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Fiche explicative de la leçon: Transformation des fonctions trigonométriques Mathématiques • Deuxième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à translater ou dilater une fonction trigonométrique et à déterminer l’expression d’une fonction trigonométrique d’après sa transformation.

Rappelons quelques-unes des caractéristiques clés des représentations graphiques des trois fonctions trigonométriques principales:les fonctions sinus, cosinus et tangente.

Représentations graphiques des fonctions trigonométriques

Fonction sinus

Lorsque l’on trace le sinus d’un angle, le résultat est une courbe sinusoïdale.

Fonction cosinus

Lorsque l’on trace le cosinus d’un angle, le résultat est le suivant:

L’ensemble de définition des fonctions sinus et cosinus est l’ensemble des nombres réels, tandis que leur ensemble image est [1;1]. Les deux fonctions sont périodiques comme le montrent les figures, avec une période de 360 ou 2𝜋radians.

Nous devrons être capables de reconnaître les représentations graphiques de ces fonctions, nous devons donc nous familiariser avec leurs caractéristiques clés telles que les emplacements de tous les points tournants, les coordonnées 𝑥 et 𝑦, et les équations de toutes les asymptotes avant d'envisager la méthode d'interpréter leurs transformations.

La représentation graphique de la fonction tangente est tracée ci-dessous.

Exemple 1: Identifier l’image d’un point sur une représentation graphique trigonométrique suite à une transformation

La figure montre la représentation graphique de 𝑓(𝑥). Une transformation de 𝑓(𝑥) donne 𝑓(𝑥)3. Déterminez les coordonnées de l’image de 𝐴 par cette transformation.

Réponse

On peut d’abord reconnaître la représentation graphique de cette fonction:il s’agit de la représentation graphique de la fonction tangente où 𝑥 est exprimé en degrés. On peut donc affirmer que 𝑓(𝑥)=𝑥.tan

Pour cet exemple, nous avons juste besoin d'identifier l'effet que la transformation qui change 𝑓(𝑥) en 𝑓(𝑥)2 sur un seul point. Nous pouvons voir que le point 𝐴 dans le graphique a des coordonnées (180;1), ce qui correspond au fait que cos(180)=1.

Par conséquent, nous pouvons trouver la nouvelle coordonnée en déterminant la valeur de 𝑓(𝑥)2 au point 𝑥=180:𝑓(180)2=(180)2=12=3.cos

Par conséquent, la transformation change (180;1) en (180;3).

Considérons plus en détail les implications de la transformation utilisée dans l'exemple précédent. Nous avons vu que pour une valeur spécifique de 𝑥, la valeur de sortie de 𝑓(𝑥)2 est 2 de moins que la valeur de sortie de 𝑓(𝑥).

Considérons comment la transformation affecte les valeurs de sortie de la fonction 𝑓(𝑥) à d'autres valeurs de 𝑥.

𝑥04590180
𝑓(𝑥)=(𝑥)cos12201
𝑓(𝑥)2=(𝑥)2cos122223

Pour toute valeur de 𝑥 dans l’ensemble de définition de 𝑓, l’image de 𝑓(𝑥)3 est inférieure de 3 à l’image de 𝑓(𝑥). On peut l’interpréter comme une translation de la courbe d’origine de 3 unités vers le bas, soit de (0;3).

Nous avons mis en surbrillance la transformation du point 𝐴 de l'exemple précédent en un nouveau point 𝐵. Graphiquement, cela correspond au point se déplaçant verticalement vers le bas de 2 unités. En fait, nous pouvons voir que toute la courbe s'est déplacée vers le bas de 2 unités de cette manière.

C'est en fait un résultat que l'on peut généraliser. Si une fonction 𝑓(𝑥) est transformée sur 𝑓(𝑥)+𝑎 pour une constante 𝑎, cela équivaut à une traduction par (0;𝑎) sur la courbe (c'est-à-dire déplacée vers le haut de 𝑎). Si 𝑎 est négatif, comme nous venons de le voir, cela entraîne un décalage vers le bas du graphique.

