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Vidéo de la leçon : La méthode de la masse négative Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver le centre de gravité (de masse) d’une figure plane qui contient des trous en utilisant la méthode de la masse négative.

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Transcription de vidéo

Les objets du quotidien ont tous une masse positive ou aucune masse. Néanmoins, nous pouvons concevoir mathématiquement un objet avec une masse négative en utilisant simplement un nombre négatif pour représenter sa masse au lieu d’un nombre positif. Dans cette vidéo, nous apprendrons que les objets avec une masse négative sont en fait un outil mathématique précieux pour trouver le centre de masse des objets réels, même si ces objets réels ont une masse positive.

Chaque coordonnée du centre de masse d’une collection d’objets est donnée par cette formule, écrite ici pour la coordonnée 𝑥. Pour utiliser cette formule, nous additionnons la masse de chaque objet de la collection multipliée par la coordonnée 𝑥 de son emplacement, puis nous divisons par la masse totale. Cela nous donne la coordonnée 𝑥 du centre de masse de toute la collection. Pour les masses ponctuelles de notre collection d’objets, la masse n’est que la masse de la masse ponctuelle et la coordonnée n’est que la coordonnée de son emplacement. Si l’un de nos objets est étendu, comme, par exemple, des figures planes à deux dimensions, nous utilisons la masse totale de l’objet comme masse. Et pour l’emplacement des coordonnées, nous utilisons le centre de masse de cet objet individuel.

En plus d’utiliser cette formule pour trouver le centre de masse d’une collection d’objets déconnectés, nous pouvons également l’utiliser pour trouver le centre de masse d’un objet plus compliqué en divisant cet objet compliqué en objets plus petits et plus simples. Par exemple, une grande figure plane de forme irrégulière. Cependant, si nous imaginons séparer la figure plane le long de cette ligne pointillée, nous voyons que c’est aussi la combinaison de deux figures planes de forme régulière, le triangle ombré de bleu et le rectangle ombré de magenta. Nous pouvons ensuite utiliser des résultats connus pour le centre de masse des triangles et des rectangles avec notre formule de centre de masse pour trouver facilement le centre de masse de la figure résultante.

Nous pouvons même aller plus loin. Au lieu d’une figure plane avec une forme irrégulière, considérons une figure plane avec une distribution de masse irrégulière. Ici, nous avons un grand rectangle dont la distribution de la masse est uniforme à l’exception de l’aire carrée hachurée de magenta. En fait, donnons à cela une valeur quantitative. Disons que le carré hachuré de magenta a trois fois plus de masse qu’il aurait eu si la figure plane entière était uniforme. Pour diviser cela en plusieurs figures planes plus faciles à traiter, nous allons commencer par une grande figure plane rectangulaire avec une distribution de masse uniforme. Nous devons maintenant ajouter au moins une figure plane supplémentaire pour tripler la densité de cette partie carrée particulière de la figure plane uniforme, ce qui correspond à la surface hachurée que nous avions auparavant.

Puisque nous essayons d’augmenter la masse de cette région carrée, apposons une autre figure plane carrée de même taille et de même orientation au milieu de cette zone. Pour déterminer la masse appropriée pour cette deuxième figure plane, appelons la masse de la région carrée d’origine 𝑀. Puisque notre résultat final doit être une masse trois fois plus grande que dans cette zone, disons que la masse de notre deuxième figure plane carrée est de deux 𝑀. Maintenant, lorsque nous plaçons que ce carré uniforme de masse deux 𝑀 sur le carré uniforme de masse 𝑀, la masse totale sera 𝑀 plus deux 𝑀 soit trois 𝑀. Puisque trois 𝑀 est trois fois 𝑀, nous avons réussi à recréer notre figure plane originale non uniforme à partir de deux figures planes uniformes, un rectangle et un carré. Nous pouvons alors facilement utiliser les masses et les centres de masse de ces deux figures planes pour nous relier à notre formule du centre de masse pour trouver le centre de masse global de la figure plane non uniforme.

Nous sommes à deux doigts de voir pourquoi la masse négative peut grandement simplifier certains types de calculs. Avant de faire cela, cependant, soyons très clairs sur la raison pour laquelle la méthode que nous venons d’utiliser a réussi. Lorsque nous avons commencé à décomposer notre figure plane non uniforme, nous avons commencé avec une figure plane uniforme qui avait une masse de 𝑀 dans la zone particulière où la figure plane non uniforme avait une masse de trois 𝑀. En d’autres termes, il y avait une différence entre la masse de cette zone de la figure plane uniforme et la masse finale que nous visions. Nous avons réussi parce que nous avons pu trouver une masse, dans ce cas, deux 𝑀, qui comblerait cet écart entre la figure plane uniforme et la figure plane non uniforme. C’est cette idée, qui constitue un écart entre la masse d’une figure plane uniforme et une figure plane non uniforme, qui nous mènera directement aux objets de masse négative.

