Vidéo de la leçon: Vecteurs colinéaires et orthogonaux en 2D Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier les vecteurs colinéaires et orthogonaux en 2D. Rappelez-vous que si on considère des droites, deux droites parallèles sont des droites qui ne se coupent jamais. Et deux droites perpendiculaires sont des droites qui se coupent avec un angle droit. Commençons donc par rappeler les bases sur les vecteurs et réfléchissons à la façon dont nous pourrions reconnaître des vecteurs colinéaires.

Commençons par étudier ce vecteur 𝐮. On peut exprimer ce vecteur en fonction de ses composantes horizontale et verticale comme le vecteur deux, un. Introduisons maintenant d’autres vecteurs, par exemple ce vecteur 𝐚, que l’on peut exprimer en fonction de ses composantes horizontale et verticale par quatre, deux. Nous pouvons même représenter un autre vecteur, le vecteur 𝐛, qui ressemble au vecteur 𝐮 mais qui va cette fois dans le sens opposé. Nous pouvons enfin représenter un dernier vecteur, le vecteur 𝐜 égal à moins six, moins trois.

Que pouvons-nous alors remarquer sur ces quatre vecteurs ? Eh bien, ils sont tous colinéaires. Tous ces vecteurs sont des multiples scalaires les uns des autres. Par exemple, si on multiplie le vecteur 𝐮 par deux, on obtient le vecteur 𝐚. Pour passer du vecteur 𝐮 au vecteur 𝐛, il suffit de multiplier 𝐮 par moins un pour obtenir 𝐛. La définition de deux vecteurs colinéaires est donc la suivante. Deux vecteurs quelconques 𝐮 et 𝐯 sont colinéaires si 𝐮 est égal à 𝑘 fois 𝐯 avec 𝑘 différent de zéro. Si on observe alors les vecteurs 𝐛 et 𝐜, on peut écrire que 𝐛 est égal à 𝑘 fois 𝐜. On peut même déterminer que 𝑘 est égal à un tiers dans ce cas.

Si nous n’avions pas de figure ou d’information sur les normes de 𝐛 ou de 𝐜, nous saurions tout de même qu’ils sont colinéaires car ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Nous allons maintenant étudier quelques exemples. Dans le premier, nous allons devoir déterminer si deux vecteurs sont colinéaires ou non.

Vrai ou faux : les vecteurs 𝐀 égal à deux, un et le vecteur 𝐁 égal à six, trois sont colinéaires. (A) vrai ou (B) faux.

Dans cette question, nous connaissons les coordonnées de deux vecteurs 𝐀 et 𝐁, et nous devons déterminer s’ils sont colinéaires. On rappelle que deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Si les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont colinéaires, alors on peut écrire que le vecteur 𝐀 est égal à 𝑘 fois le vecteur 𝐁 avec 𝑘 différent de zéro. Nous pouvons donc utiliser les composantes de 𝐀 et 𝐁 pour obtenir cette équation et vérifier si elle est vraie. Vous remarquez peut-être déjà que 𝐁 est un multiple de 𝐀. Mais vérifions tout de même les composantes en 𝑥 et 𝑦 séparément.

En posant l’égalité des composantes en 𝑥, on a deux égale six 𝑘. Diviser les deux membres par six nous donne deux sur six égale 𝑘. En simplifiant, on obtient un tiers égale 𝑘 ou 𝑘 égale un tiers. Pour que ces vecteurs soient colinéaires, nous devons obtenir la même valeur de 𝑘 pour les composantes en 𝑦. Vérifions donc cela. Lorsque l’on substitue les composantes en 𝑦, on obtient un égale trois 𝑘. En divisant les deux membres par trois, on trouve un tiers égale 𝑘, ce qui signifie bien sûr que 𝑘 est égal à un tiers. On peut donc dire que le vecteur 𝐀 est égal à 𝑘 fois le vecteur 𝐁 car 𝐀 est égal à un tiers de 𝐁. Nous pouvons donc conclure que l’affirmation « les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont colinéaires » est vraie.

Une autre façon de répondre à cette question serait de représenter ces vecteurs sur une figure. Le vecteur 𝐀 est égal à deux, un et le vecteur 𝐁 à six, trois. On peut alors voir que les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont colinéaires, ce qui confirme que l’affirmation est vraie.

