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Vidéo de la leçon : Argument d’un nombre complexe Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer et à interpréter l’argument d’un nombre complexe, et à comprendre certaines de ses propriétés clés.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer l’argument d’un nombre complexe. Nous allons donner les définition d’un argument et de sa mesure principale, et comment les calculer. Nous étudierons ensuite les propriétés de l’argument du conjugué complexe et apprendrons à déterminer l’argument de produits et quotients de nombres complexes.

Nous savons que nous pouvons représenter des nombres complexes sur un plan en deux dimensions. On appelle ce plan, le plan complexe ou plan d’Argand, d’après le mathématicien amateur qui l’a formalisé. Nous pouvons l’utiliser pour représenter graphiquement un nombre complexe de la forme 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖. On rappelle que la partie réelle de ce nombre complexe est 𝑎 et que sa partie imaginaire est 𝑏. Nous devons situer la partie réelle 𝑎 sur l’axe des réels. Il s’agit de l’axe horizontal. Nous nous déplaçons ensuite vers le haut ou vers le bas pour situer la partie imaginaire 𝑏 sur l’axe des imaginaires purs. Il s’agit de l’axe vertical. 𝑎 plus 𝑏𝑖 peut donc être représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont 𝑎, 𝑏 comme indiqué.

Si nous traçons un segment reliant ce point à l’origine, nous voyons que nous pouvons calculer des informations supplémentaires. Nous pouvons calculer l’angle que ce segment forme avec l’axe des réels positifs. On appelle cet angle l’argument du nombre complexe. Nous le notons comme ceci. Et il est important de se rappeler que nous devons le mesurer dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des réels positifs. Il est généralement mesuré en radians. Une définition supplémentaire est ici nécessaire. La mesure principale de l’argument en radians est définie par 𝜃 supérieur à moins 𝜋 et inférieur ou égal à 𝜋. Bien qu’il ne soit pas complètement déraisonnable de parler de l’argument en dehors de cet intervalle.

Comme un nombre complexe peut être représenté graphiquement dans quatre quadrants, nous pouvons voir que les nombres complexes situés dans les troisième et quatrième quadrants auront des arguments mesurés en quelque sorte dans le mauvais sens. Dans ce cas, la mesure principale de l’argument du nombre complexe est négative. Comment peut-on alors déterminer la mesure de l’argument? Soit le nombre complexe quatre plus trois 𝑖. Nous pouvons le représenter dans le plan complexe par le point dont les coordonnées cartésiennes sont quatre, trois. L’argument de ce nombre complexe est l’angle 𝜃 indiqué. Il s’agit de l’angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des réels positifs.

Nous pouvons ensuite ajouter un triangle rectangle dont un des angles est 𝜃. Gardez à l’esprit que θ est l’argument du nombre complexe. Le côté opposé à cet angle mesure trois unités de longueur. Et le côté adjacent à cet angle mesure quatre unités de longueur. En définissant les côtés comme ceci, nous pouvons utiliser la trigonométrie pour calculer la mesure de l’angle θ, l’argument. Nous savons que tangente de 𝜃 est égale à côté opposé sur côté adjacent. Pour ce triangle rectangle, tangente de 𝜃 est donc égale à trois sur quatre.

On peut déterminer 𝜃 en appliquant la réciproque de la tangente, arc tangente, aux deux membres. Et on trouve que 𝜃 est égal à arctan de trois sur 4. Cela nous donne une valeur de 0,64 radians, arrondie à deux chiffres significatifs. Par conséquent, l’argument de ce nombre complexe est 0,64 radians. En fait, la fonction à valeurs réelles arctan de 𝑥 est une fonction à valeurs multiples pour les valeurs réelles de 𝑥. Nous ne pouvons donc pas généraliser ce résultat par une formule pour tous les nombres complexes. Voyons un exemple où nous pourrions être bloqués.

Soit 𝑧 égale moins un sur 2 plus racine carrée de trois sur deux 𝑖, déterminez la mesure principale de l’argument de 𝑧.

