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Sachant que 𝐀 est égal à moins trois, moins cinq, que 𝐁 est coliénaire à 𝐀 et que la norme de 𝐁 est égale à quatre fois la racine carrée de 34, déterminez les coordonnées de 𝐁.
Dans cette question, on nous donne un vecteur 𝐀 avec ses composantes. On nous parle aussi d’un vecteur 𝐁 dont nous connaissons la norme, mais pas les composantes. On nous dit cependant que ces deux vecteurs sont colinéaires. Cela signifie qu’il existe une constante non nulle, nous l’appellerons 𝐶, par laquelle nous pouvons multiplier le vecteur 𝐀 de sorte qu’il soit égal au vecteur 𝐁. Cette affirmation est vraie car les deux vecteurs sont colinéaires. Si nous pouvons trouver 𝐶, nous pouvons utiliser ce que nous savons du vecteur 𝐀 pour trouver les composantes du vecteur 𝐁.
Nous pouvons commencer par calculer la norme du vecteur 𝐀. Elle est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Moins trois au carré égale neuf et moins cinq au carré égale 25. Ainsi, la norme de 𝐀 est égale à la racine carrée de 34. Maintenant, nous pouvons la comparer à la norme de 𝐁. Puisque la norme de 𝐁 est quatre fois la racine carrée de 34, nous pouvons écrire que la norme de 𝐁 est égale à quatre fois la norme de 𝐀. Cela signifie que la longueur totale du vecteur 𝐁 est quatre fois plus longue que la longueur totale du vecteur 𝐀. Puisque ces vecteurs sont colinéaires, nous pouvons dire que chaque composante du vecteur 𝐁 est quatre fois plus élevée que la composante correspondante du vecteur 𝐀.
Si nous ne savions pas que 𝐁 et 𝐀 sont coliénaires, nous ne pourrions pas dire cela. Puisqu’ils le sont, nous pouvons dire que quatre est égal à 𝐶 dans cette équation. Voici l’énoncé mathématique disant que chaque composante du vecteur 𝐁 est quatre fois plus longue que celle du vecteur 𝐀. Ainsi, cette constante de proportionnalité 𝐶 vaut quatre. A partir de notre énoncé du problème, nous savons que 𝐀 est moins trois, moins cinq. Le vecteur 𝐁 est alors égal à moins 12, moins 20. Ce sont les composantes du vecteur 𝐁, qui est colinéaire au vecteur 𝐀.
