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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à translater ou dilater une fonction trigonométrique et à déterminer l’expression d’une fonction trigonométrique d’après sa transformation. Nous apprendrons la notation pour les translations et les dilatations horizontales et verticales. Et nous apprendrons le bon ordre pour appliquer une série de transformations sur les fonctions sinus ou cosinus.
Nous allons commencer par rappeler les caractéristiques clés des graphiques des principales fonctions sinus et cosinus. Lorsque nous représentons le sinus d’un angle par rapport à cet angle, le résultat est la courbe sinus. Ici, nous avons utilisé des degrés pour marquer l’axe des 𝑥. Mais parfois, nous utilisons des mesures de radians au lieu de degrés. Nous devrons être en mesure de reconnaître la courbe de sinus. Nous devons donc nous familiariser avec les caractéristiques clés, y compris l’emplacement des points tournants et les points d’intersection avec les axes des 𝑥 et 𝑦.
Lorsque nous représentons le cosinus d’un angle par rapport à cet angle, le résultat est la courbe de cosinus. Nous remarquons que bien que la courbe sinus a une ordonnée à l’origine en zéro, la courbe cosinus a une ordonnée à l’origine en un. Mais sinon, les points suivent la même forme périodique. Les graphiques principaux sinus et cosinus ont des caractéristiques clés en commun. Ils ont le même domaine celui des nombres réels. Et leur intervalle est l’intervalle fermé de moins un à un. Nous savons également que les courbes sinus et cosinus ont une amplitude de un et une période de 360 degrés ou deux 𝜋 radians.
Pour notre premier exemple, entraînons-nous à identifier le graphique de la fonction cosinus avec une seule transformation.
La figure montre la courbe de 𝑓 de 𝑥. Une transformation associe 𝑓 de 𝑥 à 𝑓 de 𝑥 moins deux. Déterminez les coordonnées de 𝐴 suite à cette transformation.
Nous commençons par reconnaître la courbe rouge comme le graphique de la fonction principale cosinus. Les caractéristiques qui nous ont permis de comprendre ce fait sont l’amplitude de un, la période de 360, l’ordonnée à l’origine en un et les points d’intersection avec l’axe des 𝑥 en 90 et 270. Pour cet exemple, nous devons identifier l’effet de la transformation qui associe 𝑓 de 𝑥 à 𝑓 de 𝑥 moins deux. En particulier, nous allons calculer l’effet sur le point de coordonnées 180, moins un. Les coordonnées du point 𝐴 correspondent au fait que cosinus de 180 degrés est égal à moins un. Ainsi, nous pouvons trouver les nouvelles coordonnées en trouvant la valeur de 𝑓 de 𝑥 moins deux en 𝑥 égale 180. C’est le cosinus de 180 moins deux. Et nous savons que cosinus de 180 est égal à moins un. Donc, 𝑓 de 180 moins deux égale moins trois. Par conséquent, la transformation donnée associe 180, moins un à 180, moins trois.
Voyons de plus en détail les implications de la transformation utilisée dans cet exemple. Créons un tableau de valeurs pour comparer les valeurs de sortie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑓 de 𝑥 moins deux. Pour chaque point, nous pouvons voir que la valeur de 𝑓 de 𝑥 moins deux est inférieure de deux de la valeur de 𝑓 de 𝑥. Si nous traçons cela pour toutes les valeurs possibles de 𝑥, nous obtenons les graphiques suivants : en orange, cosinus de 𝑥 et en bleu, cosinus de 𝑥 moins deux. Nous avons marqué le point 𝐴 sur le premier graphique et le nouveau point 𝐵 sur le graphique après la transformation. Ce changement fait que le point 𝐴 se déplace verticalement vers le bas de deux sur le point 𝐵. En fait, nous pouvons voir que le graphique entier a été déplacé vers le bas de deux.
Nous pouvons généraliser ce résultat de la manière suivante. Pour une constante réelle 𝑑, 𝑓 de 𝑥 plus 𝑑 représente une translation verticale par zéro, 𝑑 dans le graphique. En d’autres termes, la courbe est déplacée vers le haut de 𝑑. Si 𝑑 est négatif, comme nous venons de le voir, le résultat est un décalage vers le bas de la courbe. Voyons maintenant ce qui pourrait arriver si nous ajoutons ou soustrayons une constante à la valeur de 𝑥 avant de la substituer dans la fonction 𝑓 de 𝑥.
