Transcription de la vidéo
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle équilatéral de côté 82 centimètres. Lorsque trois masses égales sont placées aux sommets du triangle, le centre de gravité du système est le point 𝐺. Si la masse au sommet 𝐶, est éliminée, alors le centre de gravité du système est le point 𝐺 prime. Déterminez les coordonnées du centre de gravité de chacun des deux systèmes 𝐺 et 𝐺 prime.
Dans cette question, on nous donne deux figures qui représentent deux systèmes comprenant le même triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶. La longueur des côtés du triangle est de 82 centimètres. Sur la première figure, nous avons des masses identiques situées aux sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Et on nous dit que le centre de gravité du système est le point 𝐺. Sur la deuxième figure, on a supprimé la masse du point 𝐶, nous n’avons donc que les masses aux sommets 𝐴 et 𝐵. Cette fois, le centre de gravité est le point 𝐺 prime.
On nous demande de déterminer les coordonnées des points 𝐺 et 𝐺 prime. Pour déterminer les coordonnées du point 𝐺, nous allons commencer par compléter le tableau suivant pour la figure un. Nous allons écrire que les masses identiques aux sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont égales à 𝑚 grammes. Comme le point 𝐵 se situe au niveau de l’origine, ses coordonnées sont zéro, zéro. Le point 𝐶 se trouve à 82 centimètres le long de l’axe des 𝑥, ses coordonnées sont donc 82, zéro. Comme le triangle est équilatéral, l’abscisse 𝑥 de 𝐴 est égale à 82 divisé par deux, soit 41. L’ordonnée 𝑦 du point 𝐴 est égale à la hauteur du triangle rectangle dessiné.
En utilisant le théorème de Pythagore, nous savons que ℎ au carré est égal à 82 au carré moins 41 au carré. Ce qui est égal à 5043. Ensuite, nous pouvons prendre la racine carrée des deux côtés de cette équation. Et comme ℎ doit être positif, nous avons ℎ égal à 41 racine trois. Les coordonnées du sommet 𝐴 sont 41, 41 racine trois.
Nous pouvons maintenant déterminer les coordonnées du centre de gravité du premier système, le point 𝐺. L’abscisse 𝑥 du point 𝐺, que nous allons appeler 𝑥 un barre, est égale à 𝑚 multiplié par 41 plus 𝑚 multiplié par zéro plus 𝑚 multiplié par 82 le tout divisé par 𝑚 plus 𝑚 plus 𝑚. Nous multiplions les masses relatives à chacun des sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐶 par leur abscisse 𝑥 correspondante. Il faut ensuite faire la somme de ces valeurs et diviser par la somme des masses. L’expression pour 𝑥 un barre se simplifie en 41𝑚 plus 82𝑚 divisé par trois 𝑚. Nous pouvons diviser par le facteur commun 𝑚 car la masse ne peut pas être nulle. Il nous reste alors 123 divisé par trois, ce qui est égal à 41. L’abscisse 𝑥 du point 𝐺 est 41. En faisant de même pour l’ordonnée 𝑦, nous avons 41 racine de trois 𝑚 sur trois 𝑚. Encore une fois, les 𝑚 se simplifient, ce qui nous donne 41 racine de trois sur trois. C’est l’ordonnée 𝑦 du point 𝐺.
Passons maintenant à la deuxième figure où nous devons déterminer les coordonnées du point 𝐺 prime. Les sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ont les mêmes coordonnées. Cependant, cette fois, il n’y a pas de masse au sommet 𝐶. L’abscisse 𝑥 du centre de gravité de ce système, que nous allons appeler 𝑥 deux barre, est égale à 𝑚 multiplié par 41 plus 𝑚 multiplié par zéro divisé par 𝑚 plus 𝑚. Nous notons que la masse totale de ce système est de deux 𝑚. L’expression de 𝑥 deux barre se simplifie en 41𝑚 sur deux 𝑚. Nous pouvons encore une fois diviser par 𝑚, ce qui nous donne 41 sur deux. L’abscisse 𝑥 de 𝐺 prime est de 41 sur deux. En faisant de même pour l’ordonnée 𝑦, nous avons 41 racine de trois 𝑚 divisé par deux 𝑚. Et cela se simplifie en 41 racine de trois sur deux.
Nous avons maintenant les coordonnées de 𝐺 et 𝐺 prime comme demandé et il convient de noter que 𝐺 prime est le milieu du segment 𝐴𝐵. Les coordonnées du centre de gravité du premier système sont 41, 41 racine de trois sur trois et celles du centre de gravité du deuxième système sont 41 sur deux, 41 racine de trois sur deux.
