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Fiche explicative de la leçon : Méthode de la masse négative Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer le centre de gravité d’une lame contenant des trous avec la méthode de la masse négative.

Le centre de gravité d’un système de corps par rapport à l’origine d’un repère est déterminé par la position du centre de gravité de chaque corps par rapport à l’origine du système.

Dans le cas d’un système unidimensionnel à deux corps, on peut le définir comme suit.

Définition : Position du centre de gravité d’un système unidimensionnel à deux corps

La position du centre de gravité d’un système à deux corps dans un plan unidimensionnel est définie par 𝑥=𝑚𝑥+𝑚𝑥𝑚+𝑚,𝑚 et 𝑚 sont les masses des corps et 𝑥 et 𝑥 sont les positions de ces corps par rapport à l’origine du système.

Notez qu’on peut généraliser cette méthode pour un système de 𝑛 corps en ajoutant les termes suivants, au besoin:𝑥=𝑚𝑥+𝑚𝑥+𝑚𝑥++𝑚𝑥𝑚+𝑚+𝑚++𝑚.

On peut généraliser davantage cette méthode pour qu’elle soit valable pour 2 dimensions ou plus en spécifiant la position de chaque corps à l’aide un vecteur position.

Si on définit le vecteur position pour le centre de gravité de notre système par 𝑟, on arrive à la définition suivante.

Définition : Vecteur position du centre de gravité d’un système

Le vecteur position du centre de gravité d’un système de 𝑛 corps dans l’espace est défini par 𝑟=𝑚𝑟+𝑚𝑟+𝑚𝑟++𝑚𝑟𝑚+𝑚+𝑚++𝑚,𝑚,,𝑚 sont les masses des corps et 𝑟,,𝑟 sont les vecteurs position de ces corps par rapport à l’origine du système.

Notez qu’on peut exprimer l’équation ci-dessus dans un format plus pratique en utilisant la notation sigma:𝑟=𝑚𝑟𝑚.

En pratique, il est courant de calculer le centre de gravité d’un système dans lequel les positions des objets sont définies dans un repère orthogonal. Cela signifie qu’on peut exprimer la relation vectorielle ci-dessus en fonction des coordonnées de base du système afin de simplifier nos calculs.

Dans cette fiche explicative, nous allons travailler dans un repère cartésien bidimensionnel, et par conséquent, nous allons utiliser les coordonnées 𝑥 et 𝑦. On peut donc trouver les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de gravité de notre système en utilisant les équations suivantes:𝑥=𝑚𝑥𝑚=𝑚𝑥+𝑚𝑥+𝑚𝑥++𝑚𝑥𝑚+𝑚+𝑚++𝑚,𝑦=𝑚𝑦𝑚=𝑚𝑦+𝑚𝑦+𝑚𝑦++𝑚𝑦𝑚+𝑚+𝑚++𝑚.

Notez que résoudre ces équations dans un système bidimensionnel est équivalent à trouver le vecteur position du centre de gravité puisque 𝑟=𝑥,𝑦.

Une méthode classique que vous connaissez peut-être pour déterminer le centre de gravité d’un système de corps est de créer un tableau qui contient les masses des corps et leurs positions dans les directions 𝑥 et 𝑦 par rapport à l’origine. Cette méthode nous permet d’afficher des informations sur notre système dans un format facilement lisible avant de résoudre les équations.

Les systèmes bidimensionnels sur lesquels nous allons nous focaliser dans cette fiche explicative seront entièrement composés de lames et de masses. Voyons comment appliquer les méthodes que nous avons mentionnées à de tels systèmes.

Commençons par considérer une lame carrée homogène.

Pour déterminer le centre de gravité de cette lame, il suffit de trouver le centre du carré (puisque c’est une lame homogène), ce que l’on peut faire en construisant le point d’intersection des diagonales du carré.

Maintenant, ajoutons une masse à l’un des sommets de la lame.

Cela déplace le centre de gravité vers la masse ajoutée, le long de la droite qui relie le centre de gravité de la lame au centre de gravité de la masse, 𝑀.

Ensuite, considérons ce qui se passerait si on créait un trou triangulaire dans notre lame initiale, comme sur la figure suivante.

Une façon de trouver le centre de gravité de cette nouvelle lame est de la diviser en rectangles et en triangles, de trouver le centre de gravité de chacune de ces figures et de les combiner pour trouver le centre de gravité de la lame.