Modifions légèrement notre figure plane non uniforme. Au lieu d’avoir une zone plus dense, faisons un trou. Un trou n’a pas de masse. Donc, au lieu que cette zone ait trois fois plus de masse qu’elle ne l’aurait autrement, elle a zéro fois plus de masse. Même si nous pensons maintenant à moins de masse au lieu de plus de masse, essayons de faire ce que nous avons fait auparavant, prenons une figure plane rectangulaire uniforme et utilisons une petite figure plane carrée pour corriger la divergence dans cette zone particulière. La masse de la région carrée dans la figure plane uniforme est toujours 𝑀, mais maintenant la masse totale est nulle. Nous devons donc trouver une masse pour la figure plane carrée qui satisfera à la condition que la masse totale de la nouvelle zone soit nulle. Bien, tout nombre plus son négatif donne zéro.

Donc, si nous ignorons un instant le fait que les masses sont généralement positives, si nous permettons à la masse de la figure plane carrée d’être négative 𝑀, alors la masse totale de la zone résultante est 𝑀 plus moins 𝑀. Et 𝑀 plus moins 𝑀 est juste zéro. Nous pouvons donc représenter cette figure plane non uniforme avec un trou en utilisant deux figures planes uniformes tant que nous permettons à l’une de ces figures planes d’avoir une masse négative. Pour utiliser cette formule pour le centre de masse, il suffit de placer une valeur négative pour le terme approprié dans le numérateur et le dénominateur. En fait, mis à part l’introduction de quelques nombres négatifs, ces calculs sont identiques aux calculs que nous ferions dans toute autre situation où nous cherchons un centre de masse. Voyons maintenant quelques exemples où des objets avec une masse négative sont utiles. Nous allons commencer par un exemple semblable à celui que nous venons de voir, une figure plane rectangulaire avec un trou rectangulaire.

Trouvez les coordonnées du centre de masse de la figure suivante, qui est dessinée sur une grille de carrés unitaires.

La forme qui nous intéresse est la zone ombrée en vert sur ce graphique ici. Étant donné que la forme est non uniforme car elle comporte un grand trou au milieu, nous devrons la décomposer en plusieurs formes uniformes, puis utiliser la formule du centre de masse. La formule du centre de masse nous permet de calculer les coordonnées du centre de masse d’une collection d’objets en utilisant la masse et l’emplacement de chaque objet. Pour les objets étendus comme les figures à deux dimensions, nous définissons leur emplacement comme leur centre de masse. D’accord, il nous suffit maintenant de trouver les formes qui faciliteront nos calculs. Nous pouvons réellement faire ce calcul en utilisant uniquement deux figures planes si nous utilisons la méthode de la masse négative.

Dans la méthode de la masse négative, nous traitons les figures planes avec des trous comme des figures planes solides avec une masse positive combinée avec une figure plane de la forme du trou, mais avec une masse négative. Lorsque nous complétons la figure plane à masse négative à la figure plane à masse positive, les masses positive et négative s’annulent, ce qui nous donne le résultat effectif d’une masse nulle ou d’un trou. Nous trouvons ensuite le centre de masse de ces deux figures planes, la masse positive et la masse négative, en utilisant exactement la même formule du centre de masse. Pour appliquer la méthode de la masse négative à notre figure, nous allons commencer par une figure plane à masse positive ayant le même périmètre que le périmètre extérieur de la figure qui nous intéresse. Pour considérer le trou, nous allons ensuite inclure une figure plane avec une masse négative avec le même périmètre que le périmètre intérieur de notre forme.

Comme nous pouvons le voir, la forme qui nous intéresse est exactement la partie de la figure plane de masse positive qui ne coïncide pas avec la figure plane de masse négative. Avant de nous préoccuper de valeurs particulières pour ces deux masses, trouvons les centres de masse de ces deux figures planes. Rappelons que pour toute figure plane rectangulaire uniforme, le centre de masse est exactement au point de rencontre des deux diagonales. Donc, pour trouver les centres de masse de ces deux figures planes, nous allons simplement tracer les diagonales. Ici, nous avons dessiné les deux diagonales de la figure plane de masse positive, et elles se croisent ici. Lorsque nous incluons les diagonales de la figure plane à masse négative, nous voyons qu’elles se croisent exactement au même point. Donc, ces deux figures planes ont le même centre de masse.

