Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à simplifier des expressions algébriques, et à résoudre des équations algébriques impliquant des racines 𝑛-ièmes, où 𝑛 est un entier positif supérieur ou égal à 2. La racine 𝑛-ième est une opération mathématique très importante. Elle est la réciproque de l’opération de puissance pour un exposant 𝑛. On la définit formellement en disant que la racine 𝑛-ième d’un nombre 𝑥, où 𝑛 est un entier positif, est un nombre qui est égal à 𝑥 lorsqu’il est élevé à la puissance n. En d’autres termes, si on définit cette racine 𝑛-ième égale à 𝑦, on peut dire que 𝑥 est égal à 𝑦 puissance 𝑛. La racine 𝑛-ième est alors notée comme ceci. 𝑦 égale racine 𝑛-ième de 𝑥.
Maintenant, bien que cela sorte du cadre de cette vidéo, il est intéressant de savoir que la racine n-ième de 𝑥 peut être écrite de manière équivalente par 𝑥 puissance un sur 𝑛. Et cela est vraiment utile car on peut s’en servir pour comprendre comment les lois des puissances que nous connaissons déjà peuvent s’appliquer aux expressions impliquant des racines. La première de ces propriétés concerne la multiplication de racines. Elle stipule que lorsque la racine 𝑛-ième de 𝑎 et la racine 𝑛-ième de 𝑏 sont définies et réelles, alors la racine 𝑛-ième de 𝑎 fois 𝑏 est également définie. Et on a racine 𝑛-ième de 𝑎 fois racine 𝑛-ième de 𝑏 égale racine 𝑛-ième de 𝑎 fois 𝑏.
De même, le quotient de racine 𝑛-ième de 𝑎 sur racine 𝑛-ième de 𝑏, à condition que racine 𝑛-ième de 𝑏 soit différent de zéro, est égal à racine 𝑛-ième de 𝑎 sur 𝑏. Les quatre propriétés suivantes doivent ensuite être étudiées avec attention. Tout d’abord, si 𝑛 est un entier impair, alors racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance n est égale à racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance 𝑛, qui est simplement égal à 𝑎. Si 𝑛 est cependant pair et 𝑎 est supérieur ou égal à zéro, alors racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance n est aussi égale à 𝑎. Mais si n est pair et 𝑎 est inférieur à zéro, alors racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance n n’est pas défini dans l’ensemble des nombres réels.
La dernière propriété nous indique quoi faire si 𝑛 est pair et 𝑎 est un nombre réel quelconque. Elle stipule que la racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance n est égale à valeur absolue de 𝑎. Et vous commencez peut-être à vous demander ce qu’il se passe exactement lorsque 𝑛 est pair. Nous verrons tout cela un peu plus en détails dans un moment. Commençons donc par un exemple très simple dans lequel nous devons utiliser ces propriétés pour simplifier une expression impliquant une racine 𝑛-ième.
Simplifiez racine cubique de 64 fois 𝑚 au cube.
Afin de pouvoir simplifier cette expression impliquant une racine 𝑛-ième, où 𝑛 est ici égal à trois, nous allons rappeler une des propriétés des racines 𝑛-ièmes. Cette propriété concerne la multiplication de deux racines 𝑛-ièmes. Plus précisément, pour des nombres réels 𝑎 et 𝑏 et un entier positif n impair, racine 𝑛-ième de 𝑎 fois racine 𝑛-ième de 𝑏 égale racine 𝑛-ième de 𝑎𝑏. Nous allons appliquer cette propriété en sens inverse. Et cela nous permet de séparer la racine cubique de 64𝑚 au cube en le produit de la racine cubique de 64 et de la racine cubique de 𝑚 au cube.
La propriété suivante qui nous intéresse nous dit que si 𝑛 est un entier impair, ce qui est le cas ici car il est égal à trois, alors racine 𝑛-ième de 𝑎, le tout à la puissance n, est égal à racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance 𝑛, qui est simplement égal à 𝑎. Et c’est une bonne nouvelle. Cela nous permet de simplifier cette partie de l’expression, racine cubique de 𝑚 au cube. Puisque n est égal à trois et donc impair, nous pouvons dire que racine cubique de 𝑚 cube est simplement égale à 𝑚. Et bien sûr, nous connaissons la valeur de la racine cubique de 64. Elle est égale à quatre. Nous pouvons donc remplacer racine cubique de 𝑚 au cube par 𝑚 et racine cubique de 64 par quatre dans l’équation. Cela nous permet de simplifier l’expression d’origine.
On trouve ainsi que racine cubique de 64 fois racine cubique de 𝑚 au cube égale quatre fois 𝑚, soit quatre 𝑚. Et nous avons ainsi simplifié racine cubique de 64𝑚 au cube. Cela est égal à quatre 𝑚.