Cependant, cette méthode peut prendre beaucoup de temps car il faut calculer les centres de gravité de plusieurs lames. C’est là que la méthode de la masse négative est utile. On peut aborder ce problème comme si on avait deux lames:la lame carrée initiale et la lame triangulaire qui a été retirée. Puisqu’on a retiré la masse du système en retirant le triangle, on peut considérer que cette lame triangulaire a une « masse négative ».

Maintenant, nous savons que le centre de gravité de la lame carrée est au point où les diagonales du carré se coupent. De même, le centre de gravité du triangle est également situé en son centre géométrique, qui est le point d’intersection des droites qui relient chaque sommet au milieu du côté opposé à ce sommet.

Le centre de gravité du système se situera le long de la droite qui relie les centres de gravité du triangle et du carré comme indiqué ici.

Lorsque nous avons ajouté de la masse à la lame, le centre de gravité du système s’est déplacé vers cette masse ajoutée. Cependant, ici nous avons retiré de la masse ou ajouté une « masse négative » , donc le centre de gravité s’éloigne de la masse retirée.

Il est important de noter que bien qu’on dise que cette lame retirée a une « masse négative » , il est physiquement impossible pour un corps d’avoir une masse négative. On modélise juste l’élimination de la masse par une « masse négative » .

Considérons maintenant un exemple de la méthode de la masse négative.

Exemple 1: Déterminer le centre de gravité d’une lame rectangulaire à laquelle on enlève un rectangle

Déterminez les coordonnées du centre de gravité de la figure suivante, qui est tracée sur une grille de carrés unitaires.

Réponse

Pour déterminer la position du centre de gravité de la figure, nous devons supposer qu’elle est homogène. Ayant supposé l’homogénéité, on peut déterminer le centre de gravité de la figure sans calcul en le modélisant comme une lame de masse positive, avec une lame ayant été retirée de celle-ci. On peut ensuite modéliser la lame retirée comme une lame ayant une « masse négative ». La lame de masse négative doit être homogène, car la lame de masse positive est homogène.

La figure suivante montre comment déterminer graphiquement la position du centre de gravité des lames de masse positive et de masse négative, confirmant qu’elles sont au même endroit.

Les coordonnées du centre de gravité de chaque lame, et donc de la figure initiale, sont 92,4..

Il est utile de noter que la position du centre de gravité de la figure serait toujours sur ce point si la lame de masse négative avait une masse positive, à condition que la lame soit homogène.

Considérons maintenant un exemple d’utilisation de la méthode de la masse négative dans laquelle les centres de gravité des lames de masse positive et de masse négative ont des positions différentes.

Exemple 2: Déterminer le centre de gravité d’une lame en forme de flèche

La figure illustre une lame homogène 𝐴𝐵𝐶 de laquelle on a retiré un triangle 𝐺𝐵𝐶. Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est équilatéral avec un côté de 93 cm et un centre de gravité 𝐺. Déterminez les coordonnées du nouveau centre de gravité de la lame résultante. Arrondissez votre réponse au centième près, si nécessaire.

Réponse

On peut déterminer le centre de gravité de la lame en forme de flèche en la modélisant comme un système constitué d’une lame de masse positive qui correspond au triangle 𝐴𝐵𝐶 à laquelle on enlève le triangle 𝐺𝐶𝐵, qu’on peut modéliser comme une lame de « masse négative. » Les deux planches sont homogènes et donc leurs centres de gravité sont en leurs centres géométriques.

La première chose qu’on peut remarquer à propos de la lame 𝐴𝐵𝐺𝐶 c’est qu’elle a un axe de symétrie vertical. Cela signifie que l’abscisse 𝑥 de son centre de gravité sera sur cette droite. L’axe de symétrie passera par le milieu de la base de 𝐴𝐵𝐶, donc l’abscisse 𝑥 du centre de gravité sera 932=46,5..

Le centre géométrique d’un triangle équilatéral est le point où chacune des médianes du triangle se coupent, soit un tiers de la longueur d’une médiane à partir du milieu d’un des côtés du triangle. La figure suivante montre le centre de gravité de la lame de masse positive en 𝑦 et le centre de gravité de la lame « masse négative » en 𝑦.

Afin de déterminer les longueurs 𝑦 et 𝑦, il faut d’abord connaître la hauteur du triangle 𝐴𝐵𝐶, qu’on peut désigner par 𝑎.

Puisque 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral, tous ses angles sont de 60. La droite verticale représentée sur la figure divise l’angle au sommet du triangle en deux angles de même mesure, nous savons donc que 𝜃=30. Lorsqu’on utilise le rapport trigonométrique tanopp.adj.(𝜃)=, on a tan(30)=𝑎.