Nous avons un nombre complexe représenté sous forme algébrique pour lequel nous essayons de calculer la mesure principale de son argument. On rappelle qu’il s’agit de la mesure de l’argument qui est supérieure à moins 𝜋 et inférieure ou égale à 𝜋. Il est toujours utile de commencer par tracer ce nombre complexe sur un plan complexe. Et cela nous aidera à identifier dans quel quadrant il se trouve. On rappelle que l’axe horizontal sur un plan complexe représente la partie réelle, tandis que l’axe vertical représente la partie imaginaire. La partie réelle de ce nombre complexe est moins un sur 2. Et sa partie imaginaire est racine carrée de trois sur deux.

Nous pouvons donc représenter ce nombre complexe sur le plan complexe par le point dont les coordonnées cartésiennes sont moins un sur 2, racine carrée de trois sur deux. Il se situe dans le deuxième quadrant. Nous ajoutons un segment reliant ce point à l’origine. Puis nous rappelons la définition de l’argument. C’est l’angle que forme ce segment avec l’axe des réels positifs mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Comme la somme des mesures des angles sur une droite est égale à 𝜋 radians, il est plus facile de commencer par déterminer l’angle aigu que j’ai indiqué par 𝛼. Et, quel que soit le problème, c’est en fait toujours une bonne idée de commencer par l’angle aigu pour les calculs.

Le côté opposé à cet angle aigu 𝛼 mesure racine carrée de trois sur deux unités. Et la longueur du côté qui lui est adjacent est une demi unité. On rappelle que nous travaillons sur des longueurs. Nous nous intéressons donc uniquement aux valeurs positives. On pourrait les considérer comme les modules des parties réelles et imaginaires. Tangente de 𝛼 égale côté opposé sur côté adjacent. Cela fait racine carrée de trois sur deux divisée par un sur 2. On peut le simplifier par tan 𝛼 égale racine carrée de trois. On peut résoudre cette équation pour déterminer 𝛼 en appliquant la tangente réciproque. 𝛼 égale arctan de racine carrée de trois, qui est égal à 𝜋 sur trois radians.

Nous avons mentionné que la somme des mesures des angles sur une droite est égale à 𝜋 radians. On peut donc trouver la valeur de l’argument de 𝑧 en soustrayant 𝜋 sur trois radians à 𝜋. Et, bien sûr, 𝜋 égale trois 𝜋 sur trois. Cela nous permet de facilement soustraire ces fractions. Trois 𝜋 sur trois moins 𝜋 sur trois égale deux 𝜋 sur trois radians. Et si nous le comparons à la mesure principale de l’argument qui doit être supérieure à moins 𝜋 et inférieure ou égale à 𝜋, nous voyons que cette mesure de l’argument de 𝑧 satisfait bien à ce critère. Elle est donc de deux 𝜋 sur trois radians.

Si nous avions essayé de généraliser la formule de l’exemple précédent et que nous avions supposé que l’argument de 𝑧 était égal à arctan de 𝑏 sur 𝑎, soit arctan de racine carrée de trois sur deux divisé par moins un sur 2, nous aurions obtenu moins 𝜋 sur trois, ce qui est visiblement faux.

Voyons si nous pouvons établir des règles générales pour calculer l’argument d’un nombre complexe situé dans n’importe quel quadrant.

Nous avons ici quatre plans complexes, avec un nombre complexe situé dans chacun des quatre quadrants. Pour chacun de ces exemples, nous pouvons commencer par déterminer la mesure de l’angle aigu. On peut trouver l’argument d’un nombre complexe situé dans le premier quadrant en calculant arctan de 𝑏 sur 𝑎. Cela est égal à arctan de la partie imaginaire divisée par la partie réelle. Cela suffit en fait pour calculer l’argument d’un nombre complexe situé dans le premier quadrant.

Dans le deuxième quadrant, on sait que l’angle aigu est égal à arctan de valeur absolue de 𝑏 sur valeur absolue de 𝑎. Nous avons en effet rappelé dans l’exemple précédent qu’il s’agissait de longueurs. Et qu’elles doivent donc être positives Puis on utilise le fait que la somme des mesures des angles sur une droite est égale à 𝜋 radians. Et on peut trouver l’argument en soustrayant arctan de valeur absolue de 𝑏 sur valeur absolue de 𝑎 à 𝜋.