Dans cet exemple, nous avons étudié ce qui se passe lorsque 𝑛 est un entier impair. Dans le prochain exemple, nous allons voir comment calculer une racine n-ième quand n est pair.
Simplifiez racine carrée de 100𝑥 puissance 16.
Dans cette question, la valeur de 𝑛 de la racine 𝑛-ième n’est pas écrite. Quand c’est le cas, elle est supposée égale à deux, et on la définit alors comme la racine carrée. Nous allons donc simplifier cette expression en appliquant certaines des propriétés des racines 𝑛-ièmes, où 𝑛 est égal à deux. La première propriété que nous allons appliquer permet de calculer le produit de racines 𝑛-ièmes. Elle stipule que lorsque la racine 𝑛-ième de 𝑎 et la racine 𝑛-ième de 𝑏 sont définies et réelles, alors la racine 𝑛-ième de 𝑎 fois 𝑏 est également définie. Et elle est égale à racine 𝑛-ième de 𝑎 fois racine 𝑛-ième de 𝑏. Nous pouvons omettre cette valeur de 𝑛 et dire de manière équivalente que la racine carrée de 𝑎 fois la racine carrée de 𝑏 est égale à la racine carrée de 𝑎𝑏.
On peut alors appliquer cette propriété en sens inverse. Cela nous permet de séparer la racine carrée de 100𝑥 puissance 16 en racine carrée de 100 fois racine carrée de 𝑥 puissance 16. Si vous connaissez vos tables de multiplication, la première partie de cette expression est très facile à évaluer. Racine carrée de 100 est simplement égal à 10. Mais que fait-on de la racine carrée de 𝑥 puissance 16 ? Eh bien, nous allons utiliser la formule qui s’applique lorsque 𝑛 est un entier pair et que 𝑎 est un nombre réel. Elle stipule que la racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance n est égale à valeur absolue de 𝑎.
Pour pouvoir appliquer cette formule, nous devons manipuler un peu ce terme en faisant appel à une des lois des puissances. On peut en effet dire que 𝑥 puissance huit au carré est égal à 𝑥 puissance 16. Nous pouvons donc écrire de manière équivalente la racine carrée de 𝑥 puissance 16 comme la racine carrée de 𝑥 puissance huit au carré. D’après la propriété précédente, on sait que cela est en fait égal à valeur absolue de 𝑥 puissance huit. Nous pouvons maintenant remplacer chaque partie de notre expression précédente par 10 et valeur absolue de 𝑥 puissance huit. Nous avons ainsi simplifié racine carrée de 100𝑥 puissance 16 par 10 valeur absolue de 𝑥 puissance huit.
Mais regardons de plus près cette valeur absolue. La valeur absolue prend une valeur, qui est ici 𝑥 puissance huit, et la rend positive. Mais si 𝑥 est un nombre réel, alors 𝑥 puissance n sera en fait positif si 𝑛 est pair. Dans ce cas, l’exposant huit est pair, donc 𝑥 puissance huit est positif. Il est supérieur ou égal à zéro si 𝑥 est un nombre réel. Cela signifie que les symboles de valeur absolue ne sont en réalité pas nécessaires et que l’on peut donc simplifier davantage notre expression. On trouve alors que racine carrée de 100𝑥 puissance 16 se simplifie par 10 fois 𝑥 puissance huit.
Il est cependant important de souligner qu’il faut faire preuve de prudence lorsque l’on calcule des racines de puissances. Dans l’exemple précédent, nous nous sommes retrouvés avec une racine de degré pair d’une puissance paire. Mais que se passe-t-il si nous devons simplifier quelque chose comme racine carrée de 𝑥 puissance 14 ? On pourrait commencer de la même manière en écrivant 𝑥 puissance 14 comme 𝑥 puissance sept au carré. Cela signifie alors que racine carrée de 𝑥 puissance 14 est égale à racine carrée de 𝑥 puissance sept au carré, qui est alors égal à valeur absolue de 𝑥 puissance sept. Dans ce cas, il faut conserver ces symboles de valeur absolue. Cela garantit que quelle que soit la valeur de 𝑥, le terme sous la racine sera positif. Et que l’on calcule la racine de degré pair d’un nombre positif, qui est donc bien définie.
Jusqu’à présent, nous avons utilisé les propriétés des racines pour exprimer une racine n-ième comme le produit de deux racines 𝑛-ièmes. Il est important de savoir que l’on peut étendre cette propriété pour exprimer une racine comme le produit de trois racines n-ièmes ou plus. Encore une fois, si la racine 𝑛-ième de 𝑎, la racine 𝑛-ième de 𝑏 et la racine 𝑛-ième de 𝑐 sont définies, alors leur produit est égal à racine 𝑛-ième de 𝑎𝑏𝑐, où 𝑛 doit être un entier positif.
