Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à simplifier des expressions algébriques, et à résoudre des équations algébriques impliquant des racines 𝑛-ièmes, où est un entier positif supérieur ou égal à 2.
La racine est une opération mathématique importante qui décrit la réciproque de l’opération de puissance avec un exposant . Commençons par fournir une définition formelle de la racine .
Définition : Racine 𝑛-ième
La racine d’un nombre , où est un entier positif, est un nombre qui, lorsqu’il est élevé à la puissance, donne . On peut définir ce nombre comme , tel que
La racine est donnée par .
Notez que la racine de peut être notée de manière équivalente par . Exprimer la racine en utilisant cette notation dépasse le cadre de cette fiche explicative, mais si vous la connaissez déjà, elle peut être un outil utile pour comprendre comment les règles des exposants peuvent être appliquées aux expressions impliquant des racines.
Théorème : Propriétés des racines 𝑛-ièmes
- Quand et sont définis et sont des nombres réels, alors est également définie telle que
- Si , alors on a également
- Quand est un entier impair,
- Quand est un entier pair et ,
- Quand est un entier pair et ,
- Quand est un entier pair et ,
Dans les deux premiers exemples, nous allons montrer comment appliquer des combinaisons de ces propriétés pour simplifier une expression impliquant une racine.
Exemple 1: Simplifier une expression algébrique impliquant des exposants et une racine cubique
Simplifiez .
Réponse
On rappelle que pour des nombres réels positifs et et un entier positif ,
En appliquant cette propriété dans l’autre sens, on peut réécrire comme
On sait ensuite que pour un entier impair ,
Par conséquent,
De même, comme ,
En combinant ces expressions, on obtient
Exemple 2: Simplifier une expression algébrique impliquant des exposants et une racine carrée
Simplifiez .
Réponse
Quand une racine de la forme est notée sans mention à , on suppose que . Cela signifie que l’on peut simplifier en appliquant la propriété de la racine avec ,
Donc,
Enfin, en écrivant comme et en utilisant la propriété pour pair, on peut simplifier comme suit :
Par conséquent,
On doit être prudent lorsque l’on recherche des puissances de racines telles que ou . Dans l’exemple précédent, on a montré que . Comme il s’agissait d’une puissance paire à l’intérieur d’une racine paire, l’opération était définie pour toutes les valeurs réelles de . Si on souhaitait cependant simplifier , on devrait effectuer les étapes suivantes :
Dans ce cas, à l’intérieur de la racine carrée agit en premier, assurant que le radicande est positif pour toutes les valeurs de . Cela signifie que l’on ne peut pas prendre la racine paire d’un nombre négatif et donc que la fonction résultante ne peut produire que des valeurs positives. Comme est négatif pour des valeurs de , on doit inclure la valeur absolue lors de la simplification comme indiqué ci-dessus.
Dans les deux exemples précédents, nous avons utilisé une propriété des racines pour exprimer une racine comme le produit de deux uniques racines 𝑛-ièmes. Il est important de réaliser que nous pouvons étendre cette propriété pour exprimer une racine comme le produit de trois ou plus racines 𝑛-ièmes pour simplifier une expression. En d’autres termes, pour des nombres réels positifs , et et un entier positif ,
Exemple 3: Simplifier une expression algébrique à plusieurs variables impliquant des exposants et une racine carrée
Écrivez sous sa forme la plus simple.
Réponse
On rappelle que pour des nombres réels positifs , et et un entier positif ,
Comme est équivalent à , on peut le reformuler comme suit :
Ensuite, en utilisant la propriété pour pair, on peut écrire
De même, peut être écrite comme , donc
Cela signifie que . Comme , et que le produit de valeurs absolues est la valeur absolue du produit,
Dans les exemples précédents, nous avons montré comment utiliser les propriétés des racines pour simplifier des expressions. On considère maintenant une équation impliquant des exposants,
On trouve une solution à cette équation en prenant la racine carrée,
Cependant, si on substitue dans l’expression , on obtient . Cela signifie que est aussi une solution à l’équation . Par conséquent, lors de la résolution d’une équation de la forme , les solutions incluent à la fois les racines carrées positive et négative de . Cela donne lieu à une différence subtile entre les deux affirmations apparemment équivalentes pour l’entier ,
On peut généraliser ce concept pour des racines 𝑛-ièmes où est un nombre pair.
Théorème : Racines 𝑛-ièmes paires et impaires
On considère l’équation pour des nombres réels et et un entier positif . Les solutions suivantes sont vraies :
| pair | impair | |
|---|---|---|
| Il n’y a pas de solution réelle à l’équation. | Il y a une solution, . | |
| Les solutions à l’équation sont . |
Nous avons vu que nous interprétons les affirmations et différemment. Cela donne lieu à une définition supplémentaire, celle de la racine principale. Cela nous permet de considérer une racine comme une fonction qui est par définition injective.
Définition : Racine 𝑛-ième principale
Chaque nombre réel positif a une seule racine positive et définie comme . On l’appelle la racine principale.
Montrons une application des propriétés des racines 𝑛-ièmes paires et impaires dans l’exemple suivant.
Exemple 4: Simplifier et résoudre une équation impliquant une racine 𝑛-ième
Déterminez la (les) valeur (s) de si .
Réponse
Pour résoudre cette équation, on applique une série d’opérations réciproques. On commence par diviser les deux membres par 12 :
Ensuite, on rappelle que pour une équation , des nombres réels et et un entier positif ,
- si est pair, les solutions de l’équation sont ;
- si est impair, il y a une seule solution, .
Comme est impair, il y a une seule solution à cette équation, donnée par .
Par conséquent, .
En combinant les propriétés des racines 𝑛-ièmes et ce théorème, nous sommes capables de résoudre des équations plus compliquées impliquant des exposants. Montrons cela avec un dernier exemple.
Exemple 5: Simplifier et résoudre une équation impliquant une racine 𝑛-ième
Déterminez la (les) valeur (s) de sachant que .
Réponse
On commence par évaluer le membre droit de cette équation. Comme 144 et sont deux carrés parfaits, on peut facilement trouver la racine carrée principale de leur produit, qui est
Ensuite, on rappelle que pour une équation , des nombres réels et et un entier positif , si est pair, les solutions à l’équation sont . Comme l’expression sur le membre gauche de l’équation a un exposant pair , on doit prendre la racine carrée positive et négative de 36.
C’est-à-dire,
Pour trouver les solutions à ces deux équations, on multiplie les deux membres par 5 puis on soustrait 9 :
Par conséquent, les solutions sont et .
Terminons par récapituler certains concepts clés de cette fiche explicative.
Points clés
- La racine (ou radical) d’un nombre , où est un entier positif, est un nombre qui, lorsqu’il est élevé à la puissance, donne . On peut définir ce nombre comme , tel que
- La racine est donnée par .
- Chaque nombre réel positif a une seule racine positive et définie par . On l’appelle la racine principale.
- Quand et sont définis et sont des nombres réels, est également défini telle que
- Si , alors on a également
- Quand est un entier impair,
- Quand est un entier pair et ,
- Quand est un entier pair et ,
- Quand est un entier pair et ,
- Les solutions à l’équation pour des nombres réels et et un entier positif sont les suivantes :
pair impair Il n’y a pas de solution réelle à l’équation. Il y a une solution,
.Les solutions à l’équation sont .