Maintenant, pour le nombre complexe situé dans le troisième quadrant, on pourrait déterminer la mesure de l’angle aigu. Mais la méthode est en fait presque identique à celle que l’on a utilisée pour l’argument d’un nombre complexe situé dans le deuxième quadrant. La seule différence est une symétrie par rapport l’axe horizontal. On se déplace dans le sens opposé. On peut donc dire que l‘argument est égal à moins 𝜋 moins arctan de valeur absolue de 𝑏 sur valeur absolue de 𝑎. Et si on distribue ces parenthèses, on voit que l’argument du nombre complexe situé dans le troisième quadrant est égal à arctan de valeur absolue de 𝑏 sur valeur absolue de 𝑎 moins 𝜋.

Et de la même manière, on peut dire que l’argument du nombre complexe situé dans le quatrième quadrant est égal à moins arctan de valeur absolue de 𝑏 sur valeur absolue de 𝑎. Il faut également savoir que si le nombre complexe est purement imaginaire et que sa partie imaginaire est supérieure à zéro, alors son argument est égal à 𝜋 sur deux radians. Et si sa partie imaginaire est inférieure à zéro, son argument est égal à moins 𝜋 sur deux radians. Si les parties réelle et imaginaire sont toutes les deux nulles, alors l’argument de 𝑧 n’est pas défini.

Nous pouvons également mémoriser ces règles sous une forme alternative. Dans le premier quadrant, l’argument est à nouveau égal à arctan de 𝑏 sur 𝑎. Dans le deuxième quadrant, il est égal à arctan de 𝑏 sur 𝑎 plus 𝜋. Grâce à cette version, nous pouvons directement utiliser les parties réelles et imaginaires du nombre complexe. Et nous n’avons pas à nous soucier de les rendre toutes les deux positives. Pour le nombre complexe dans le troisième quadrant, son argument est égal à arctan de 𝑏 sur 𝑎 moins 𝜋. Et dans le quatrième quadrant, il est simplement égal à arctan de 𝑏 sur 𝑎.

Certes, ces règles sont utiles. Mais il est toujours conseillé de tracer le plan complexe pour s’assurer de choisir les bonnes valeurs de l’argument. Entraînons-nous à trouver l’argument d’un nombre complexe situé en dehors du premier quadrant, puis étendons cela à la recherche d’une relation entre l’argument d’un nombre complexe et celui de son conjugué.

Soit le nombre complexe 𝑧 égale moins quatre moins cinq 𝑖. 1) Calculez l’argument de 𝑧 en arrondissant votre réponse à trois chiffres significatifs. 2) Calculez l’argument de 𝑧 étoile en arrondissant votre réponse à trois chiffres significatifs.

Pour calculer l’argument du nombre complexe 𝑧, commençons par le tracer dans un plan complexe. Ce nombre complexe est représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont moins quatre, moins cinq. Il se situe dans le troisième quadrant. Puisque l’argument est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des réels positifs, c’est cet angle qui nous intéresse. Et nous pouvons commencer par déterminer la mesure de l’angle aigu. Appelons-le 𝛼. Nous avons un triangle rectangle pour lequel le côté opposé à l’angle 𝛼 est de cinq unités et le côté adjacent est de quatre unités.

Nous pouvons donc trouver la mesure de cet angle en utilisant la formule arctan de cinq sur quatre. On rappelle qu’on peut l’envisager comme arctan du module de la partie imaginaire divisé par le module de la partie réelle. Cela fait 0,8960 radians. La somme des mesures des angles sur une droite est égale à 𝜋 radians. Donc, pour trouver la mesure de l’angle 𝜃, on soustrait 0,8960 à 𝜋. Cela donne 2,2455. Comme nous mesurons dans le sens opposé, nous mesurons dans le sens des aiguilles d’une montre. L’argument de 𝑧 est donc égal à moins 2,25 radians arrondi à trois chiffres significatifs.

