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La figure correspond à la représentation graphique de 𝑓 de 𝑥. Une transformation modifie 𝑓 de 𝑥 en quatre 𝑓 de trois 𝑥 moins 45 plus un. Déterminez les coordonnées de 𝐴 en suivant cette transformation.
Ensuite, nous avons un graphique, qui montre que le point 𝐴 a pour coordonnées 180, moins un. Ainsi, pour déterminer les coordonnées du point 𝐴 après une transformation, il faut penser à toutes les transformations qui sont appliquées à notre fonction 𝑓 de 𝑥. Puisqu'il semble y avoir plusieurs transformations, il faut faire attention à l'ordre dans lequel nous les appliquons. Même si l'ordre dans lequel nous appliquons ces transformations n’affecte pas toujours ce qui se passe, nous pouvons nous assurer de ne pas faire d'erreur en effectuant d'abord des déplacements horizontaux.
Prenons la fonction 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons trouver un déplacement horizontal de 𝑎 unités vers la gauche en appliquant la fonction 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎. Si nous regardons attentivement à l'intérieur des parenthèses de notre expression, nous voyons que nous soustrayons 45 degrés. Cela veut dire qu’on se déplace de 45 degrés vers la droite lors de cette transformation. Puis, nous examinons les dilatations possibles. Plus précisément, la fonction 𝑓 de 𝑥 est associée à la fonction 𝑏 fois 𝑓 de 𝑥 par une dilatation verticale d'échelle 𝑏, alors qu'on applique à la fonction 𝑓 de 𝑐 fois 𝑥 une dilatation horizontale d'échelle un sur 𝑐. Cela constitue essentiellement une compression.
En fait, nous avons deux dilatations ici. Il s'agit d'une dilatation de facteur d'échelle de quatre dans la direction verticale, mais d'un facteur d'échelle d'un tiers dans la direction horizontale. En effet, nous multiplions la fonction par quatre, alors que ne multiplions que le 𝑥 par trois. Normalement, nous devrions appliquer des symétries, c'est-à-dire associer 𝑓 de 𝑥 à moins 𝑓 de 𝑥 pour une symétrie par rapport à l'axe des 𝑥 ou 𝑓 de 𝑥 à 𝑓 de moins 𝑥 pour une symétrie par rapport à l'axe des 𝑦. Or, cela n’est pas nécessaire dans notre transformation. Nous allons donc passer à la dernière transformation.
La dernière est le déplacement ou la translation verticale. 𝑓 de 𝑥 est associée à 𝑓 de 𝑥 plus 𝑑 par une translation vers le haut de 𝑑 unités. Nous voyons dans ce cas que nous ajoutons un à la fonction, il faut donc la déplacer d'une unité vers le haut. Sachant tout cela, nous devons appliquer ces transformations au point 𝐴 de coordonnées 180, moins un.
Nous commençons par déplacer le point de 45 degrés vers la droite. Quand nous faisons cela avec le point 𝐴, son image a pour coordonnées 225, moins un. Il suffit d'ajouter 45 à 180 pour obtenir cette valeur. Puis, nous dilatons d'un facteur d'échelle de quatre verticalement dans la direction des 𝑦 et d'un facteur d'échelle d'un tiers dans la direction horizontale des 𝑥. Autrement dit, la coordonnée 𝑦 du nouveau point est multipliée par quatre, ce qui donne moins quatre. La coordonnée 𝑥 est multipliée par un tiers ou divisée par trois. 225 divisé par trois donne 75. Finalement, la troisième étape consiste à déplacer le point d'une unité vers le haut. Pour ce faire, nous ajoutons un à la valeur de la coordonnée 𝑦. Moins quatre plus un donne moins trois. Ainsi, nous obtenons le nouveau point de coordonnées 75, moins trois.
Ainsi, les coordonnées du point 𝐴 suite à la transformation qui associe 𝑓 de 𝑥 à quatre 𝑓 de trois 𝑥 moins 45 plus un sont 75, moins trois.