Chaque fois que nous combinons deux objets et que ces deux objets ont le même centre de masse, la combinaison résultante a également ce centre de masse. Nous pouvons le voir mathématiquement en notant que si tous les 𝑥 indice 𝑖 ont la même valeur, appelons-la 𝑥, alors le numérateur est juste 𝑥 fois le dénominateur. Et 𝑥 fois quelque chose divisé par ce quelque chose est 𝑥. D’accord, le centre de masse est ce point central ici. Il s’agit de quatre unités et demi le long de l’axe des 𝑥 et exactement de quatre unités sur l’axe des y. Quatre et un demi font neuf demis. Ainsi, le centre de masse de cette figure est situé à neuf demis, quatre. La facilité avec laquelle nous avons trouvé cette réponse montre la puissance de la méthode de la masse négative. Non seulement nous avons pu trouver les centres de masse entièrement sous forme graphique, mais nous n’avons même pas eu besoin de placer des valeurs dans la formule du centre de masse pour obtenir la réponse.

Voyons un autre exemple où nous allons effectuer une procédure similaire, mais cette fois, nous utilisons la formule pour calculer le centre de masse.

La figure montre une figure plane uniforme 𝐴𝐵𝐶 à partir de laquelle un triangle 𝐺𝐵𝐶 a été découpé. 𝐴𝐵𝐶 était un triangle équilatéral avec une longueur de côté de 93 centimètres et un centre de masse 𝐺. Trouvez les coordonnées du nouveau centre de masse de la figure plane résultante. Arrondissez votre réponse à deux décimales si nécessaire.

L’énoncé fait référence à cette figure plane en forme de flèche formée à partir du triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 avec le triangle 𝐺𝐵𝐶 découpé. L’information spécifique qui nous est donnée est que 𝐴𝐵𝐶 a une distribution de masse uniforme, sa longueur de côté est de 93 centimètres et 𝐺 est son centre de masse. Puisque nous cherchons le centre de masse de cette forme résultante et qu’on nous a dit explicitement qu’il s’agissait d’un triangle équilatéral avec 𝐺𝐵𝐶 découpé, cela suggère que nous devrions utiliser la méthode de la masse négative. Pour utiliser la méthode de la masse négative, nous commençons par ce diagramme qui montre le triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 en orange et le triangle 𝐺𝐵𝐶 en magenta.

En séparant cela en deux parties, nous avons la figure plane originale 𝐴𝐵𝐶 et la figure plane 𝐵𝐺𝐶 qui représente la partie découpée. La figure plane uniforme 𝐴𝐵𝐶 est un objet régulier, donc sa masse est positive. Cependant, comme la combinaison de 𝐺𝐵𝐶 et 𝐴𝐵𝐶 donne une figure plane sans masse en bas, 𝐴𝐵𝐶 a clairement une masse et 𝐺𝐵𝐶 doit avoir une masse négative car négatif plus positif donne zéro. Nous trouvons le centre de masse résultant comme nous trouverions le centre de masse de deux couches quelconques. C’est juste que l’une de ces figures planes a maintenant un nombre négatif au lieu d’un nombre positif pour sa masse. C’est pourquoi nous l’appelons la méthode de la masse négative.

Nous devons maintenant trouver la masse et l’emplacement du centre de masse de ces deux figures planes. Puisque ces couches sont uniformes, nous pouvons exprimer leur masse totale comme leur aire fois une constante, qui est la masse par unité d’aire du matériau. Pour la figure plane à masse positive, nous avons besoin de l’aire du triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶. D’après le diagramme, nous savons que la longueur de la base est de 93 centimètres et que la hauteur est la longueur de la ligne pointillée bleue, qui passe par les points 𝐴 et 𝐺. Parce que cette ligne pointillée est une hauteur, elle est perpendiculaire à la ligne 𝐵𝐶. De plus, comme 𝐴𝐵𝐶 est équilatéral, cet angle au point 𝐵 est de 60 degrés. Ainsi, le triangle formé par 𝐴𝐵 et le point où la hauteur croise le côté 𝐵𝐶 est un triangle rectangle de dimensions 30-60-90.

Soit directement en utilisant la trigonométrie, soit en utilisant des faits concernant les triangles rectangles de dimensions 30-60-90, puisque l’hypoténuse de ce triangle est de 93 centimètres, la hauteur doit être 93 fois la racine carrée de trois divisée par deux. Nous calculerons en fait une valeur définie pour cela plus tard, mais pour l’instant, appelons-la 𝑎. Ainsi, le triangle 𝐴𝐵𝐶 a une base de 93 et une hauteur de 𝑎. Son aire, une demi de la base fois sa hauteur, est donc un demi de 93 𝑎. Si nous appelons la densité uniforme constante 𝑚, alors un demi fois 93 fois 𝑎 est l’aire de 𝐴𝐵𝐶, et un demi de 93𝑎 fois 𝑚 est la masse totale de la figure plane 𝐴𝐵𝐶.

