Vidéo : Argument d’un nombre complexe

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer et interpréter l’argument d’un nombre complexe, et nous allons comprendre certaines de ses propriétés principales.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer l’argument d’un nombre complexe. Nous allons apprendre ce que nous entendons par les termes argument et argument principal et comment les calculer. Nous allons voir les propriétés de l’argument quant au conjugué complexe, et apprendre à trouver l’argument du produit et du quotient des nombres complexes.

Nous savons que nous pouvons représenter des nombres complexes sur un plan bidimensionnel. Nous appelons ce plan le diagramme d’Argand ou le plan d’Argand, d’après le mathématicien amateur qui l’a découvert. Nous pouvons l’utiliser pour tracer un nombre complexe de la forme 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖. Rappelez-vous que la partie réelle de ce nombre complexe est 𝑎, et la partie imaginaire est 𝑏. Nous devons repérer la partie réelle 𝑎 sur l’axe réel. C’est l’axe horizontal. Nous nous déplaçons ensuite vers le haut ou vers le bas pour repérer la partie imaginaire 𝑏 sur l’axe imaginaire. C’est l’axe vertical. 𝑎 plus 𝑏𝑖 peut donc être représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont 𝑎, 𝑏 comme indiqué.

Si nous avions une droite reliant ce point à l’origine, alors nous verrions que nous pouvons déterminer des informations supplémentaires. Nous pouvons calculer l’angle que ce segment forme avec l’axe réel dans le sens positif. En fait, nous appelons cela l’argument du nombre complexe. Nous le notons comme indiqué. Et il est important de nous rappeler que nous devons le mesurer à partir de l’axe réel positif, dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Et il généralement mesuré en radians. Et il y a une définition supplémentaire requise ici. L’argument principal de l’angle 𝜃 en radians est défini comme étant 𝜃 est strictement supérieur à moins 𝜋, et inférieur à 𝜋. Bien qu’il ne soit pas complètement déraisonnable de parler de l’argument en dehors de cet intervalle.

Comme le nombre complexe peut être représenté graphiquement sur quatre quadrants, nous pouvons également constater que les nombres complexes situés dans les troisième et quatrième quadrants auront des arguments mesurés dans la mauvaise direction, si vous voulez. Dans ce cas, l’argument principal de notre nombre complexe sera négatif. Alors comment calculons-nous la valeur de l’argument ? Eh bien, disons que nous avons un nombre complexe de la forme quatre plus trois 𝑖. Nous pouvons voir que nous pouvons représenter ceci sur le diagramme Argand par le point dont les coordonnées cartésiennes sont quatre, trois. L’argument de ce nombre complexe est l’angle 𝜃 indiqué. C’est l’angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par rapport à l’axe réel positif.

Et ce que nous pouvons faire ensuite est d’ajouter un triangle rectangle qui a un angle 𝜃 inclus. N’oubliez pas que c’est notre argument. Le côté opposé à cet angle est de trois unités de longueur. Et le côté adjacent à cet angle est de quatre unités de longueur. En définissant les côtés comme ceci, nous pouvons utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle pour calculer la mesure de l’angle inclus, l’argument. Nous savons que tan 𝜃 égale le côté opposé sur le côté adjacent. Donc pour notre triangle rectangle, tan 𝜃 égale trois sur quatre.

Nous résolvons cette équation pour 𝜃 en trouvant l’inverse de tan ou arctan des deux côtés. Et nous voyons que 𝜃 est égal à un arctan de trois quarts. Cela nous donne une valeur de 0.64 radians, arrondie à deux chiffres significatifs. Et par conséquent, l’argument de ce nombre complexe est 0.64 radians. Maintenant, en fait, la fonction réelle arctan de 𝑥 est une fonction à plusieurs valeurs pour les valeurs réelles de 𝑥. Nous ne pouvons donc pas généraliser cela comme une formule pour chaque nombre complexe. Voyons un exemple où nous pourrions être bloqués.

Sachant que 𝑧 égale moins un demi plus racine de trois sur deux 𝑖, trouvez l’argument principal de 𝑧.