Créons un nouveau tableau de valeurs pour démontrer l’effet que 𝑓 de 𝑥 moins 90 a sur 𝑓 de 𝑥 égal à cosinus de 𝑥. Cette transformation particulière nous dit de soustraire 90 de 𝑥 avant d’évaluer le cosinus de cet angle. Nous allons donc ajouter une troisième ligne au tableau, où 𝑥 moins 90 est calculé. Ensuite, nous évaluons le cosinus aux nouvelles valeurs d’entrée de la ligne trois. Ce n’est peut-être pas immédiatement évident, mais les sorties de la dernière ligne par rapport aux sorties de la deuxième ligne ont toutes été déplacées vers la droite.
Traçons deux courbes pour visualiser cette transformation. Comme nous pouvons le voir, le graphique a été déplacé vers la droite de 90. C’est-à-dire qu’en soustrayant directement 90 de 𝑥, les sorties se déplacent dans la direction opposée. Ce résultat peut également être généralisé. Pour une constante réelle 𝑐, 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐 représente une translation horizontale par moins 𝑐, zéro sur le graphique. En d’autres termes, le graphique est déplacé vers la gauche de 𝑐. Si 𝑐 est négatif, comme nous venons de le voir, le résultat est un décalage vers la droite.
Maintenant, résumons les transformations de la fonction principale. Nous allons examiner deux types de transformations de fonctions : les translations et les dilatations. 𝑓 de 𝑥 plus une constante réelle 𝑑 représente une translation verticale par zéro, 𝑑. 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐 représente une translation horizontale par moins 𝑐, zéro. 𝑎 multiplié par 𝑓 de 𝑥 représente une dilatation verticale par un facteur de valeur absolue de 𝑎. Cependant, si 𝑎 est négatif, la fonction subit d’abord une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥. 𝑓 de 𝑏 multiplié par 𝑥 représente une dilatation horizontale par un facteur de valeur absolue de un sur 𝑏. Et si 𝑏 est négatif, alors la fonction subit d’abord une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦.
Dans notre prochain exemple, nous montrerons comment trouver les coordonnées d’un point après une transformation en utilisant l’une de ces définitions.
La figure montre la courbe de 𝑓 de 𝑥. Une transformation associe 𝑓 de 𝑥 en 𝑓 de deux 𝑥. Déterminez les coordonnées de 𝐴 suite à cette transformation.
Nous commençons par reconnaître la courbe rouge comme le graphique de la fonction principale cosinus. Les caractéristiques qui nous ont permis de comprendre ce fait sont l’amplitude de un, la période de 360, l’ordonnée à l’origine en un et les points d’intersections avec l’axe des 𝑥 en 90 et 270.
Pour répondre à cette question, nous devons identifier l’effet que la transformation associant 𝑓 de 𝑥 en 𝑓 de deux 𝑥 a sur un seul point. Le point que nous utilisons est 𝐴, qui a les coordonnées 180, moins un. Les coordonnées du point 𝐴 correspondent au fait que cosinus de 180 degrés est égal à moins un. Nous rappelons qu’une fonction de la forme 𝑓 de 𝑏 multipliée par 𝑥 représente une dilatation horizontale par un facteur de valeur absolue de un sur 𝑏. Dans ce cas, 𝑏 égale deux. Ainsi, 𝑓 de deux 𝑥 représente une dilatation horizontale d’un facteur de un demi. Nous savons qu’une dilatation horizontale affecte uniquement les abscisses 𝑥. Dans ce cas, chaque valeur de 𝑥 est multipliée par un demi.