Qu’en est-il de 𝐺𝐵𝐶? Eh bien, rappelez-vous que 𝐺 est le centre de masse du triangle équilatéral. Pour tout triangle uniforme, le centre de masse est le tiers de l’une des médianes. Dans tout triangle collatéral, la médiane qui relie tout sommet au milieu du côté opposé est également la hauteur du triangle. Ainsi, la distance entre le milieu de 𝐵𝐶 et le point 𝐺 est un tiers de la hauteur totale du triangle 𝐴𝐵𝐶. Mais nous savons quelle est cette valeur; nous l’avons appelée 𝑎. La hauteur de 𝐵𝐺𝐶 est donc un tiers de 𝑎. 𝐵𝐺𝐶 et 𝐴𝐵𝐶 ont la même base. L’aire de 𝐵𝐺𝐶 est donc la moitié de 93 fois le tiers de 𝑎. Maintenant, rappelez-vous, 𝐵𝐺𝐶 doit avoir une masse négative mais avoir le même type de distribution de masse que 𝐴𝐵𝐶. La densité de 𝐵𝐺𝐶 sera donc moins 𝑚.

Réarrangeons notre expression pour la masse de 𝐵𝐺𝐶 en factorisant le moins un et le facteur un tiers. Ainsi écrit, nous voyons que la masse de 𝐵𝐺𝐶 est moins un tiers de la masse de 𝐴𝐵𝐶. Le facteur moins un tiers est présent parce que 𝐴𝐵𝐶 a trois fois l’aire de 𝐵𝐺𝐶 et que la masse de 𝐵𝐺𝐶 est négative. Juste pour nous faciliter la vie et libérer de l’espace, appelons la moitié de 93 fois 𝑎 fois 𝑚, 𝑀 majuscule ; la masse de 𝐴𝐵𝐶 est donc M majuscule et la masse de 𝐵𝐺𝐶 moins un tiers fois M majuscule.

Maintenant que nous connaissons les masses, trouvons les centres de masses de 𝐴𝐵𝐶 et 𝐵𝐺𝐶. Nous savons que le centre de masse de 𝐴𝐵𝐶 est situé au point 𝐺. Et nous avons déjà déterminé la coordonnée 𝑦 du point 𝐺; c’est un tiers de 𝑎. 𝐺 se situe le long de la hauteur de 𝐴𝐵𝐶. Et nous savons que cette hauteur est également une médiane et donc coupe l’axe des 𝑥 à mi-chemin entre 𝐵 et 𝐶. Bien, puisque la longueur de 𝐵𝐶 est 93, la moitié est donc 46,5. Ainsi, les coordonnées du point 𝐺 sont 46,5, un tiers de 𝑎. Pour le triangle 𝐵𝐺𝐶, notez que 𝐵𝐺𝐶 est un triangle isocèle. Nous pouvons le voir parce que la droite en pointillés est la médiatrice de 𝐵𝐶. Ainsi, tout point de cette médiatrice, y compris le point 𝐺, est à égale distance du point 𝐵 et du point 𝐶. Les côtés 𝐵𝐺 et 𝐺𝐶 sont donc congruents, et 𝐵𝐺𝐶 est donc isocèle.

Dans un triangle isocèle, la hauteur tirée du sommet entre les deux côtés congruents est également une médiane, comme dans le triangle équilatéral. Mais cela signifie que la hauteur de 𝐵𝐺𝐶, qui est la ligne pointillée que nous avons déjà tracée, est également une médiane. Puisque le centre de masse est exactement un tiers de la médiane, le centre de masse de 𝐵𝐺𝐶 est juste ici. Bien que nous ayons seulement estimé l’emplacement de ce point sur la figure, nous pouvons toujours trouver son emplacement exact. Il est sur la même droite verticale que 𝐺, donc sa coordonnée 𝑥 est également de 46,5. La coordonnée 𝑦 est un tiers de la hauteur de 𝐵𝐺𝐶, et la hauteur de 𝐵𝐺𝐶 est un tiers de 𝑎. Ainsi, la coordonnée 𝑦 est un tiers d’un tiers, c’est à dire un neuvième de 𝑎.