Voyons cela avec notre prochain exemple.
Simplifiez racine carrée de 25𝑎 au carré fois 𝑏 puissance six.
Afin de simplifier cette expression, on rappelle que si la racine 𝑛-ième de 𝑎, la racine 𝑛-ième de 𝑏 et la racine 𝑛-ième de 𝑐 sont définies pour un entier positif 𝑛, alors leur produit est égal à racine 𝑛-ième de 𝑎𝑏𝑐. Nous allons appliquer cette propriété en sens inverse pour pouvoir reformuler l’expression d’origine par racine carrée de 25 fois racine carrée de a au carré fois racine carrée de 𝑏 puissance six. Maintenant, on sait que racine carrée de 25 est simplement égal à cinq. Mais que fait-on de racine carrée de 𝑎 au carré et de racine carrée de 𝑏 puissance six ?
Eh bien, puisque nous calculons une racine carrée, il s’agit d’une racine 𝑛-ième où 𝑛 est pair : il est égal à deux. Nous allons donc utiliser la propriété suivante. Si 𝑛 est pair et 𝑎 est un nombre réel, alors racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance n est égal à valeur absolue de 𝑎. On peut donc reformuler racine carrée de 𝑎 au carré par valeur absolue de 𝑎. Pour utiliser cette formule pour racine carrée de 𝑏 puissance six, il faut réécrire 𝑏 puissance six comme 𝑏 au cube au carré, ce qui signifie que racine carrée de 𝑏 au cube au carré est égal à valeur absolue de 𝑏 au cube.
Nous pouvons maintenant remplacer chaque racine carrée par son expression équivalente. Racine carrée de 25 fois racine carrée de 𝑎 au carré fois racine carrée de 𝑏 puissance six est donc égal à cinq fois valeur absolue de 𝑎 fois valeur absolue de 𝑏 au cube. Comme cinq est positif, on peut utiliser les règles de multiplication des valeurs absolues pour reformuler cela par valeur absolue de cinq 𝑎𝑏 au cube. Racine carrée de 25𝑎 au carré 𝑏 puissance six se simplifie donc par valeur absolue de cinq 𝑎𝑏 au cube.
Nous avons ainsi montré comment utiliser les propriétés des racines pour simplifier des expressions. Mais nous devons faire preuve d’autant plus de prudence lorsque nous travaillons sur des équations impliquant des puissances. Considérons par exemple l’équation 𝑦 au carré égale 16. On résout normalement cette équation en prenant la racine carrée des deux membres. Donc, une solution à l’équation est 𝑦 égale racine carrée de 16, soit quatre. Mais si on remplace 𝑦 par moins quatre dans l’expression 𝑦 au carré, on obtient moins quatre au carré, ce qui est aussi égal à plus 16. Il y a donc une deuxième solution à cette équation. Il s’agit de moins quatre. Lorsque l’on résout une équation de cette forme, les solutions doivent donc inclure les racines carrées positives et négatives de 𝑥. Il y a par conséquent une différence très subtile entre les deux affirmations apparemment équivalentes, 𝑦 au carré égale 𝑥 et 𝑦 égale racine carrée de 𝑥.
Essayons de généraliser cela. Considérons l’équation 𝑦 puissance n égale 𝑥, où 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels et 𝑛 est un entier positif. Tout d’abord, si 𝑛 est pair mais 𝑥 est négatif, alors il n’y a pas de solutions réelles à l’équation 𝑦 puissance n égale 𝑥. Cependant, si 𝑛 est pair et 𝑥 est positif, alors les solutions sont 𝑦 égale plus ou moins racine 𝑛-ième de 𝑥. Bien sûr, si 𝑥 est égal à zéro, alors la solution est simplement 𝑦 égale zéro. Si 𝑛 est cependant impair, alors le signe de 𝑥 n’a pas d’importance. Il y aura toujours une solution à l’équation, qui sera 𝑦 égale racine 𝑛-ième de 𝑥.
Comme les équations 𝑦 puissance n égale 𝑥 et 𝑦 égale racine 𝑛-ième de 𝑥 ne sont pas entièrement équivalentes, une autre définition est parfois nécessaire, et c’est celle de la racine 𝑛-ième principale. Avec cette définition, on peut considérer la racine 𝑛-ième comme une fonction qui est injective. Pour cette fonction chaque nombre réel positif a une seule racine n-ième positive : racine 𝑛-ième de x. On appelle cette racine la racine 𝑛-ième principale. Ainsi, pour la racine carrée de quatre par exemple, nous savons que nous ne nous intéressons qu’à deux et non à moins deux parce que nous ne résolvons pas une équation.
