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Laquelle des expressions suivantes a la même valeur que la racine cubique de 729𝑚 puissance 12 𝑛 puissance 21 ? Option (A) la longueur du côté d’un carré dont l’aire est de 729𝑚 puissance 12 𝑛 puissance 21. Option (B) la longueur du côté d’un cube dont le volume est de 729𝑚 puissance 12 𝑛 puissance 21. Option (C) l’expression 243𝑚 puissance quatre 𝑛 puissance sept. Ou option (D) l’expression 729𝑚 puissance 12 𝑛 puissance 21.
Commençons par regarder cette expression plutôt longue, qui a une racine 𝑛-ième, plus précisément une racine cubique. En fait, nous pouvons considérer cette expression comme la racine cubique de chacun des facteurs sous la racine. Nous pouvons dire cela grâce à cette règle sur les puissances, qui dit que pour toutes valeurs réelles de la racine 𝑛-ième de 𝑎 et de la racine 𝑛ième de 𝑏, nous pourrions dire que la racine 𝑛-ième de 𝑎 multipliée par la racine 𝑛-ième de 𝑏 est égale à la racine 𝑛-ième de 𝑎𝑏. Nous pouvons également appliquer cela dans l’autre sens. Autrement dit, nous pouvons dire que la racine 𝑛-ième de 𝑎𝑏 doit être égale à la racine 𝑛-ième de 𝑎 multipliée par la racine 𝑛-ième de 𝑏.
Dans ce problème, on peut donc dire que l’expression dans la question est égale à la racine cubique de 729 fois la racine cubique de 𝑚 puissance 12 fois la racine cubique de 𝑛 puissance 21. Nous pouvons alors prendre chaque facteur dans le membre de droite et le calculer. 729 n’est peut-être pas l’un des cubes parfaits les plus habituels que nous connaissions, mais en fait la racine cubique de 729 vaut neuf. Ensuite, afin de calculer la racine cubique de 𝑚 puissance 12, nous devrons utiliser quelques règles relatives aux puissances.
Rappelons d’abord que nous pouvons écrire la racine 𝑛-ième de 𝑎 comme 𝑎 puissance un sur 𝑛. Et donc la racine cubique de 𝑚 puissance 12 est équivalente à 𝑚 puissance 12 à la puissance un tiers. Et en fait, nous pouvons simplifier encore plus. Utilisons la règle selon laquelle 𝑥 puissance 𝑎 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 puissance 𝑎𝑏. Cela signifie que nous pouvons multiplier les exposants 12 et un tiers. 12 fois un tiers vaut quatre. Et ainsi le deuxième terme sur le membre de droite s’écrit simplement 𝑚 puissance quatre. Nous pouvons effectuer la même démarche afin de simplifier la racine cubique de 𝑛 puissance 21. En écrivant la racine cubique sous forme fractionnaire, nous avons 𝑛 puissance 21 à la puissance un tiers. Ensuite, en multipliant les exposants 21 et un tiers, nous obtenons sept.
On peut alors écrire neuf fois 𝑚 puissance quatre fois 𝑛 puissance sept sous forme simplifiée, cela devient neuf 𝑚 puissance quatre 𝑛 puissance sept. Mais nous pouvons remarquer que cette réponse ne ressemble pas vraiment à l’une des options pour les réponses qui nous ont été données. Cependant, nous pouvons certainement éliminer les réponses de l’option (C) et de l’option (D) car aucune de ces expressions n’équivaut à l’expression que nous avons mis en évidence. En fait, avez-vous remarqué l’erreur classique dans l’option (C) ? La valeur de 243 provient du calcul incorrect un tiers de 729 au lieu de calculer sa racine cubique. L’expression incorrecte dans l’option (D) est simplement l’expression qui se trouvait sous la racine cubique dans la question. Ces deux expressions ne sont pas équivalentes.
Regardons de plus près l’option (A), selon laquelle l’expression dans la question correspond à la longueur du côté d’un carré dont l’aire est 729𝑚 puissance 12 𝑛 puissance 21. Nous devons nous rappeler que si nous avons un carré de côté de longueur 𝑙, alors son aire vaut 𝑙 au carré. Cela signifie que si on nous donnait l’aire d’un carré et que nous voulions calculer la longueur de son côté, nous prendrions la racine carrée de l’aire. Cela signifie que si nous avions un carré d’aire cette aire donnée, alors pour trouver la longueur de son côté, nous prendrions la racine carrée. Et bien sûr, dans la question, nous n’avions pas la racine carrée de cette expression. Nous avions sa racine cubique. Par conséquent, nous pouvons éliminer la réponse de l’option (A).
Cela nous laisse avec l’option restante. Alors vérifions que c’est bien la bonne. Cette option dit que l’expression qui nous a été donnée dans la question est la longueur du côté d’un cube dont le volume vaut 729𝑚 puissance 12 𝑛 puissance 21. Rappelons-nous comment nous calculerions le volume d’un cube de côté de longueur 𝑙. Parce que c’est un cube, nous savons que tous les côtés auront la même longueur. Par conséquent, le volume est égal à 𝑙 au cube. Bien sûr, si on nous donnait le volume et que nous voulions calculer la longueur du côté, nous prendrions la racine cubique du volume.
Et donc si nous avions un cube avec un volume de 729𝑚 puissance 12 𝑛 puissance 21, alors la longueur d’un côté serait en effet la racine cubique de 729𝑚 puissance 12 𝑛 puissance 21. Nous avons donc confirmé que la réponse donnée dans l’option (B) est la bonne.