Alternativement, nous aurions pu appliquer la formule indiquant que l’argument d’un nombre complexe situé dans le troisième quadrant est égal à arctan de sa partie imaginaire divisée par sa partie réelle moins 𝜋. La partie imaginaire de ce nombre complexe est moins cinq. Et sa partie réelle est moins quatre. Et si on tape arctan de moins cinq sur moins quatre moins 𝜋 dans une calculatrice, on obtient encore une fois moins 2,2455 etc. Les deux méthodes sont valides. Le choix de l’une d’entre elles dépend davantage des préférences personnelles.

Pour la deuxième partie, nous devons calculer l’argument du conjugué de 𝑧. On rappelle que l’on trouve le conjugué d’un nombre complexe en changeant le signe de sa partie imaginaire. Donc, le conjugué de notre nombre complexe est moins quatre plus cinq 𝑖. Traçons-le sur le même plan complexe. Il semble assez évident qu’il existe un raccourci pour calculer son argument. Mais effectuons les calculs pour en être sûrs. Et cette fois, nous allons utiliser une formule. L’argument d’un nombre complexe situé dans le deuxième quadrant est arctan de 𝑏 sur 𝑎 plus 𝜋. Pour le conjugué de 𝑧, 𝑏 égale cinq et 𝑎 égale moins quatre. Et en tapant cela dans une calculatrice, on obtient 2,2455 etc. Arrondi à trois chiffres significatifs, il est égal à 2,25.

Maintenant, nous pouvons en fait observer géométriquement que le conjugué de est le symétrique de 𝑧 par rapport à l’axe horizontal. Il est donc parfaitement logique que l’argument de 𝑧 soit égal à l’opposé de l’argument du conjugué de 𝑧, et inversement.

Que pouvons-nous alors dire sur l’argument d’une somme de complexes? Eh bien, il n’existe en fait aucune propriété intéressante concernant l’addition de deux nombres complexes et leurs arguments. Il existe cependant des propriétés sur l’argument d’un produit ou d’un quotient. Voyons à quoi elles ressemblent.

Soient les nombres complexes 𝑧 égale un plus racine carrée de trois et 𝑤 égale deux moins deux . 1) Calculez l’argument de 𝑧 et l’argument de 𝑤. 2) Calculez l’argument de 𝑧𝑤. Que pouvez-vous en déduire par rapport aux arguments de 𝑧 et 𝑤? 3) Calculez l’argument de 𝑧 sur 𝑤. Que pouvez-vous en déduire par rapport aux arguments de 𝑧 et 𝑤?

Pour répondre à ces questions, nous allons commencer par tracer les nombres complexes 𝑧 et 𝑤 sur un plan complexe. 𝑧 est représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont un, racine carrée de trois. Et 𝑤 est représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont deux, moins deux. Utilisons une des règles que nous avons établies précédemment. Nous avons dit que pour un nombre complexe situé dans le premier et le quatrième quadrant, nous pouvons utiliser la formule arctan de 𝑏 sur 𝑎 pour calculer son argument. La partie imaginaire de 𝑧 est racine carrée de trois et sa partie réelle est un. L’argument de 𝑧 est donc égal à arctan de racine carrée de trois sur un. Cela fait 𝜋 sur trois radians. La partie imaginaire de 𝑤 est moins deux et sa partie réelle est deux. L’argument de 𝑤 est alors égal à arctan de moins deux sur deux. Donc l’argument de 𝑤 est égal à moins 𝜋 sur quatre radians.

Pour la deuxième partie, nous devons commencer par calculer le nombre complexe 𝑧𝑤. Il est égal au produit de un plus racine carrée de trois 𝑖 et de deux moins deux 𝑖. On distribue les parenthèses. En multipliant les premiers termes de chaque parenthèse, on obtient deux. En multipliant les termes extérieurs, on obtient moins deux 𝑖. En multipliant les termes intérieurs, on obtient deux racine carrée de trois 𝑖. Et en multipliant les seconds termes, on obtient moins deux racine carrée de trois 𝑖 au carré. Mais 𝑖 au carré est bien sûr égal à moins un. Donc, ce dernier terme devient plus deux racine carrée de trois. On regroupe les parties réelles. Elles sont deux et deux racine carrée de trois. Et on regroupe les parties imaginaires. Et nous pouvons voir que 𝑧𝑤 égale deux plus deux racine carrée de trois plus deux racine carrée de trois moins deux 𝑖.

