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Fiche explicative de la leçon : Racines 𝑛-ièmes : expressions et équations Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à simplifier des expressions algébriques, et à résoudre des équations algébriques impliquant des racines 𝑛-ièmes, où 𝑛 est un entier positif supérieur ou égal à 2.

La racine 𝑛-ième est une opération mathématique importante qui décrit la réciproque de l’opération de puissance avec un exposant 𝑛. Commençons par fournir une définition formelle de la racine 𝑛-ième.

Définition : Racine 𝑛-ième

La racine 𝑛-ième d’un nombre 𝑥, 𝑛 est un entier positif, est un nombre qui, lorsqu’il est élevé à la 𝑛-ième puissance, donne 𝑥. On peut définir ce nombre comme 𝑦, tel que 𝑥=𝑦.

La racine 𝑛-ième est donnée par 𝑦=𝑥.

Notez que la racine 𝑛-ième de 𝑥 peut être notée de manière équivalente par 𝑥. Exprimer la racine 𝑛-ième en utilisant cette notation dépasse le cadre de cette fiche explicative, mais si vous la connaissez déjà, elle peut être un outil utile pour comprendre comment les règles des exposants peuvent être appliquées aux expressions impliquant des racines.

Théorème : Propriétés des racines 𝑛-ièmes

  • Quand 𝑎 et 𝑏 sont définis et sont des nombres réels, alors 𝑎𝑏 est également définie telle que 𝑎𝑏=𝑎𝑏.
  • Si 𝑏0, alors on a également 𝑎𝑏=𝑎𝑏.
  • Quand 𝑛 est un entier impair, 𝑎=𝑎=𝑎.
  • Quand 𝑛 est un entier pair et 𝑎0, 𝑎=𝑎.
  • Quand 𝑛 est un entier pair et 𝑎<0, 𝑎.nestpasdénisur
  • Quand 𝑛 est un entier pair et 𝑎, 𝑎=|𝑎|.

Dans les deux premiers exemples, nous allons montrer comment appliquer des combinaisons de ces propriétés pour simplifier une expression impliquant une racine.

Exemple 1: Simplifier une expression algébrique impliquant des exposants et une racine cubique

Simplifiez 64𝑚.

Réponse

On rappelle que pour des nombres réels positifs 𝑎 et 𝑏 et un entier positif 𝑛, 𝑎𝑏=𝑎𝑏.

En appliquant cette propriété dans l’autre sens, on peut réécrire 64𝑚 comme 64𝑚=64𝑚.

On sait ensuite que pour un entier impair 𝑛, 𝑎=𝑎=𝑎.

Par conséquent, 𝑚=𝑚.

De même, comme 64=4, 64=4=4.

En combinant ces expressions, on obtient 64𝑚=4𝑚.

Exemple 2: Simplifier une expression algébrique impliquant des exposants et une racine carrée

Simplifiez 100𝑥.

Réponse

Quand une racine de la forme 𝑥 est notée sans mention à 𝑛, on suppose que 𝑛=2. Cela signifie que l’on peut simplifier 100𝑥 en appliquant la propriété de la racine 𝑛-ième avec 𝑛=2 , 𝑎𝑏=𝑎𝑏.

Donc, 100𝑥=100𝑥=10𝑥.

Enfin, en écrivant 𝑥 comme 𝑥 et en utilisant la propriété 𝑥=𝑥 pour 𝑛 pair, on peut simplifier 𝑥 comme suit:𝑥=(𝑥)=𝑥.

Par conséquent, 100𝑥=10𝑥.

On doit être prudent lorsque l’on recherche des puissances de racines telles que 𝑥 ou 𝑥. Dans l’exemple précédent, on a montré que (𝑥)=𝑥. Comme il s’agissait d’une puissance paire à l’intérieur d’une racine paire, l’opération était définie pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Si on souhaitait cependant simplifier 𝑥, on devrait effectuer les étapes suivantes:𝑥=(𝑥)=||𝑥||.