On peut réécrire cela comme 𝑎=932(30)=9332.tancm

Maintenant, on peut déterminer le centre de gravité de 𝐴𝐵𝐶 en calculant sont ordonnée 𝑦, car le centre géométrique d’un triangle est situé à 13 du segment dans la direction qui relie le milieu de la base au sommet opposé. Ainsi, on peut dire que 𝑦=𝑎3=9336.cm

Maintenant, 𝐺 est le centre géométrique de 𝐴𝐵𝐶, on peut donc déduire que le centre géométrique de 𝐺𝐵𝐶 a une ordonnée 𝑦 qui est 𝑦=𝑦3=93318.cm

On nous dit dans la question que la lame est homogène, ce qui signifie que la densité est la même sur toute la surface de la lame. Puisque nous utilisons la méthode de la masse négative, cela signifie que nous pouvons aussi dire que la lame de « masse négative » , 𝐺𝐵𝐶, est homogène et que sa densité est égale mais de signe opposé à la densité de 𝐴𝐵𝐶. Cela signifie que les masses des lames sont proportionnelles à leurs aires. Ainsi, on peut calculer la masse relative de 𝐴𝐵𝐶 comme étant 𝑚=12×93×9332=9334.

Et la masse relative de 𝐺𝐵𝐶, sachant que ce sera une « masse négative » , est donnée par 𝑚=12×93×9336=93312.

Avec ces deux éléments, on peut déterminer la masse relative de la lame 𝐴𝐵𝐺𝐶 comme suit 𝑚=933493312=9336.

Grâce à ces informations, on peut créer un tableau qui contient les masses relatives des différentes lames et les ordonnées 𝑦 de leurs centres de gravité.

Lame𝐴𝐵𝐶𝐺𝐵𝐶𝐴𝐵𝐺𝐶
Masse relative9334933129336
Coordonnée 𝑦933693318𝑦

Puisqu’on obtient la lame 𝐴𝐵𝐺𝐶 en combinant les lames 𝐴𝐵𝐶 et 𝐺𝐵𝐶, on peut écrire l’équation suivante à partir de ce tableau:9334×933693312×93318=9336×𝑦.

Maintenant, il ne nous reste plus qu’à réarranger cette équation et déterminer 𝑦. 𝑦=××==933493336=6233.cm

Nous avons maintenant trouvé les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de gravité. Nous devons à présent arrondir l’ordonnée 𝑦 au centième près. Ce faisant, nous arrivons à notre solution:le centre de gravité de la lame est (46,5,35,80).

Considérons maintenant un exemple dans lequel on combine des lames de différentes formes.

Exemple 3: Déterminer le centre de gravité d’une lame de laquelle on enlève un cercle

Une lame carrée homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷 a un côté de 28 cm. On découpe un disque circulaire de rayon 7 cm de la lame de sorte que son centre soit à une distance de 17 cm de 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Déterminez les coordonnées du centre de gravité de la lame résultante. Supposez que 𝜋=227.

Réponse

La figure suivante montre les positions des centres de gravité de la lame carrée de masse positive et de la lame circulaire de masse négative.

La valeur de 𝑥 est définie par 𝑥=14+1417=11.

Les coordonnées du centre de gravité de la lame carrée sont (14,14), et les coordonnées du centre de gravité de la lame circulaire sont (11,17).

Les masses des lames sont proportionnelles à leurs aires.

La masse de la lame carrée est définie par 𝑚=28=784.

La masse de la lame circulaire est définie par 𝑚=𝜋𝑟.

Lorsqu’on utilise les valeurs de 𝜋 et 𝑟, on obtient 𝑚=227×7=154.

À ce stade, on pourrait créer un tableau avec les masses des lames et leurs centres de gravité et l’utiliser pour résoudre la question, mais nous allons utiliser une autre méthode. Qui consiste à utiliser la formule pour déterminer les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de gravité.

La formule pour l’abscisse 𝑥 est 𝑥=𝑚𝑥+𝑚𝑥𝑚+𝑚.

Lorsqu’on substitue les valeurs que nous venons de trouver, on obtient 𝑥=784×14154×11784154.

On peut simplifier cela et obtenir 𝑥=22115.

De même, l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité du système est définie par 𝑦=784×14154×17748154=19915.

Par conséquent, nous avons obtenu que le centre de gravité du système est 22115,19915.

Lorsqu’on ajoute la position du centre de gravité au système, on peut voir qu’il se trouve sur la droite qui passe par le centre de gravité des lames carrées et circulaires. Le centre de gravité du système se déplace depuis le centre de gravité du carré dans la direction opposée au centre de gravité de la lame circulaire (qui a une masse négative).