Il ne reste plus qu’à calculer l’argument de ce nombre complexe. Les parties réelle et imaginaire de ce nombre complexe sont toutes les deux supérieures à zéro. Donc 𝑧𝑤 se situe dans le premier quadrant. Son argument est alors égal à arc tangente de sa partie imaginaire divisée par sa partie réelle. Et on peut l’évaluer en utilisant les identités remarquables. On multiplie le numérateur et le dénominateur par deux moins deux racine carrée de trois. On obtient alors que l’argument de 𝑧𝑤 est égal à arctan de deux moins racine carrée de trois, ce qui est égal à 𝜋 sur 12. Et si nous le comparons aux arguments de 𝑧 et de 𝑤, nous observons que l’argument de leur produit est égal à la somme de leurs arguments.

Penchons-nous sur la troisième partie. Nous devons calculer 𝑧 sur 𝑤. C’est-à-dire un plus racine carrée de trois 𝑖 divisé par deux moins deux 𝑖. On le calcule en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué de deux moins deux 𝑖. Qui est deux plus deux 𝑖. Après calculs, on trouve que 𝑧 sur 𝑤 égale un quart de un moins racine carrée de trois, c’est sa partie réelle, plus un quart de un plus racine carrée de trois , c’est sa partie imaginaire. Cette fois, la partie réelle de 𝑧 sur 𝑤 est inférieure à zéro. Mais sa partie imaginaire est supérieure à zéro. Il se situe donc dans le deuxième quadrant.

Nous pouvons alors utiliser la formule arctan de 𝑏 sur 𝑎 plus 𝜋 pour trouver son argument. Cela nous donne sept 𝜋 sur 12. Et, nous observons que l’argument de 𝑧 sur 𝑤 est égal à l’argument de 𝑧 moins l’argument de 𝑤. Ces formules générales s’appliquent à deux nombres complexes quelconques. L’argument de leur produit est égal à la somme de leurs arguments. Et l’argument de leur quotient est égal à la différence de leurs arguments. Et nous pouvons utiliser ces formules pour résoudre des problèmes sur les propriétés des arguments. Et nous pouvons utiliser ces formules pour résoudre des problèmes sur les propriétés des arguments.

Soit le nombre complexe 𝑧 égale sept plus sept 𝑖. 1) Calculez l’argument de 𝑧. 2) Déduisez-en l’argument de 𝑧 puissance quatre.

Nous avons ici un nombre complexe dont les parties réelles et imaginaires sont positives. Cela signifie que son image est située dans le premier quadrant du plan complexe. Et nous pouvons donc calculer son argument en utilisant la formule arctan de 𝑏 sur 𝑎, où 𝑏 est sa partie imaginaire et 𝑎 sa partie réelle. Dans ce cas, il est égal à arctan de sept sur sept. Et cela donne 𝜋 sur quatre radians.

Comment pouvons-nous maintenant trouver l’argument de 𝑧 puissance quatre? Nous n’avons pas besoin d’évaluer le nombre complexe 𝑧 puissance quatre. Au lieu de cela, on rappelle que l’argument du produit de deux nombres complexes est égal à la somme de leurs arguments. On peut étendre cette formule et dire que l’argument de 𝑧 fois 𝑧 fois 𝑧 fois 𝑧 est égal à l’argument de 𝑧 plus l’argument de 𝑧 plus l’argument de 𝑧 plus l’argument de 𝑧. C’est-à-dire à quatre fois l’argument de 𝑧. Dans cet exemple, il est égal à quatre fois 𝜋 sur quatre, ce qui est simplement 𝜋 radians. Et nous pouvons généraliser cet exemple en disant que l’argument de 𝑧 puissance 𝑛 est égal à 𝑛 fois l’argument de 𝑧.

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