Maintenant, considérons ce qui pourrait arriver si nous devions ajouter ou soustraire une constante à la valeur de 𝑥avant de la substituer dans la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥cos, par exemple, 𝑓(𝑥90). Écrivons l'effet que cela a sur les valeurs de sortie pour certaines valeurs de 𝑥 dans une table.

𝑥090180270360
𝑓(𝑥)=(𝑥)cos10101
𝑓(𝑥90)=(𝑥90)cos01010

La fonction 𝑓(𝑥) est transformée en 𝑓(𝑥+45) par une translation. Cette fois, le vecteur qui décrit cette translation est (45,0). On peut généraliser ce résultat comme suit:

Comme on peut le voir, la courbe a été déplacée vers la droite de 90. C'est-à-dire qu'en soustrayant 90 de 𝑥 directement, la valeur de sortie a été déplacée de 90 dans le sens opposé.

Ce résultat, lui aussi, peut être généralisé. Une fonction 𝑓(𝑥) transformée sur 𝑓(𝑥+𝑎), pour une constante 𝑎, a sa courbe transformée par (𝑎;0) (c'est-à-dire qu'elle est déplacée vers la gauche par 𝑎). Si 𝑎 est négatif, comme nous venons de le montrer, il en résulte un décalage vers la droite.

Bien que l’on puisse toujours considérer une interprétation numérique des transformations de la fonction principale, il est utile d’apprendre leur forme générale en pratique. Résumons les transformations clés ci-dessous.

Définition : Transformations de fonctions

On considère la fonction 𝑓(𝑥);pour des constantes réelles 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑,

  • 𝑓(𝑥)+𝑎 représente une translation de (0,𝑎).
  • 𝑓(𝑥+𝑏) représente une translation de (𝑏,0).
  • 𝑐𝑓(𝑥) représente une dilatation verticale par un facteur 𝑐,
  • 𝑓(𝑑𝑥) représente une dilatation horizontale par un facteur 1𝑑 pour 𝑑0.

On peut remarquer qu’une dilatation verticale par un facteur 𝑐, 𝑐<0, peut être alternativement représentée par une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥, suivie d’une dilatation verticale par un facteur |𝑐|. De même, une dilatation horizontale par un facteur 1𝑑, 𝑑<0, peut être représentée par une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦, suivie d’une dilatation horizontale d’un facteur 1|𝑑|. Ces interprétations sont équivalentes mais nous allons utiliser la première notation dans le cadre de cette fiche explicative.

Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment trouver les coordonnées d’un point après une transformation, en utilisant ces définitions.

Exemple 2: Identifier l’image d’un point sur une représentation graphique trigonométrique suite à une transformation

La figure montre la représentation graphique de 𝑓(𝑥). Une transformation de 𝑓(𝑥) donne 𝑓(2𝑥). Déterminez les coordonnées de l’image de 𝐴 par cette transformation.

Réponse

On rappelle qu’une fonction 𝑓(𝑥) est transformée en 𝑓(𝑎𝑥) après une dilatation horizontale de facteur 1𝑎. Comme la transformation évoquée ici de 𝑓(𝑥) donne 𝑓(2𝑥), on définit 𝑎=2 et cette transformation représente donc une dilatation horizontale de facteur 12, comme indiqué sur la figure suivante.

Comme la représentation graphique a été dilatée horizontalement par un facteur 12, l’abscisse 𝑥 de l’image du point 𝐴 par cette transformation est 12×180=90 et son ordonnée 𝑦 reste inchangée.

Les coordonnées du point 𝐴 sont (90;1).

Il est à noter que l’on peut vérifier cette réponse en substituant 𝑥=90 dans 𝑓(2𝑥). 𝑓(2𝑥)=𝑓(2×90)=𝑓(180)

On observe sur la représentation graphique de 𝑓(𝑥) que 𝑓(180)=1. Il s’agit de l’ordonnée 𝑦 de 𝐴.