Nous avons un nombre complexe représenté sous la forme algébrique ou rectangulaire, et nous essayons de calculer son argument principal. Rappelez-vous que c’est la valeur de l’argument qui est strictement supérieure à moins 𝜋 et inférieure à 𝜋. Il faut toujours commencer par tracer ce nombre complexe sur un diagramme Argand. Et cela nous aidera à déterminer le quadrant auquel appartient un nombre complexe. N’oubliez pas que l’axe horizontal sur notre diagramme Argand représente la partie réelle, tandis que l’axe vertical représente la partie imaginaire. La partie réelle de notre nombre complexe est moins un demi. Et la partie imaginaire est la racine de trois sur deux.

Nous pouvons donc représenter notre nombre complexe sur le diagramme d’Argand comme un point dont les coordonnées cartésiennes sont moins un demi, racine de trois sur deux. Ce point appartient au deuxième quadrant, comme indiqué. Nous ajouterons un segment reliant ce point à l’origine. Et puis nous rappelons la définition de l’argument. C’est l’angle que forme ce segment avec l’axe réel positif mesuré dans le sens antihoraire. Sachant que la somme des angles appartenant à une droite est de 𝜋 radians, il faut commencer par rechercher l’angle aigu que j’ai marqué 𝛼. Et en fait c’est une bonne idée d’essayer de choisir l’angle aigu et de travailler à partir d’ici dans n’importe quel exemple.

Le côté opposé à cet angle aigu 𝛼 est la racine de trois sur deux unités. Et la longueur du côté qui lui est adjacent est la moitié d’une unité. Maintenant rappelez-vous, nous travaillons avec la longueur. Nous nous intéressons donc uniquement aux valeurs positives. Nous pourrions appeler ceux-ci les modules des parties réelles et imaginaires. Tan de 𝛼 égale l’opposé sur l’adjacent. C’est la racine de trois sur deux divisée par un demi. En fait, cela est simplifié quelque peu en tan de 𝛼 égale racine de trois. Nous pouvons résoudre cette équation pour 𝛼 en trouvant l’inverse de tan. 𝛼 égale arctan de racine de trois, qui est 𝜋 par trois radians.

Nous avons dit que la somme des angles appartenant à une droite est égale à 𝜋 radians. Nous pouvons donc trouver la valeur de l’argument de 𝑧 en soustrayant 𝜋 sur trois radians de 𝜋. Et bien sûr, une autre façon de penser à 𝜋 est comme trois 𝜋 sur trois. Et cela nous permettra de soustraire ces fractions normalement. Trois 𝜋 sur trois moins 𝜋 sur trois est deux 𝜋 sur trois radians. Et si nous comparons cela à la valeur de l’argument principal qui est strictement supérieur à moins 𝜋 et inférieur à 𝜋, nous voyons que la valeur de notre argument de 𝑧 satisfait à ce critère. C’est deux 𝜋 sur trois radians.

Maintenant si nous essayons de généraliser notre formule à partir de l’exemple précédent, et de dire que l’argument de 𝑧 est égal à arctan de 𝑏 divisé par 𝑎, qui est l’arctan de la racine de trois sur deux divisé par moins un demi, alors nous aurons obtenu moins 𝜋 par trois, ce qui est évidemment incorrect. Voyons si nous pouvons trouver une règle générale pour déterminer l’argument d’un nombre complexe appartenant à n’importe quel quadrant.

Ici, nous avons quatre diagrammes d’Argand, avec un nombre complexe appartenant à chacun des quatre quadrants. Pour chacun de ces exemples, nous pouvons commencer par trouver la mesure de l’angle aigu. Nous pouvons déterminer l’argument d’un nombre complexe appartenant au premier quadrant en trouvant l’arctan de 𝑏 divisé par 𝑎. C’est l’arctan de la partie imaginaire divisé par la partie réelle. Ceci est en effet assez suffisant pour l’argument d’un nombre complexe appartenant au premier quadrant.

Dans le deuxième quadrant, nous savons que l’angle aigu est déterminé en calculant l’arctan du module de 𝑏 divisé par le module de 𝑎. Rappelez-vous, dans l’exemple précédent, nous avons dit que nous traitons des longueurs. Ils doivent donc être positifs. Et puis nous utilisons le fait que la somme des angles sur une droite est de 𝜋 radians. Et nous pouvons trouver l’argument en soustrayant arctan du module de 𝑏 divisé par le module de 𝑎 de 𝜋.