Voyons une application des propriétés des racines n-ièmes de degré impair avec le prochain exemple.
Trouvez la ou les valeurs de 𝑥 sachant que 12𝑥 puissance cinq est égal à 384.
Nous allons résoudre cette équation en effectuant une série d’opérations réciproques. On remarque que le 𝑥 puissance cinq est multiplié par 12. Nous allons donc commencer par diviser les deux membres de cette équation par 12. 384 divisé par 12 égale 32. Donc on obtient 𝑥 puissance cinq égale 32. Pour résoudre ensuite cette équation, rappelons ce que nous savons des racines de degré impair. Plus précisément, pour l’équation 𝑦 puissance n égale 𝑥, si 𝑛 est impair, alors il y a exactement une solution à cette équation qui est 𝑦 égale racine 𝑛-ième de 𝑥.
Puisque notre équation est en fonction de 𝑥, on peut échanger les variables. Si 𝑥 puissance n est égal à 𝑦, alors 𝑥 est égal à racine 𝑛-ième de 𝑦. Dans ce cas, 𝑛 est impair car il est égal à cinq. Et il y a donc une seule solution à cette équation. Qui est 𝑥 égale racine cinquième de 32. Mais bien sûr, racine cinquième de 32 est simplement égal à deux. Donc, la solution est 𝑥 égale deux.
Nous allons maintenant étudier un dernier exemple. Nous allons devoir combiner les propriétés des racines 𝑛-ièmes et le théorème des racines de degré pair et impair que nous venons de démontrer. Cela nous permettra de résoudre des équations plus compliquées impliquant des exposants.
Trouvez la ou les valeurs de 𝑥 sachant que 𝑥 plus neuf sur cinq au carré est égal à racine carrée de 144 fois trois au carré.
Nous allons commencer par évaluer le membre droit de cette équation. On peut le reformuler comme racine carrée de 144 fois racine carrée de trois au carré. On rappelle ensuite que si 𝑛 est pair et 𝑎 est un nombre réel, alors racine 𝑛-ième de 𝑎 puissance n est égale à valeur absolue de 𝑎. Et la deuxième partie de cette expression est racine carrée de trois au carré. On peut donc la reformuler par valeur absolue de trois. Et bien sûr, racine carrée de 144 égale 12 ; mais trois est positif. Les symboles de valeur absolue ne sont donc pas nécessaires. Cela nous donne 12 fois trois, ce qui fait 36. Nous pouvons donc réécrire notre équation comme ceci.
Réfléchissons ensuite à ce que nous savons sur la résolution d’équations impliquant des racines de degré pair. Plus précisément, si 𝑛 est pair et 𝑥 est positif, les solutions à l’équation 𝑦 puissance n égale 𝑥 sont x égale plus ou moins racine n-ième de 𝑦. Cela signifie que si on prend ici la racine carrée des deux membres de cette équation, on doit conserver la racine carrée positive et la négative de 36. Et racine carrée de 36 égale six. Notre équation devient donc 𝑥 plus neuf sur cinq égale plus ou moins six.
Donc pour trouver les valeurs de 𝑥 qui vérifient l’équation d’origine, nous allons résoudre deux équations : 𝑥 plus neuf sur cinq égale six et 𝑥 plus neuf sur cinq égale moins six. On commence par multiplier chaque équation par cinq. La première équation devient alors 𝑥 plus neuf égale 30 et la deuxième 𝑥 plus neuf égale moins 30. On soustrait ensuite neuf et on obtient 𝑥 égale 21 ou 𝑥 égale moins 39. Et nous avons ainsi trouvé les valeurs de 𝑥 solutions à l’équation. Si nous remplacions alors une de ces valeurs dans cette équation, elle serait vérifiée. Nous concluons donc que les solutions à cette équation sont 𝑥 égale 21 et 𝑥 égale moins 39.
Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris que la racine 𝑛-ième de 𝑥, où 𝑛 est un entier positif, est un nombre 𝑦 tel que 𝑥 égale 𝑦 puissance n. Et on la note comme ceci. Nous avons appris la définition de la racine 𝑛-ième principale et nous avons expliqué que chaque nombre réel positif a une seule racine 𝑛-ième appelée racine principale. Nous avons appris à étendre les lois des puissances pour travailler sur des racines 𝑛-ièmes. Cela nous a permis de calculer des racines 𝑛-ièmes à la puissance n lorsque 𝑛 est impair. Nous avons de plus vu que trois situations sont possibles si 𝑛 est pair. Enfin, nous avons montré qu’il faut faire preuve d’une grande prudence lorsque l’on résout des équations de la forme 𝑦 puissance 𝑛 égale 𝑥.