Dans ce cas, 𝑥 à l’intérieur de la racine carrée agit en premier, assurant que le radicande est positif pour toutes les valeurs de 𝑥. Cela signifie que l’on ne peut pas prendre la racine paire d’un nombre négatif et donc que la fonction résultante ne peut produire que des valeurs positives. Comme 𝑥 est négatif pour des valeurs de 𝑥<0, on doit inclure la valeur absolue lors de la simplification comme indiqué ci-dessus.

Dans les deux exemples précédents, nous avons utilisé une propriété des racines pour exprimer une racine 𝑛-ième comme le produit de deux uniques racines 𝑛-ièmes. Il est important de réaliser que nous pouvons étendre cette propriété pour exprimer une racine comme le produit de trois ou plus racines 𝑛-ièmes pour simplifier une expression. En d’autres termes, pour des nombres réels positifs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et un entier positif 𝑛, 𝑎𝑏𝑐=𝑎𝑏𝑐.

Exemple 3: Simplifier une expression algébrique à plusieurs variables impliquant des exposants et une racine carrée

Écrivez 25𝑎𝑏 sous sa forme la plus simple.

Réponse

On rappelle que pour des nombres réels positifs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et un entier positif 𝑛, 𝑎𝑏𝑐=𝑎𝑏𝑐.

Comme 25𝑎𝑏 est équivalent à 25𝑎𝑏, on peut le reformuler comme suit:25𝑎𝑏=25𝑎𝑏=5𝑎𝑏.

Ensuite, en utilisant la propriété 𝑥=|𝑥| pour 𝑛 pair, on peut écrire 𝑎=|𝑎|.

De même, 𝑏 peut être écrite comme 𝑏, donc 𝑏=(𝑏)=||𝑏||.

Cela signifie que 25𝑎𝑏=5|𝑎|||𝑏||. Comme 5>0, 5=|5| et que le produit de valeurs absolues est la valeur absolue du produit, 25𝑎𝑏=||5𝑎𝑏||.

Dans les exemples précédents, nous avons montré comment utiliser les propriétés des racines pour simplifier des expressions. On considère maintenant une équation impliquant des exposants, 𝑦=16.

On trouve une solution à cette équation en prenant la racine carrée, 𝑦=16=4.

Cependant, si on substitue 𝑦=4 dans l’expression 𝑦, on obtient (4)=16. Cela signifie que 𝑦=4 est aussi une solution à l’équation 𝑦=16. Par conséquent, lors de la résolution d’une équation de la forme 𝑦=𝑥, les solutions incluent à la fois les racines carrées positive et négative de 𝑥. Cela donne lieu à une différence subtile entre les deux affirmations apparemment équivalentes pour l’entier 𝑛, 𝑦=𝑥𝑦=𝑥.et

On peut généraliser ce concept pour des racines 𝑛-ièmes où 𝑛 est un nombre pair.

Théorème : Racines 𝑛-ièmes paires et impaires

On considère l’équation 𝑦=𝑥 pour des nombres réels 𝑦 et 𝑥 et un entier positif 𝑛. Les solutions suivantes sont vraies:

𝑛 pair𝑛 impair
𝑥<0Il n’y a pas de solution réelle à l’équation.Il y a une solution,
𝑦=𝑥.
𝑥>0Les solutions à l’équation sont
𝑦=±𝑥.

Nous avons vu que nous interprétons les affirmations 𝑦=𝑥 et 𝑦=𝑥 différemment. Cela donne lieu à une définition supplémentaire, celle de la racine 𝑛-ième principale. Cela nous permet de considérer une racine 𝑛-ième comme une fonction qui est par définition injective.

Définition : Racine 𝑛-ième principale

Chaque nombre réel positif a une seule racine 𝑛-ième positive et définie comme 𝑥. On l’appelle la racine 𝑛-ième principale.