Dans notre troisième exemple, nous allons appliquer ces définitions pour nous aider à reconnaître la représentation graphique d’une fonction suite à une transformation.

Exemple 3: Identifier la représentation graphique d’une fonction trigonométrique suite à une transformation

Laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à 𝑦=(𝑥)+1cos?

Réponse

On rappelle que la représentation graphique de la fonction cosinus est la suivante:

Afin d’identifier la représentation graphique correcte, on utilise le fait que 𝑓(𝑥) est transformée en 𝑓(𝑥)+𝑎 par une translation de 𝑎 unités dans la direction verticale. Cela signifie que 𝑦=(𝑥)cos est transformée en 𝑦=(𝑥)+1cos par une translation de 1 unité vers le haut. Après cette translation, l’ordonnée 𝑦 à l’origine a comme coordonnées (0;2) et les points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥 se situent en 180+360𝑛 pour des entiers 𝑛.

Il s’agit de la réponse D:

Une fonction peut parfois être transformée en une autre fonction par une série de plusieurs transformations. Dans ce cas, il existe uniquement un nombre limité de cas où l’ordre dans lequel elles sont effectuées est sans importance. Généralement, l’ordre a une importance si les transformations agissent dans la même direction (en d’autres termes, deux transformations qui ont un effet horizontal).

Par exemple, on considère les fonctions définies par 2(𝑥)+1cos et 2((𝑥)+1)cos. Les représentations graphiques des deux fonctions sont des transformations de la représentation graphique de 𝑦=𝑥cos. La figure 1 montre les représentations graphiques de 𝑦=(𝑥)cos et 𝑦=2(𝑥)+1cos, 𝑦=2(𝑥)+1cos est obtenue en effectuant une dilatation verticale par un facteur 2 puis une translation de (0;1). La figure 2 montre les représentations graphiques de 𝑦=(𝑥)cos et 𝑦=2((𝑥)+1)cos. La courbe bleue est obtenue en effectuant une translation de (0;1) puis une dilatation verticale.

Pour éviter les erreurs, on doit suivre l’ordre donné.

Comment ordonner des transformations de fonctions

La fonction 𝑓(𝑥) est transformée en 𝑎𝑓(𝑏(𝑥+𝑐))+𝑑 dans l’ordre suivant:

  1. une dilatation verticale par un facteur 𝑎, 𝑎<0 se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥;
  2. une dilatation horizontale par un facteur 1𝑏, 𝑏<0 se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦;
  3. une translation horizontale de (𝑐,0);
  4. une translation verticale de (0,𝑑).

Par exemple, on identifie la série de transformations suite auxquelles 𝑦=(𝑥)sin donne 𝑦=(90𝑥)sin. On reformule sin(90𝑥) comme sin((𝑥90)) et on utilise l’ordre des transformations. On voit que sin(𝑥) subit deux transformations distinctes pour donner sin((𝑥90)):une dilatation horizontale par un facteur 11=1 suivie d’une translation horizontale de (90;0).

La représentation graphique de 𝑦=(𝑥)sin est illustrée sur la figure 1. Une dilatation horizontale par un facteur 1 donne la représentation graphique en figure 2.

Enfin, une translation horizontale de (90;0) donne la représentation graphique ci-dessous:

Montrons comment appliquer ce processus pour trouver l’image d’un point sur une courbe représentative par une transformation donnée.

Exemple 4: Identifier l’image d’un point sur une représentation graphique trigonométrique à la suite de plusieurs transformations

La figure montre la représentation graphique de 𝑓(𝑥). Une transformation de 𝑓(𝑥) donne 4𝑓(3𝑥45)+1. Déterminez les coordonnées de l’image de 𝐴 par cette transformation.

Réponse

On rappelle que 𝑓(𝑥) est transformée en 𝑎𝑓(𝑏(𝑥+𝑐))+𝑑 dans l’ordre suivant:

  1. une dilatation verticale par un facteur 𝑎, 𝑎<0 se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥;
  2. une dilatation horizontale par un facteur 1𝑏, 𝑏<0 se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦;
  3. une translation horizontale de (𝑐,0);
  4. une translation verticale de (0,𝑑).

