كيفية استخدام عمودين منصفين لوترين لإيجاد قياس زاوية مجهول.

القطعتان المستقيمتان ﺃﺏ وﺃﺟ وتران في الدائرة التي مركزها ﻡ على جانبين متقابلين؛ حيث قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٣٣ درجة. إذا كانت النقطتان ﺩ‏، ﻫ نقطتي منتصف القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ‏، ﺃﺟ على الترتيب، فأوجد قياس الزاوية ﺩﻡﻫ‏.

سنبدأ بملاحظة أن القطعتين المستقيمتين ﻡﻫ وﻡﺩ تمران عبر مركز الدائرة، وتنصفان الوترين ﺃﺟ وﺃﺏ، على الترتيب. يمكننا إذن تطبيق نظرية منصف الوتر، التي تنص على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها ﻡ، وتحتوي على الوتر ﺃﺏ، فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر ﻡ وينصف الوتر ﺃﺏ يكون عموديًّا على ﺃﺏ. هذا يعني في الشكل لدينا، أن قياس كل من الزاوية ﻡﻫﺃ والزاوية ﻡﺩﺃ يساوي ٩٠ درجة.

نلاحظ هنا أن ﺃﺩﻡﻫ شكل رباعي. ونحن نعلم أن مجموع قياسات زوايا الشكل الرباعي يساوي ٣٦٠ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية ﺩﻡﻫ الذي نحاول إيجاده يساوي ٣٦٠ ناقص ٩٠ ناقص ٩٠ ناقص ٣٣. إذن هذا يساوي ١٤٧ درجة.

في المثال الأخير، سنوجد محيط مثلث باستخدام عمودين منصفين لوترين.

في الدائرة التي مركزها ﻡ‏، ﺃﺏ يساوي ٣٥ سنتيمترًا، ﺟﺏ يساوي ٢٥ سنتيمترًا، ﺃﺟ يساوي ٤٠ سنتيمترًا. إذا كانت القطعة المستقيمة ﻡﺩ عمودية على القطعة المستقيمة ﺏﺟ، والقطعة المستقيمة ﻡﻫ عمودية على القطعة المستقيمة ﺃﺟ، فأوجد محيط المثلث ﺟﺩﻫ‏.

لدينا في السؤال أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث ﺟﺏﺃ. علمنا من المعطيات أن ﺃﺏ يساوي ٣٥ سنتيمترًا، وﺟﺏ يساوي ٢٥ سنتيمترًا، وﺃﺟ يساوي ٤٠ سنتيمترًا. والمطلوب هو إيجاد محيط المثلث ﺟﺩﻫ. سنفعل ذلك بإثبات تشابه المثلثين ﺟﺏﺃ وﺟﺩﻫ أولًا باستخدام نظرية منصف الوتر. نلاحظ من الشكل أن القطعتين المستقيمتين ﻡﻫ وﻡﺩ تمران بالمركز ﻡ وتصنعان مع الوترين ﺃﺟ وﺟﺏ زاويتين قائمتين.

وتنص نظرية منصف الوتر على أنه إذا كانت لدينا دائرة مركزها ﻡ، وتحتوي على الوتر ﺏﺟ، فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر ﻡ ويكون عموديًّا على الوتر ﺏﺟ ينصف ﺏﺟ أيضًا. في هذا الشكل، هذا يعني أن طول ﺃﻫ يساوي طول ﻫﺟ، وطول ﺟﺩ يساوي طول ﺩﺏ.

يتضح أيضًا من الشكل أن ﺃﺟ يساوي اثنين مضروبًا في ﻫﺟ، وﺟﺏ يساوي اثنين مضروبًا في ﺟﺩ. وبما أن المثلثين ﺟﺏﺃ وﺟﺩﻫ يشتركان أيضًا في الزاوية ﺟ، فسنجد أن الضلعين المتناظرين متناسبان في الطول، وأن الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين متطابقة. وهذا يثبت أن المثلثين متشابهان. وفي الواقع، المثلث ﺟﺏﺃ أكبر من المثلث ﺟﺩﻫ بمعامل قياس يساوي اثنين؛ وذلك لأن أطوال أضلاع المثلث الأكبر تساوي ضعف أطوال الأضلاع المناظرة لها في المثلث الأصغر. فالضلع ﺃﺟ يساوي اثنين مضروبًا في الضلع ﻫﺟ، والضلع ﺟﺏ يساوي اثنين مضروبًا في الضلع ﺟﺩ، والضلع ﺃﺏ يساوي اثنين مضروبًا في الضلع ﻫﺩ.

يمكننا حساب محيط المثلث ﺟﺏﺃ بجمع ٤٠ و٣٥ و٢٥ معًا. وهذا يساوي ١٠٠ سنتيمتر. إذن محيط المثلث ﺟﺩﻫ سيساوي نصف هذه القيمة. وهذا يساوي ٥٠ سنتيمترًا.

لقد استعرضنا هنا مجموعة متنوعة من الأمثلة حول كيفية استخدام الأعمدة المنصفة للأوتار، لإيجاد أطوال أضلاع وقياسات زوايا ناقصة وقيم مجهولة أخرى في المسائل التي تتضمن دوائر. والآن سنلخص النقاط الرئيسية الواردة في هذا الفيديو.

يمكن تلخيص نظرية منصف الوتر بثلاث طرق. إذا كانت لدينا دائرة مركزها ﺃ، وتحتوي على الوتر ﺏﺟ، فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر ﺃ وينصف الوتر ﺏﺟ يكون عموديًّا على ﺏﺟ. وبالطريقة نفسها، الخط المستقيم الذي يمر عبر ﺃ ويكون عموديًّا على ﺏﺟ، ينصف ﺏﺟ أيضًا. ومعكوس هاتين النظريتين ينص على أن العمود المنصف للوتر ﺏﺟ يمر عبر المركز ﺃ. وكما ذكرنا من قبل، يمكن استخدام هذه النظريات لإيجاد أطوال أضلاع وقياسات زوايا ناقصة وقيم مجهولة أخرى في المسائل التي تتضمن دوائر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.