Montrons une application des propriétés des racines 𝑛-ièmes paires et impaires dans l’exemple suivant.

Exemple 4: Simplifier et résoudre une équation impliquant une racine 𝑛-ième

Déterminez la (les) valeur (s) de 𝑥 si 12𝑥=384.

Réponse

Pour résoudre cette équation, on applique une série d’opérations réciproques. On commence par diviser les deux membres par 12:12𝑥12=38412𝑥=32.

Ensuite, on rappelle que pour une équation 𝑥=𝑦, des nombres réels 𝑥 et 𝑦 et un entier positif 𝑛,

  • si 𝑛 est pair, les solutions de l’équation sont 𝑥=±𝑦;
  • si 𝑛 est impair, il y a une seule solution, 𝑥=𝑦.

Comme 𝑛=5 est impair, il y a une seule solution à cette équation, donnée par 𝑥=32=2.

Par conséquent, 𝑥=2.

En combinant les propriétés des racines 𝑛-ièmes et ce théorème, nous sommes capables de résoudre des équations plus compliquées impliquant des exposants. Montrons cela avec un dernier exemple.

Exemple 5: Simplifier et résoudre une équation impliquant une racine 𝑛-ième

Déterminez la (les) valeur (s) de 𝑥 sachant que 𝑥+95=144×3.

Réponse

On commence par évaluer le membre droit de cette équation. Comme 144 et 3 sont deux carrés parfaits, on peut facilement trouver la racine carrée principale de leur produit, qui est 144×3=1443=12×3=36.

Ensuite, on rappelle que pour une équation 𝑥=𝑎, des nombres réels 𝑥 et 𝑎 et un entier positif 𝑛, si 𝑛 est pair, les solutions à l’équation sont 𝑥=±𝑎. Comme l’expression sur le membre gauche de l’équation a un exposant pair (𝑛=2), on doit prendre la racine carrée positive et négative de 36.

C’est-à-dire, 𝑥+95=144×3𝑥+95=36𝑥+95=±36𝑥+95=±6.

Pour trouver les solutions à ces deux équations, on multiplie les deux membres par 5 puis on soustrait 9:𝑥+95=6𝑥+95=6𝑥+9=30𝑥+9=30𝑥=21,𝑥=39.

Par conséquent, les solutions sont 𝑥=21 et 𝑥=39.

Terminons par récapituler certains concepts clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • La racine (ou radical) 𝑛-ième d’un nombre 𝑥, 𝑛 est un entier positif, est un nombre qui, lorsqu’il est élevé à la 𝑛-ième puissance, donne 𝑥. On peut définir ce nombre comme 𝑦, tel que 𝑥=𝑦.
  • La racine 𝑛-ième est donnée par 𝑦=𝑥.
  • Chaque nombre réel positif a une seule racine 𝑛-ième positive et définie par 𝑥. On l’appelle la racine 𝑛-ième principale.
  • Quand 𝑎 et 𝑏 sont définis et sont des nombres réels, 𝑎𝑏 est également défini telle que 𝑎𝑏=𝑎𝑏.
  • Si 𝑏0, alors on a également 𝑎𝑏=𝑎𝑏.
  • Quand 𝑛 est un entier impair, 𝑎=𝑎=𝑎.
  • Quand 𝑛 est un entier pair et 𝑎>0, 𝑎=𝑎.
  • Quand 𝑛 est un entier pair et 𝑎<0, 𝑎.nestpasdénisur
  • Quand 𝑛 est un entier pair et 𝑎, 𝑎=|𝑎|.
  • Les solutions à l’équation 𝑦=𝑥 pour des nombres réels 𝑥 et 𝑦 et un entier positif 𝑛 sont les suivantes:
    𝑛 pair𝑛 impair
    𝑥<0Il n’y a pas de solution réelle à l’équation.Il y a une solution,
    𝑦=𝑥.
    𝑥>0Les solutions à l’équation sont 𝑦=±𝑥.

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