Considérons un exemple dans lequel on peut utiliser la méthode de la masse négative.

Exemple 4: Déterminer le centre de gravité d’une lame sur laquelle on ajoute des poids supplémentaires

Une lame carrée homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷 de côté 222 cm a une masse de un kilogramme. On désigne les milieux de 𝐴𝐷,𝐴𝐵, et 𝐵𝐶 par 𝑇, 𝑁 et 𝐾 respectivement. Les coins 𝑇𝐴𝑁 et 𝑁𝐵𝐾 sont pliés de sorte qu’ils reposent sur la surface de la lame. On attache respectivement des corps de masses 365 g et 294 g aux points 𝑇 et 𝐾. Déterminez les coordonnées du centre de gravité du système et arrondissez votre réponse au centième près, si nécessaire.

Réponse

On peut résoudre cette question en modélisant le système comme étant constitué uniquement de corps de masse positive. Dans ce cas, les valeurs des masses positives seraient celles du rectangle 𝐶𝐷𝑇𝐾, du triangle 𝐾𝑇𝑁 et des masses ajoutées en 𝑇 et 𝐾.

Lorsqu’on utilise la méthode de la masse négative, on modélise le système comme étant constitué des corps de masse positive qui sont les masses ajoutées en 𝑇 et 𝐾, le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 et le triangle 𝐾𝑇𝑁, ainsi que des corps de « masse négative » , notamment les triangles 𝑇𝐴𝑁 et 𝐾𝐵𝑁. Nous allons utiliser la méthode de la masse négative pour résoudre ce problème.

D’abord, déterminons l’abscisse 𝑥 du centre de gravité du système.

Les masses ajoutées ont toutes deux des abscisses 𝑥 de 111.

Le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 est homogène et a un côté de 222 cm, donc la position de son centre de gravité est son centre géométrique, qui a une coordonnée 𝑥 de 111.

La lame carrée a une masse de 1 kilogramme, qui est égale à 1‎ ‎000 grammes.

Le centre de gravité du triangle 𝐾𝑇𝑁 a une abscisse 𝑥 égale à la longueur de 𝐷𝑇 plus un tiers de la longueur de 𝐴𝑇, qui est donnée par 111+1113=148.

La masse du triangle 𝐾𝑇𝑁 est un quart de la masse de la lame carrée, soit 250 grammes.

Le centre de gravité des triangles de masse négative a une abscisse 𝑥 égale à la longueur de 𝐶𝐵 moins un tiers de la longueur de 𝐾𝐵, qui est définie par 2221113=185.

La masse totale des triangles de masse négative est moins un quart de la masse de la lame carrée, soit 250 grammes. Ceci est forcément égal à la valeur de la masse du triangle 𝐾𝑇𝑁, car la masse totale du système est la masse de la lame carrée et des masses ajoutées, les lames triangulaires représentant seulement la masse de la partie de la lame carrée qui a été redistribuée.

Résumons d’abord les données que nous avons dans un tableau.

Lame ou masse𝐴𝐵𝐶𝐷Masse à 𝑇Masse à 𝐾𝐾𝑇𝑁𝑇𝐴𝑁𝐾𝐵𝑁
Masse relative1‎ ‎000365294250125125
Coordonnée 𝑥111111111148185185

Afin de déterminer l’abscisse 𝑥 du système, on peut multiplier la masse de chaque corps dans le système par l’abscisse 𝑥 du centre de gravité du corps relatif, puis diviser par la somme des masses. Cela nous donne 𝑥=1000×111+365×111+294×111+250×148125×185125×1851000+294+365+250125125, qui vaut 𝑥=1748991659.

Au centième près, cela correspond à 105, 42.

L’ordonnée 𝑦 du centre de gravité de la lame carrée est 111, ce qui est aussi la valeur de l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité de la lame triangulaire de masse positive.

Les ordonnées 𝑦 des centres de gravité des lames triangulaires de « masse négative » sont distribuées de manière symétrique par rapport à la droite d’équation 𝑦=111, donc le centre de gravité des deux lames de « masse négative » est aussi 111.

La masse de 294 gramme ajoutée a une ordonnée 𝑦 de 0, tandis que la masse de 365 gramme ajoutée a une ordonnée 𝑦 de 222.

Résumons ces valeurs dans un tableau.

