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Quel est l’argument du nombre complexe quatre 𝑖 ?
Dans cette question, on nous demande de trouver l’argument du nombre complexe quatre 𝑖. Pour répondre à cette question, nous devons d’abord rappeler ce que nous entendons par l’argument d’un nombre complexe. Nous rappelons que l’argument d’un nombre complexe 𝑧 écrit arg de 𝑧 est l’angle que 𝑧 forme avec l’axe réel positif sur un plan complexe. Généralement, nous donnons l’argument d’un nombre complexe en radians. Nous savons également que dans les radians, il y a beaucoup de valeurs différentes qui représentent le même angle. Par exemple, zéro, deux 𝜋 et quatre 𝜋 représentent tous le même angle. Pour contourner ce problème, lorsque nous trouvons l’argument d’un nombre complexe, nous essayons de donner notre réponse entre moins 𝜋 et 𝜋, où nous incluons 𝜋. Cette valeur est généralement appelée l’argument principal de 𝑧.
Maintenant, il existe différentes façons de trouver l’argument d’un nombre complexe. Par exemple, vous connaissez peut-être quelques formules pour la trouver. Cependant, nous devrions toujours dessiner une figure avant d’essayer de trouver l’argument d’un nombre complexe. Nous allons donc commencer par notre plan complexe. Rappelez-vous que l’axe horizontal est la partie réelle de notre nombre complexe et l’axe vertical est la partie imaginaire de notre nombre complexe.
Ainsi, pour représenter quatre 𝑖 sur notre plan complexe, nous devons trouver la partie réelle de quatre 𝑖 et la partie imaginaire de quatre 𝑖. La partie imaginaire de quatre 𝑖 sera le coefficient de 𝑖, qui, dans ce cas, est quatre. La partie réelle de quatre 𝑖 est égale à zéro car il n’y a pas de constante ajoutée. Cela nous dit donc que, sur un plan complexe, le nombre complexe quatre 𝑖 sera représenté par le point zéro, quatre. Nous pouvons placer cela dans notre plan complexe.
Ensuite, nous allons vouloir tracer l’argument de quatre 𝑖 sur notre plan complexe. Pour ce faire, il peut être utile d’ajouter la demi-droite partant de l’origine et allant à notre nombre complexe quatre 𝑖. Ensuite, l’argument de notre nombre complexe sera l’angle que cette demi-droite forme avec l’axe réel positif. Normalement, nous trouverions l’argument d’un nombre complexe en utilisant la trigonométrie. Cependant, dans ce cas, nous pouvons voir que notre argument n’est pas l’angle dans un triangle. Au lieu de cela, il s’agit de l’angle entre deux de nos axes, donc nous savons que nous obtenons un angle droit. Enfin, nous savons qu’un angle droit est représenté par 𝜋 par deux. Puisque cet angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre depuis notre axe réel positif, cela signifie qu’il sera positif, nous aurons donc plus 𝜋 sur deux. Nous avons donc pu montrer l’argument de quatre 𝑖 est 𝜋 sur deux.
Cependant, nous pouvons remarquer quelque chose à propos de cet exemple. Nous pouvons poser la question, quel est l’argument de 𝑏𝑖 si notre valeur de 𝑏 est positive ? En utilisant exactement le même raisonnement que nous avons fait pour quatre 𝑖, nous pouvons montrer que l’argument de 𝑏𝑖 serait également 𝜋 par deux. Cela signifie que nous avons montré un résultat utile. Si notre valeur de 𝑏 est positive, alors l’argument de 𝑏𝑖 sera toujours égal à 𝜋 par deux. Nous aurions pu également utiliser ce résultat pour répondre à notre question.
Par conséquent, nous avons pu montrer l’argument du nombre complexe quatre 𝑖 est 𝜋 sur deux.