Pour identifier la transformation de 𝑓(𝑥) qui donne 4𝑓(3𝑥45)+1, on reformule 4𝑓(3𝑥45)+1 comme 4𝑓(3(𝑥15))+1 et on définit 𝑎=4, 𝑏=3, 𝑐=15 et 𝑑=1. La fonction 𝑓(𝑥) subit alors ce qui suit:

  1. une dilatation verticale par un facteur 4;
  2. une dilatation horizontale par un facteur 13;
  3. une translation horizontale de ((15),0)=(15;0);
  4. une translation verticale de (0;1).

On peut appliquer chaque étape au point 𝐴 de coordonnées (180;1).

  1. une dilatation verticale par un facteur 4 transforme (180;1) en (180;1×4)=(180;4);
  2. une dilatation horizontale par un facteur 13 transforme (180;4) en 180×13;4=(60;4);
  3. une translation horizontale de (15;0) transforme (60;4) en (60+15;4)=(75;4);
  4. une translation verticale de (0;1) transforme (75;4) en (75;4+1)=(75;3).

Par conséquent, les coordonnées de l’image de 𝐴 par cette transformation sont (75;3).

Dans notre dernier exemple, nous allons montrer comment appliquer ce processus pour trouver la représentation graphique de la transformation d’une fonction.

Exemple 5: Identifier la représentation graphique d’une fonction trigonométrique suite à deux transformations

Laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à 𝑦=𝑥41sin?

Réponse

On rappelle que 𝑓(𝑥) est transformée en 𝑎𝑓(𝑏(𝑥+𝑐))+𝑑 dans l’ordre suivant:

  1. une dilatation verticale par un facteur 𝑎, 𝑎<0 se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥;
  2. une dilatation horizontale par un facteur 1𝑏, 𝑏<0 se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦;
  3. une translation horizontale de (𝑐,0);
  4. une translation verticale de (0,𝑑).

Si on définit 𝑓(𝑥)=(𝑥)sin, alors on peut définir son image après une série de transformations comme 𝑔(𝑥)=𝑥41=14𝑥1sinsin.

On peut alors définir 𝑏=14 et 𝑑=1, la fonction 𝑓(𝑥) est donc transformée en 𝑔(𝑥) par une dilatation horizontale de facteur 1=4 suivie d’une translation verticale de (0;1)

La représentation graphique de 𝑦=𝑥sin est tracée sur la figure 1 et une dilatation horizontale de sin(𝑥) par un facteur 4 est tracée sur la figure 2. On observe que le point 𝐴 de coordonnées (90;1) est transformé en 𝐴 de coordonnées (360;1).

Enfin, cette représentation graphique est translatée d’une unité vers le bas comme le montre la figure 3. Le point 𝐴 est transformé en 𝐴 de coordonnées (360;0).

Il s’agit de la réponse B.

Terminons par résumer certains concepts clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Pour une fonction 𝑓(𝑥) et des constantes réelles 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑,
    • 𝑓(𝑥)+𝑎 représente une translation de (0,𝑎);
    • 𝑓(𝑥+𝑏) représente une translation de (𝑏,0);
    • 𝑐𝑓(𝑥) représente une dilatation verticale par un facteur 𝑐;
    • 𝑓(𝑑𝑥) représente une dilatation horizontale par un facteur 1𝑑.
  • Une série de transformations peuvent être appliquées dans l’ordre suivant. Pour voir comment 𝑓(𝑥) est transformée en 𝑎𝑓(𝑏(𝑥+𝑐))+𝑑:
    • une dilatation verticale par un facteur 𝑎, 𝑎<0 se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥;
    • une dilatation horizontale par un facteur 1𝑏, 𝑏<0 se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦;
    • une translation horizontale de (𝑐,0);
    • une translation verticale de (𝑑,0).

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