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Vidéo de question : Utiliser les identités de Pythagore pour calculer la valeur d’une expression trigonométrique Mathématiques

Déterminez (sin 𝜃 + cos 𝜃) ² sachant que sin 𝜃 cos 𝜃 = 6/7.

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Transcription de vidéo

Déterminez sinus 𝜃 plus cosinus 𝜃 au carré étant donné que sinus 𝜃 cosinus 𝜃 est égal à six sur sept.

La première chose que nous pouvons faire dans cette question est d’écrire sinus 𝜃 plus cosinus 𝜃 au carré sous forme de deux parenthèses. Nous pouvons traiter cela comme toute autre développement binomial et multiplier ces parenthèses pour trouver les quatre termes suivants : sinus 𝜃 fois sinus 𝜃 plus sinus 𝜃 fois cosinus 𝜃 plus cosinus 𝜃 fois sinus 𝜃 et plus cosinus 𝜃 fois cosinus 𝜃.

Maintenant, nous savons que l’ordre dans lequel sinus 𝜃 et cosinus 𝜃 sont multipliés ensemble n’est pas important. Cela signifie que cosinus 𝜃 sinus 𝜃 est identique à sinus 𝜃 cosinus 𝜃. En réalisant cela, nous voyons que les deux termes intermédiaires sont en fait les mêmes. Et nous pouvons donc les regrouper.

Une autre chose que nous pouvons faire pour reformuler notre équation, est de voir que sinus 𝜃 fois sinus 𝜃 est sinus 𝜃 au carré. Cela peut être écrit de manière équivalente comme sinus carré 𝜃, de même pour cosinus. Réécrivons ces deux termes dans l’expression. Maintenant que nous avons reformuler ceci, réorganisons les termes.

En regardant les deux premiers termes de l’expression, vous pouvez reconnaître l’une des identités pythagoriciennes. Cette identité dit que sinus au carré de 𝜃 plus cosinus au carré de 𝜃 est égal à un. La deuxième chose que nous pouvons remarquer est que la question nous donne la valeur de sinus 𝜃 cosinus 𝜃.

Nous pouvons donc effectuer deux substitutions dans l’expression. Premièrement, nous pouvons remplacer sinus au carré de 𝜃 plus cosinus au carré de 𝜃 par un. Ensuite, nous pouvons remplacer sinus 𝜃 cosinus 𝜃 par six sur sept.

Pour faciliter l’addition, nous pouvons réécrire un comme sept sur sept afin que les dénominateurs soient les mêmes. En multipliant six sur sept par deux, nous trouvons 12 sur sept. En additionnant sept sur sept à 12 sur sept, nous trouvons que notre réponse est 19 sur sept.

Nous pouvons donc dire que sinus 𝜃 plus cosinus 𝜃 le tout au carré vaut19 sur sept lorsque sinus 𝜃 fois cosinus 𝜃 vaut six sur sept.

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