Le point de coordonnées 𝐴 a une valeur de 180 avant la dilatation horizontale. Donc, nous prenons la moitié de 180. Seules les transformations verticales affectent l’ordonnée 𝑦. Ainsi, la valeur 𝑦 dans ce cas reste inchangée. Par conséquent, selon la dilatation horizontale, les coordonnées de l’image du point 𝐴 sont 90, moins un. Après avoir appliqué le facteur à toutes les abscisses 𝑥, nous obtenons une courbe de cosinus avec une longueur de période qui a également été divisée par deux. Nous pouvons vérifier notre réponse en substituant 𝑥 égal à 90 dans la fonction 𝑓 de deux 𝑥. Ensuite, nous obtenons 𝑓 de 180. Et nous observons sur le graphique que 𝑓 de 180 est égal à moins un. Cela correspond à l’ordonnée 𝑦 de l’image de 𝐴 que nous avons trouvée. Nous sommes donc confiants dans notre réponse finale.
Jusqu’à présent, nous avons vu une seule transformation appliquée à chaque fonction. Cependant, il y aura des occasions où une fonction est associée à une autre fonction par une série de plusieurs transformations. Généralement, l’ordre est important si les transformations agissent dans la même direction, c’est-à-dire lorsque les deux transformations ont un effet horizontal ou les deux ont un effet vertical.
Pour mieux comprendre l’importance de séquencer les transformations dans la même direction, nous considérerons les fonctions définies par deux multipliées par le sinus de 𝑥 plus un et deux multipliées par parenthèse ouverte sinus de 𝑥 plus un parenthèse fermée. Puisque ces fonctions sont toutes deux des transformations de la fonction sinus principale, nous commençons par un graphique représentant une période de 𝑦 égale sinus de 𝑥, dessinée en rose. Nous obtenons la première fonction transformée en effectuant la dilatation verticale par un facteur de deux, ce qui provoque le doublement des ordonnées 𝑦, suivi d’une translation verticale de un, alors que la deuxième fonction transformée est obtenue en effectuant d’abord la translation verticale, qui augmente les ordonnées 𝑦 d’une unité, suivie de la dilatation verticale par un facteur de deux.
De cet exemple, nous remarquons que lorsque l’ordre des deux transformations verticales change, nous obtenons un résultat légèrement différent. Afin d’éviter toute confusion, nous suivrons un ordre spécifique lors de la représentation graphique des transformations du sinus ou du cosinus. 𝑓 de 𝑥 correspond à 𝑎 fois 𝑓 de 𝑏 multiplié par 𝑥 plus 𝑐 plus 𝑑 dans l’ordre suivant.
Premièrement, nous effectuerions une dilatation verticale par un facteur de valeur absolue de 𝑎, où une valeur 𝑎 négative entraîne une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥. Ensuite, nous effectuerions une dilatation horizontale d’un facteur de valeur absolue de un sur 𝑏, où une valeur 𝑏 négative entraîne une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦. Troisièmement, une translation horizontale est donnée par moins 𝑐, zéro. Quatrièmement, une translation verticale est donnée par zéro, 𝑑.
Appliquons ces nouvelles informations sur le séquençage dans notre prochain exemple.
La figure montre la courbe de 𝑓 de 𝑥. Une transformation associe 𝑓 de 𝑥 à quatre fois 𝑓 de trois 𝑥 moins 45 plus un. Déterminez les coordonnées de 𝐴 suite à cette transformation.
Nous commençons par reconnaître la courbe rouge comme le graphique de la fonction principale cosinus. Les caractéristiques qui nous ont permis de comprendre ce fait sont l’amplitude de un, la période de 360, l’ordonnée à l’origine de un, et les points d’intersection avec l’axe des 𝑥 en 90 et 270. Ensuite, nous rappelons l’ordre dans lequel nous séquencerons les transformations de plusieurs fonctions de 𝑓 de 𝑥 à 𝑎 fois 𝑓 de 𝑏 fois 𝑥 plus 𝑐 plus 𝑑. Tout d’abord, nous effectuons une dilatation verticale par un facteur de valeur absolue de 𝑎, où une valeur négative de 𝑎 entraîne une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥. Deuxièmement, nous avons une dilatation horizontale d’un facteur de valeur absolue de un sur 𝑏, où une valeur négative de 𝑏 donne une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦. Troisièmement, nous avons une translation horizontale donnée par moins 𝑐, zéro. Et enfin, nous avons une translation verticale donnée par zéro, 𝑑.