Lame ou masse𝐴𝐵𝐶𝐷Masse à 𝑇Masse à 𝐾𝐾𝑇𝑁𝑇𝐴𝑁 et 𝐾𝐵𝑁
Masse relative1‎ ‎000365294250250
Coordonnée 𝑦1112220111111

Lorsqu’on considère ces valeurs, on voit que 𝑦=1000×111+365×222+294×0+250×111250×1111659, qui vaut 𝑦=1920301659.

Au centième près, cela correspond à 115, 75.

Les coordonnées du système sont donc (105,42,115,75).

Considérons maintenant un autre exemple similaire.

Exemple 5: Résoudre un problème posé impliquant le centre de gravité

Soit une lame rectangulaire homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐵=56cm et 𝐵𝐶=35cm. Deux points 𝐸 et 𝐹 sont sur le segment 𝐴𝐵 de sorte que 𝐴𝐸=𝐵𝐹=14cm. Le triangle 𝑀𝐸𝐹, 𝑀 est le centre du rectangle, est découpé dans la lame. Déterminez les coordonnées du centre de gravité de la lame résultante. Sachant que la lame était librement suspendue à 𝐷, déterminez la tangente de l’angle que 𝐷𝐴 forme avec la verticale, tan𝜃, lorsque la lame est suspendue dans sa position d’équilibre.

Réponse

La figure suivante illustre comment on peut modéliser la lame en utilisant uniquement des lames de masse positive.

Dans ce cas, il est plus simple d’utiliser la méthode de la masse négative car elle ne nécessite que deux lames au lieu de cinq.

La figure suivante montre les positions des centres de gravité d’une lame rectangulaire de masse positive et d’une lame triangulaire de masse négative qui correspondent à la lame composée.

La longueur 𝑥 est définie par 𝑥=2(2814)=28.cm

Les coordonnées du centre de gravité de la lame rectangulaire sont 28,352.

L’ordonnée 𝑦 du centre de gravité de la lame triangulaire est définie par 353=1756.

Les coordonnées du centre de gravité de la lame triangulaire sont 28,1756.

La masse de la lame rectangulaire est proportionnelle à son aire. On peut donc dire que la masse relative de la lame rectangulaire est définie par 𝑚=35×56=1960.

La masse relative de la lame triangulaire est définie par 𝑚=282×352=245.

On peut maintenant déterminer l’abscisse 𝑥 du centre de gravité du système. Lorsqu’on substitue les valeurs dans la formule, on obtient 𝑥=1960×28245×281960245=28.

L’ordonnée 𝑦 du centre de gravité du système est définie par 𝑦=1960×245×1960245=205800428756×1715.

On peut simplifier cette fraction et obtenir 𝑦=956.

Les coordonnées du centre de gravité du système sont donc 28,956.

L’ordonnée 𝑦 du centre de gravité du système s’éloigne du centre de gravité de la lame rectangulaire de 53.

Suspendre la lame composée au point 𝐷 entraînera une rotation de la lame dans le sens horaire jusqu’à ce que la ligne d’action de la tension dans la corde qui suspend la lame coupe le centre de gravité de la lame, comme indiqué sur la figure suivante.

D’après la figure, l’angle 𝜃 formé avec verticale à partir de laquelle la lame est suspendue a une tangente donnée par tan𝜃=28=16895.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • On peut déterminer le centre de gravité d’un système de corps en créant un tableau avec la masse et les coordonnées du centre de gravité de chaque corps, puis en formant et en résolvant une équation à l’aide de ce tableau.
  • Le vecteur position du centre de gravité d’un système de 𝑛 corps dans l’espace est défini par 𝑟=𝑚𝑟𝑚,𝑚,,𝑚 sont les masses des corps et 𝑟,,𝑟 sont les vecteurs position de ces corps par rapport à l’origine du système.
  • Dans un système bidimensionnel défini avec des coordonnées cartésiennes, on peut définir le vecteur position du centre de gravité comme suit:𝑟=𝑥,𝑦.
  • On détermine souvent les coordonnées du centre de gravité d’un système en considérant chacune des coordonnées orthogonales séparément et en utilisant les équations 𝑥=𝑚𝑥𝑚,𝑦=𝑚𝑦𝑚.
  • On peut modéliser une lame homogène comme un système de lames et un trou dans une lame de masse positive correspond à une lame de « masse négative » .
  • Le centre de gravité d’un système constitué d’une lame de masse positive (𝐴) et d’une lame de masse négative (𝐵) se trouve sur la droite qui coupe les centres de gravité de 𝐴 et 𝐵. Le centre de gravité du système se déplace du centre de gravité de 𝐴 dans la direction qui s’éloigne du centre de gravité de 𝐵 (la lame de masse négative).

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