Maintenant, nous connaissons la masse et le centre de masse de 𝐵𝐺𝐶 et de 𝐴𝐵𝐶. Pour utiliser ces informations pour trouver ce que nous recherchons, nous pouvons utiliser la formule du centre de masse pour trouver chaque coordonnée du centre de masse résultant de la combinaison de 𝐴𝐵𝐶 et 𝐵𝐺𝐶. Pour chaque coordonnée, nous plaçons la masse et la coordonnée correspondante du centre de masse pour chacune de nos figures planes dans le numérateur et la masse de chaque figure plane dans le dénominateur. Commençons par la coordonnée 𝑦. La masse de 𝐴𝐵𝐶 est 𝑀 et la coordonnée 𝑦 du centre de masse est un tiers de 𝑎. Le premier terme de la somme de notre numérateur est donc 𝑀 fois un tiers de 𝑎. Le deuxième terme du numérateur est moins un tiers de 𝑀 fois un neuvième de 𝑎, ce qui correspond à la masse de 𝐵𝐺𝐶 fois la coordonnée 𝑦 de son centre de masse.

Le dénominateur est la somme des deux masses, 𝑀 plus moins un tiers de 𝑀. Pour commencer à simplifier cette fraction, notons que les deux termes du numérateur ont un 𝑀, un un tiers et un 𝑎. Nous allons donc factoriser un tiers fois 𝑀 fois 𝑎 sur ces deux termes. Au dénominateur, 𝑀 plus moins un tiers de 𝑀 est juste deux tiers de 𝑀. Nous avons donc un tiers fois 𝑀 fois 𝑎 fois un moins un neuvième, le tout divisé par deux tiers de 𝑀. 𝑀 divisé par 𝑀 est un et un tiers au numérateur divisé par deux tiers au dénominateur ne laisse que deux au dénominateur. Au numérateur, un moins un neuvième est huit neuvièmes. Nous avons donc 𝑎 fois huit neuvièmes divisé par deux.

Notez que la valeur réelle de la masse de 𝐴𝐵𝐶 n’est pas prise en compte dans ce calcul car la seule chose importante est la masse relative de 𝐴𝐵𝐶 et 𝐵𝐺𝐶 pas leurs masses absolues. Huit neuf neuvièmes divisé par deux est quatre neuvièmes. Donc, 𝑎 fois huit neuvièmes divisé par deux est quatre neuvièmes fois 𝑎. En utilisant notre définition de 𝑎, nous obtenons que la coordonnée 𝑦 du centre de masse de notre nouvelle figure plane est quatre neuvièmes fois 93 fois la racine carrée de trois divisée par deux. Si nous utilisons une calculatrice, nous obtenons 35,7957 et plusieurs autres décimales. On nous demande d’arrondir à deux décimales et la troisième décimale est cinq. Nous ajoutons donc un à la deuxième décimale, qui est neuf. Un plus neuf est 10, donc 35,7957 et cetera s’arrondit à 35,80.

Pour trouver la coordonnée 𝑥 du centre de masse, au lieu de recommencer tout ce calcul, nous notons que la coordonnée 𝑥 du centre de masse pour 𝐴𝐵𝐶 et 𝐵𝐺𝐶 est la même. Cela signifie que lorsque nous les combinons, nous ne changeons pas la coordonnée 𝑥 du centre de masse. Ainsi, la coordonnée 𝑥 du centre de masse de notre figure plane résultante sera également de 46,5. Donc, en arrondissant comme indiqué, nous constatons que le centre de masse de notre nouvelle figure plane est de 46,5 virgule 35,80.

Bon, maintenant que nous avons vu quelques exemples, passons en revue ce que nous avons appris sur la méthode de la masse négative. Dans cette vidéo, nous avons appris comment les figures planes régulières avec des trous ou d’autres formes coupées peuvent être traitées comme deux ou plusieurs figures planes uniformes avec des formes régulières aussi longtemps que nous permettons aux figures planes représentant le trou d’avoir une masse négative. Cela garantit que lorsque nous le combinons avec la figure plane totalement uniforme à masse positive, nous obtenons un trou de masse nulle, exactement là où nous sommes censés l’avoir. Même s’il n’y a pas d’objets de masse négative dans le monde réel, mathématiquement, les valeurs de masse négatives sont tout aussi valables que les valeurs de masse positives. Cela signifie que nous pouvons les utiliser dans des choses comme notre formule du centre de masse. Donc, trouver le centre de masse de cette figure plane non uniforme se réduit au problème beaucoup plus facile de combiner deux figures planes uniformes aussi longtemps que nous permettons à une de ces figures planes d’avoir une masse négative.

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