Maintenant, en fait, pour le nombre complexe appartenant au troisième quadrant, nous pourrions calculer la mesure de l’angle aigu. Mais en effet, la méthode est presque identique à celle utilisée pour calculer l’argument d’un nombre complexe appartenant au deuxième quadrant. La seule différence c’est qu’il s’agit d’une symétrie axiale par rapport à l’axe horizontal. Nous nous déplaçons essentiellement dans la direction opposée. On peut donc dire qu’il est égal à moins 𝜋 moins arctan du module de 𝑏 divisé par le module de 𝑎. Et si nous distribuons ces parenthèses, nous voyons que l’argument du nombre complexe appartenant au troisième quadrant est arctan du module de 𝑏 divisé par le module de 𝑎 moins 𝜋.

Et de la même manière, on peut dire que l’argument du nombre complexe appartenant au quatrième quadrant est égal à moins arctan du module de 𝑏 divisé par le module de 𝑎. Il faut également savoir que si le nombre complexe est purement imaginaire, et que la partie imaginaire est strictement supérieure à zéro, alors son argument sera 𝜋 sur deux radians. Et si la partie imaginaire est strictement inférieure à zéro, alors l’argument sera moins 𝜋 sur deux radians. Si les parties réelle et imaginaire sont égales à zéro, alors l’argument de 𝑧 est indéfini.

Il y a une règle alternative dont nous pouvons nous rappeler. Dans le premier quadrant, encore une fois, l’argument est égal à arctan de 𝑏 divisé par 𝑎. Dans le deuxième quadrant, c’est arctan 𝑏 divisé par 𝑎 plus 𝜋. Et ce qui est bien ici, c’est que nous pouvons prendre les parties réelle et imaginaire du nombre complexe. Et nous n’avons pas à nous soucier de les rendre tous les deux positifs. Pour le nombre complexe dans le troisième quadrant, c’est arctan de 𝑏 sur 𝑎 moins 𝜋. Et dans le quatrième quadrant, c’est tout simplement arctan de 𝑏 over 𝑎.

Et oui, il est utile d’avoir une règle. Mais il est toujours judicieux de tracer le diagramme d’Argand afin de vous assurer que vous choisissez les bonnes valeurs pour l’argument de votre nombre complexe. Essayons maintenant de trouver l’argument d’un nombre complexe situé en dehors du premier quadrant, puis d’étendre cela en recherchant une relation entre l’argument d’un nombre complexe et l’argument de son conjugué.

Considérons le nombre complexe 𝑧 qui est égal à moins quatre moins cinq 𝑖. 1) Calculez l’argument de 𝑧 en donnant votre réponse arrondie à trois chiffres significatifs. 2) Calculez l’argument de 𝑧 astérisque en donnant votre réponse arrondie à trois chiffres significatifs.

Pour calculer l’argument du nombre complexe 𝑧, commençons par le tracer sur le diagramme d’Argand. Ce nombre complexe est représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont moins quatre, moins cinq. Il appartient au troisième quadrant. Puisque l’argument est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe réel positif, nous nous intéressons à cet angle ici. Et nous pouvons commencer par déterminer la mesure de l’angle aigu. Appelons ça 𝛼. Nous avons un triangle rectangle où le côté opposé à l’angle inclus est de cinq unités, alors que le côté adjacent est de quatre unités.

Nous pouvons donc trouver la mesure de cet angle 𝛼 en utilisant la formule arctan de cinq divisé par quatre. Et rappelez-vous, une façon de penser à cela est de calculer l’arctan du module de la partie imaginaire divisé par le module de la partie réelle. C’est 0.8960 radians. La somme des angles sur une ligne droite est de 𝜋 radians. Donc pour trouver la mesure de l’angle que nous avons marqué 𝜃, nous soustrayons 0.8960 et ainsi de suite de 𝜋. Cela donne 2.2455. Comme nous mesurons dans le sens opposé, nous mesurons dans le sens des aiguilles d’une montre et non dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. On peut dire que l’argument de 𝑧 est moins 2.25 radians, arrondie à trois chiffres significatifs.

