Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à translater ou dilater une fonction trigonométrique et à déterminer l’expression d’une fonction trigonométrique d’après sa transformation.
Rappelons quelques-unes des caractéristiques clés des représentations graphiques des trois fonctions trigonométriques principales : les fonctions sinus, cosinus et tangente.
Représentations graphiques des fonctions trigonométriques
Fonction sinus
Lorsque l’on trace le sinus d’un angle, le résultat est une courbe sinusoïdale.
Fonction cosinus
Lorsque l’on trace le cosinus d’un angle, le résultat est le suivant :
L’ensemble de définition des fonctions sinus et cosinus est l’ensemble des nombres réels, tandis que leur ensemble image est . Les deux fonctions sont périodiques comme le montrent les figures, avec une période de ou .
Nous devrons être capables de reconnaître les représentations graphiques de ces fonctions, nous devons donc nous familiariser avec leurs caractéristiques clés telles que les emplacements de tous les points tournants, les coordonnées et , et les équations de toutes les asymptotes avant d'envisager la méthode d'interpréter leurs transformations.
La représentation graphique de la fonction tangente est tracée ci-dessous.
Exemple 1: Identifier l’image d’un point sur une représentation graphique trigonométrique suite à une transformation
La figure montre la représentation graphique de . Une transformation de donne . Déterminez les coordonnées de l’image de par cette transformation.
Réponse
On peut d’abord reconnaître la représentation graphique de cette fonction : il s’agit de la représentation graphique de la fonction tangente où est exprimé en degrés. On peut donc affirmer que
Pour cet exemple, nous avons juste besoin d'identifier l'effet que la transformation qui change en sur un seul point. Nous pouvons voir que le point dans le graphique a des coordonnées , ce qui correspond au fait que .
Par conséquent, nous pouvons trouver la nouvelle coordonnée en déterminant la valeur de au point :
Par conséquent, la transformation change en .
Considérons plus en détail les implications de la transformation utilisée dans l'exemple précédent. Nous avons vu que pour une valeur spécifique de , la valeur de sortie de est 2 de moins que la valeur de sortie de .
Considérons comment la transformation affecte les valeurs de sortie de la fonction à d'autres valeurs de .
0 | |||||
1 | 0 | ||||
Pour toute valeur de dans l’ensemble de définition de , l’image de est inférieure de 3 à l’image de . On peut l’interpréter comme une translation de la courbe d’origine de 3 unités vers le bas, soit de .
Nous avons mis en surbrillance la transformation du point de l'exemple précédent en un nouveau point . Graphiquement, cela correspond au point se déplaçant verticalement vers le bas de 2 unités. En fait, nous pouvons voir que toute la courbe s'est déplacée vers le bas de 2 unités de cette manière.
C'est en fait un résultat que l'on peut généraliser. Si une fonction est transformée sur pour une constante , cela équivaut à une traduction par sur la courbe (c'est-à-dire déplacée vers le haut de ). Si est négatif, comme nous venons de le voir, cela entraîne un décalage vers le bas du graphique.
Maintenant, considérons ce qui pourrait arriver si nous devions ajouter ou soustraire une constante à la valeur de avant de la substituer dans la fonction , par exemple, . Écrivons l'effet que cela a sur les valeurs de sortie pour certaines valeurs de dans une table.
0 | ||||||
1 | 0 | 0 | 1 | |||
0 | 1 | 0 | 0 |
La fonction est transformée en par une translation. Cette fois, le vecteur qui décrit cette translation est . On peut généraliser ce résultat comme suit :
Comme on peut le voir, la courbe a été déplacée vers la droite de . C'est-à-dire qu'en soustrayant de directement, la valeur de sortie a été déplacée de dans le sens opposé.
Ce résultat, lui aussi, peut être généralisé. Une fonction transformée sur , pour une constante , a sa courbe transformée par (c'est-à-dire qu'elle est déplacée vers la gauche par ). Si est négatif, comme nous venons de le montrer, il en résulte un décalage vers la droite.
Bien que l’on puisse toujours considérer une interprétation numérique des transformations de la fonction principale, il est utile d’apprendre leur forme générale en pratique. Résumons les transformations clés ci-dessous.
Définition : Transformations de fonctions
On considère la fonction ; pour des constantes réelles , , et ,
- représente une translation de .
- représente une translation de .
- représente une dilatation verticale par un facteur ,
- représente une dilatation horizontale par un facteur pour .
On peut remarquer qu’une dilatation verticale par un facteur , où , peut être alternativement représentée par une symétrie par rapport à l’axe des , suivie d’une dilatation verticale par un facteur . De même, une dilatation horizontale par un facteur , où , peut être représentée par une symétrie par rapport à l’axe des , suivie d’une dilatation horizontale d’un facteur . Ces interprétations sont équivalentes mais nous allons utiliser la première notation dans le cadre de cette fiche explicative.
Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment trouver les coordonnées d’un point après une transformation, en utilisant ces définitions.
Exemple 2: Identifier l’image d’un point sur une représentation graphique trigonométrique suite à une transformation
La figure montre la représentation graphique de . Une transformation de donne . Déterminez les coordonnées de l’image de par cette transformation.
Réponse
On rappelle qu’une fonction est transformée en après une dilatation horizontale de facteur . Comme la transformation évoquée ici de donne , on définit et cette transformation représente donc une dilatation horizontale de facteur , comme indiqué sur la figure suivante.