Pour identifier la transformation qui associe 𝑓 de 𝑥 à quatre fois 𝑓 de trois 𝑥 moins 45 plus un, nous réécrivons quatre fois 𝑓 de trois 𝑥 moins 45 plus un comme quatre fois 𝑓 de trois fois parenthèse ouverte 𝑥 moins 15 parenthèses fermée plus un. Et soit 𝑎 égale quatre, 𝑏 égale trois, 𝑐 égale moins 15 et 𝑑 égale un. Ensuite, 𝑓 de 𝑥 subit les transformations suivantes.
Selon la valeur de 𝑎, nous avons une dilatation verticale par un facteur de quatre. Puisque la valeur de 𝑎 était positive, il n’y a pas de symétrie par rapport à l’axe des 𝑥. Selon la valeur de 𝑏, nous avons une dilatation horizontale d’un facteur d’un tiers. Puisque la valeur 𝑏 est positive, il n’y a pas symétrie par rapport à l’axe des 𝑦. Selon la valeur de 𝑐, nous avons une translation horizontale donnée par moins moins 15, zéro, ce qui équivaut à 15, zéro, ce qui signifie un déplacement vers la droite de 15. Selon la valeur de 𝑑, nous avons une translation verticale donnée par zéro, un, ce qui signifie que la courbe est déplacée de un.
Nous pouvons maintenant appliquer la série de quatre transformations au point 𝐴, qui a les coordonnées 180, moins un. Nous savons que les transformations verticales ont un effet sur l’ordonnée 𝑦, alors que les transformations horizontales ont un effet sur l’abscisse 𝑥. Par conséquent, la dilatation verticale par un facteur de quatre associe180, moins un en 180, moins un fois quatre, ce qui équivaut à 180, moins quatre. Puis nous avons la dilatation horizontale par un facteur d’un tiers, qui associe 180, moins quatre à 180 fois un tiers, moins quatre, ce qui équivaut à 60, moins quatre. Ensuite, nous avons une translation horizontale qui ajoute 15 à l’abscisse 𝑥, ce qui nous donne 75, moins quatre. Et enfin, la translation verticale ajoute un à l’ordonnée 𝑦, ce qui donne le point de coordonnées 75, moins trois.
Par conséquent, les coordonnées du point 𝐴, suivant les transformations données, sont 75, moins trois. Nous pouvons vérifier notre réponse en substituant 75 à 𝑥 dans la fonction cosinus transformée quatre fois cosinus de trois 𝑥 moins 45 plus un. Après avoir substitué 75 et évalué l’expression, nous constatons que la fonction transformée évaluée en 75 est bien égale à moins trois, comme prévu.
Nous terminerons en récapitulant certains concepts clés de cette vidéo.
Lors de l’application d’une transformation à une fonction trigonométrique 𝑓 de 𝑥, 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥 représente une dilatation verticale par un facteur de valeur absolue de 𝑎, où une valeur négative de 𝑎 entraîne une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥. 𝑓 de 𝑏 fois 𝑥 représente une dilatation horizontale d’un facteur de valeur absolue de un sur 𝑏, où une valeur négative de 𝑏 entraine une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦. 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐 représente une translation horizontale donnée par moins 𝑐, zéro, alors que 𝑓 de 𝑥 plus 𝑑 représente une translation verticale donnée par zéro, 𝑑.
Lorsqu’une série de transformations associe 𝑓 de 𝑥 en 𝑎 fois 𝑓 de 𝑏 fois 𝑥 plus 𝑐 plus 𝑑, les quatre transformations sont appliquées dans l’ordre donné : d’abord, la dilatation verticale, puis la dilatation horizontale, puis la translation horizontale, puis la translation verticale. Nous devons également nous familiariser avec les caractéristiques clés des graphiques des fonctions sinus et cosinus principales avant d’appliquer des transformations. Les différences les plus distinctes entre les courbes des principales fonctions sinus et cosinus sont leurs intersections avec les axes des 𝑥 et 𝑦, comme le montrent les courbes orange et rose.