Et alternativement, nous aurions pu appliquer une formule disant que l’argument d’un nombre complexe appartenant au troisième quadrant est l’arctan de cette partie imaginaire divisé par sa partie réelle moins 𝜋. La partie imaginaire de notre nombre complexe est moins cinq. Et la partie réelle est moins quatre. Et si nous tapons sur notre calculatrice arctan moins cinq divisé par moins quatre moins 𝜋, nous obtenons moins 2.2455, et ainsi de suite, encore une fois. Les deux méthodes sont correctes. C’est plus une question de préférence personnelle ici.

Pour la deuxième partie, nous devons calculer l’argument du conjugué de 𝑧. N’oubliez pas que nous trouvons le conjugué d’un nombre complexe en changeant le signe de sa partie imaginaire. Le conjugué de notre nombre complexe est donc moins quatre plus cinq 𝑖. Plaçons ceci sur le même diagramme d’Argand. Il est probablement très clair qu’il existe un raccourci ici. Mais faisons les calculs pour en être sûr. Et cette fois, nous allons utiliser une formule. L’argument d’un nombre complexe appartenant au deuxième quadrant est arctan de 𝑏 divisé par 𝑎 plus 𝜋. Pour le conjugué de 𝑧, 𝑏 est cinq et 𝑎 est moins quatre. Et en tapant ceci sur notre calculatrice, nous obtenons 2.2455 et ainsi de suite. Arrondi à trois chiffres significatifs, soit 2.25.

En fait, on peut dire que l’interprétation géométrique du conjugué est l’image du nombre complexe 𝑧 par symétrie axiale par rapport à l’axe horizontal. Il est donc parfaitement logique que l’argument de 𝑧 soit égal à la valeur négative de l’argument du conjugué de 𝑧, et inversement. Mais qu’en est-il de la relation entre l’addition et l’argument. Eh bien, en fait, il n’existe aucune relation intéressante entre l’addition de deux nombres complexes et l’argument. Il existe cependant une relation entre le produit et le quotient et l’argument. Voyons à quoi cela ressemble.

Considérez les nombres complexes 𝑧 égale un plus racine de trois 𝑖, et 𝑤 égale deux moins deux 𝑖. 1) Trouvez l’argument de 𝑧 et l’argument de 𝑤. 2) Calculez l’argument de 𝑧𝑤. Comment cela se compare-t-il à l’argument de 𝑧 et à l’argument de 𝑤 ? 3) Calculez l’argument de 𝑧 divisé par 𝑤. Comment cela se compare-t-il à l’argument de 𝑧 et à l’argument de 𝑤 ?

Pour répondre à cette question, nous allons commencer par placer les nombres complexes 𝑧 et 𝑤 sur un diagramme d’Argand. 𝑧 est représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont un, racine de trois. Et 𝑤 est représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont deux, moins deux. Utilisons l’une des règles dont nous avons parlé tout à l’heure. Nous avons dit que pour un nombre complexe appartenant au premier et au quatrième quadrant, nous pouvons utiliser la formule arctan de 𝑏 divisé par 𝑎 pour déterminer son argument. La partie imaginaire de 𝑧 est racine de trois, et la partie réelle est un. Donc l’argument de 𝑧 est arctan racine de trois sur un. C’est 𝜋 sur trois radians. La partie imaginaire de 𝑤 est moins deux et sa partie réelle est deux. Donc l’argument de 𝑤 est arctan moins deux sur deux. Et ainsi, l’argument de 𝑤 est moins 𝜋 sur quatre radians.

Pour la deuxième partie, nous devrons commencer par calculer le nombre complexe 𝑧𝑤. C’est le produit de un plus racine de trois 𝑖 et deux moins deux 𝑖. Distribuons ces parenthèses. En multipliant le premier terme dans chaque parenthèse, nous obtenons deux. En multipliant les termes extérieurs, on obtient moins deux 𝑖. En multipliant les termes intérieurs, nous obtenons deux racine de trois 𝑖. Et en multipliant les derniers termes, on obtient moins deux racine de trois 𝑖 au carré. Mais, bien sûr, 𝑖 au carré est égal à moins un. Donc, ce dernier terme devient deux racine de trois. Nous rassemblons les parties réelles. C’est deux et deux racine de trois. Et nous rassemblons les parties imaginaires. Et nous pouvons voir que 𝑧𝑤 est égal à deux plus deux racine de trois plus deux racine de trois moins deux 𝑖.