Comme la représentation graphique a été dilatée horizontalement par un facteur , l’abscisse de l’image du point par cette transformation est et son ordonnée reste inchangée.
Les coordonnées du point sont .
Il est à noter que l’on peut vérifier cette réponse en substituant dans .
On observe sur la représentation graphique de que . Il s’agit de l’ordonnée de .
Dans notre troisième exemple, nous allons appliquer ces définitions pour nous aider à reconnaître la représentation graphique d’une fonction suite à une transformation.
Exemple 3: Identifier la représentation graphique d’une fonction trigonométrique suite à une transformation
Laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à ?
Réponse
On rappelle que la représentation graphique de la fonction cosinus est la suivante :
Afin d’identifier la représentation graphique correcte, on utilise le fait que est transformée en par une translation de unités dans la direction verticale. Cela signifie que est transformée en par une translation de 1 unité vers le haut. Après cette translation, l’ordonnée à l’origine a comme coordonnées et les points d’intersection de la courbe avec l’axe des se situent en pour des entiers .
Il s’agit de la réponse D :
Une fonction peut parfois être transformée en une autre fonction par une série de plusieurs transformations. Dans ce cas, il existe uniquement un nombre limité de cas où l’ordre dans lequel elles sont effectuées est sans importance. Généralement, l’ordre a une importance si les transformations agissent dans la même direction (en d’autres termes, deux transformations qui ont un effet horizontal).
Par exemple, on considère les fonctions définies par et . Les représentations graphiques des deux fonctions sont des transformations de la représentation graphique de . La figure 1 montre les représentations graphiques de et , où est obtenue en effectuant une dilatation verticale par un facteur 2 puis une translation de . La figure 2 montre les représentations graphiques de et . La courbe bleue est obtenue en effectuant une translation de puis une dilatation verticale.
Pour éviter les erreurs, on doit suivre l’ordre donné.
Comment ordonner des transformations de fonctions
La fonction est transformée en dans l’ordre suivant :
- une dilatation verticale par un facteur , où se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des ;
- une dilatation horizontale par un facteur , où se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des ;
- une translation horizontale de ;
- une translation verticale de .
Par exemple, on identifie la série de transformations suite auxquelles donne . On reformule comme et on utilise l’ordre des transformations. On voit que subit deux transformations distinctes pour donner : une dilatation horizontale par un facteur suivie d’une translation horizontale de .
La représentation graphique de est illustrée sur la figure 1. Une dilatation horizontale par un facteur donne la représentation graphique en figure 2.
Enfin, une translation horizontale de donne la représentation graphique ci-dessous :
Montrons comment appliquer ce processus pour trouver l’image d’un point sur une courbe représentative par une transformation donnée.
Exemple 4: Identifier l’image d’un point sur une représentation graphique trigonométrique à la suite de plusieurs transformations
La figure montre la représentation graphique de . Une transformation de donne . Déterminez les coordonnées de l’image de par cette transformation.
Réponse
On rappelle que est transformée en dans l’ordre suivant :
- une dilatation verticale par un facteur , où se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des ;
- une dilatation horizontale par un facteur , où se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des ;
- une translation horizontale de ;
- une translation verticale de .
Pour identifier la transformation de qui donne , on reformule comme et on définit , , et . La fonction subit alors ce qui suit :
- une dilatation verticale par un facteur 4 ;
- une dilatation horizontale par un facteur ;
- une translation horizontale de ;
- une translation verticale de .
On peut appliquer chaque étape au point de coordonnées .
- une dilatation verticale par un facteur 4 transforme en ;
- une dilatation horizontale par un facteur transforme en ;
- une translation horizontale de transforme en ;
- une translation verticale de transforme en .
Par conséquent, les coordonnées de l’image de par cette transformation sont .
Dans notre dernier exemple, nous allons montrer comment appliquer ce processus pour trouver la représentation graphique de la transformation d’une fonction.
Exemple 5: Identifier la représentation graphique d’une fonction trigonométrique suite à deux transformations
Laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à ?
Réponse
On rappelle que est transformée en dans l’ordre suivant :
- une dilatation verticale par un facteur , où se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des ;
- une dilatation horizontale par un facteur , où se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des ;
- une translation horizontale de ;
- une translation verticale de .
Si on définit , alors on peut définir son image après une série de transformations comme .
On peut alors définir et , la fonction est donc transformée en par une dilatation horizontale de facteur suivie d’une translation verticale de
La représentation graphique de est tracée sur la figure 1 et une dilatation horizontale de par un facteur 4 est tracée sur la figure 2. On observe que le point de coordonnées est transformé en de coordonnées .
Enfin, cette représentation graphique est translatée d’une unité vers le bas comme le montre la figure 3. Le point est transformé en de coordonnées .
Il s’agit de la réponse B.
Terminons par résumer certains concepts clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Pour une fonction et des constantes réelles , , et ,
- représente une translation de ;
- représente une translation de ;
- représente une dilatation verticale par un facteur ;
- représente une dilatation horizontale par un facteur .
- Une série de transformations peuvent être appliquées dans l’ordre suivant. Pour voir comment est transformée en :
- une dilatation verticale par un facteur , où se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des ;
- une dilatation horizontale par un facteur , où se traduira par une symétrie par rapport à l’axe des ;
- une translation horizontale de ;
- une translation verticale de .