Il ne reste plus qu’à calculer l’argument de ce nombre complexe. Maintenant, la partie réelle et la partie imaginaire de ce nombre complexe sont toutes les deux strictement supérieures à zéro. Donc 𝑧𝑤 doit appartenir au premier quadrant. Donc l’argument est l’arctan de la partie imaginaire divisé par la partie réelle. Et nous pouvons les évaluer en utilisant les règles de division des nombres complexes. Il faudra multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de deux plus deux racine de trois. Et ce faisant, nous verrons que l’argument de 𝑧𝑤 est l’arctan de deux moins racine de trois, soit 𝜋 sur 12. Et si nous comparons cela à l’argument de 𝑧 et à l’argument de 𝑤, nous pouvons voir que l’argument de leur produit est égal à la somme de leurs arguments.

Regardons la troisième partie. Nous devons calculer 𝑧 divisé par 𝑤. C’est un plus racine de trois 𝑖 divisé par deux moins deux 𝑖. Et comme avant, il faudrait évaluer cela en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué de deux moins deux 𝑖. C’est deux plus deux 𝑖. Et ainsi, nous voyons que 𝑧 divisé par 𝑤 est égal à un quart de un moins racine de trois, c’est sa partie réelle, plus un quart de un plus racine de trois, c’est sa partie imaginaire, 𝑖. Cette fois, la partie réelle de 𝑧 divisée par 𝑤 est strictement inférieure à zéro. Mais sa partie imaginaire est strictement supérieure à zéro. Il appartient au deuxième quadrant.

Nous pouvons donc utiliser la formule arctan de 𝑏 divisé par 𝑎 plus 𝜋 pour déterminer son argument. Cela nous donne sept 𝜋 sur 12. Et, en fait, cette fois, nous pouvons voir que l’argument de 𝑧 divisé par 𝑤 est égal à l’argument de 𝑧 moins l’argument de 𝑤. Et ces règles sont des règles générales qui valent pour n’importe quels deux nombres complexes. L’argument de leurs produits est égal à la somme de leurs arguments. Et l’argument de leur quotient est égal à la différence de leurs arguments. Et nous pouvons utiliser ces faits pour résoudre des problèmes impliquant les propriétés de leur argument. Et nous pouvons utiliser ces faits pour résoudre des problèmes impliquant les propriétés des arguments.

Considérons le nombre complexe 𝑧 qui égale sept plus sept 𝑖. 1) Trouvez l’argument de 𝑧. 2) Ensuite, trouvez l’argument de 𝑧 à la puissance quatre.

Nous avons ici un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont positives. Cela signifie que nous placerons ce nombre complexe dans le premier quadrant du diagramme d’Argand. Et on peut donc trouver l’argument en utilisant la formule arctan de 𝑏 divisé par 𝑎, où 𝑏 est la partie imaginaire et 𝑎 la partie réelle. Dans notre cas, c’est l’arctan de sept divisé par sept. C’est 𝜋 sur quatre radians.

Alors, comment trouver l’argument de 𝑧 à la puissance quatre ? Eh bien, ce que nous ne ferons pas, c’est d’évaluer le nombre complexe 𝑧 à la puissance quatre. Au lieu de cela, nous allons rappeler le fait que l’argument du produit de deux nombres complexes est égal à la somme de leurs arguments. Nous allons étendre cela et dire que si nous avons 𝑧 fois 𝑧 fois 𝑧 fois 𝑧, alors cela sera équivalent à l’argument de 𝑧 plus l’argument de 𝑧 plus l’argument de 𝑧 plus l’argument de 𝑧. Mais en effet, cela équivaut à quatre arguments de 𝑧. Et dans notre exemple, cela équivaut à quatre lots de 𝜋 sur quatre, qui est simplement 𝜋 radians. Et on peut généraliser cette idée et dire que l’argument de 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑛 multiplié par l’argument de 𝑧.

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