Nous allons maintenant voir comment identifier des vecteurs orthogonaux. Deux vecteurs 𝐮 égale 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐯 égale 𝑥 deux, 𝑦 deux sont orthogonaux si le produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 est égal à zéro. On rappelle pour cela que le produit scalaire des vecteurs 𝐮 et 𝐯 est égal à la somme du produit 𝑥 un et 𝑥 deux et du produit 𝑦 un et 𝑦 deux. Voyons donc comment utiliser cette définition pour nous aider à identifier des vecteurs orthogonaux.

Lesquels des vecteurs ci-dessous sont orthogonaux ? (A) le vecteur deux, zéro et le vecteur trois, moins six. (B) le vecteur un, quatre et le vecteur deux, huit. (C) le vecteur zéro, sept et le vecteur zéro, neuf. Ou (D) le vecteur trois, zéro et le vecteur zéro, six.

Commençons par rappeler comment identifier si des vecteurs sont orthogonaux. Si deux vecteurs 𝐮 et 𝐯 sont orthogonaux, alors le produit scalaire de 𝐮 par 𝐯 est égal à zéro. On rappelle alors que si le vecteur 𝐮 est égal à 𝑥 un, 𝑦 un et le vecteur 𝐯 est égal à 𝑥 deux, 𝑦 deux, alors le produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 est égal à 𝑥 un fois 𝑥 deux plus 𝑦 un fois 𝑦 deux. Nous allons donc calculer le produit scalaire pour chacun des couples de vecteurs de (A) à (D), et s’il égal à zéro, alors les deux vecteurs seront orthogonaux. Commençons donc avec les vecteurs de (A). On définit les valeurs de 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑥 deux et 𝑦 deux comme ceci, bien que l’ordre des vecteurs que l’on choisisse n’affecte pas le résultat.

Pour leur produit scalaire, on a deux fois trois plus zéro fois moins six. Ce qui donne deux fois trois, qui est égal à six. Plus zéro fois moins six, ce qui fait zéro. Et six plus zéro égale six. Leur produit scalaire est-il nul? Eh bien non. Par conséquent, les vecteurs de (A) ne sont pas orthogonaux. Nous pouvons appliquer la même méthode pour les vecteurs de (B). Lorsque l’on calcule leur produit scalaire, on a cette fois un fois deux plus quatre fois huit. Un fois deux égale deux, et quatre fois huit égale 32. Additionner ces valeurs nous donne un résultat de 34. Comme ce produit scalaire n’est pas égal à zéro, les vecteurs de (B) ne sont pas orthogonaux.

En appliquant la même méthode pour les vecteurs de l’option (C), on multiplie zéro par zéro, auquel on ajoute sept fois neuf, ce qui nous donne 63. 63 n’est pas égal à zéro donc les vecteurs de (C) ne sont pas orthogonaux. Enfin, pour (D), les deux produits 𝑥 un 𝑥 deux et 𝑦 un 𝑦 deux sont égaux à zéro. Leur somme est donc égale à zéro. Comme le produit scalaire de ces vecteurs est égal à zéro, les deux vecteurs de (D) sont orthogonaux. Nous pouvons donc conclure que le vecteur trois, zéro et le vecteur zéro, six sont orthogonaux.

On peut le confirmer en représentant ces deux vecteurs. Le vecteur trois, zéro peut être représenté par un segment de trois unités vers la droite et de zéro unité vers le haut. Le vecteur zéro, six peut être représenté par un segment de zéro unité vers la droite et de six unités vers le haut. Le premier vecteur est horizontal et le second vertical, ce qui indique que ces deux vecteurs sont bien orthogonaux et confirme ainsi que les vecteurs qui sont orthogonaux sont ceux de (D).

Nous allons maintenant étudier d’autres exemples impliquant des vecteurs colinéaires et orthogonaux. Dans le prochain exemple, nous devons trouver une composante inconnue de deux vecteurs colinéaires.

Si le vecteur 𝐀 est égal à ℎ, ℎ plus deux et le vecteur 𝐁 est égal à trois ℎ, quatre ℎ moins un, alors une des valeurs de ℎ qui rend 𝐀 colinéaire à 𝐁 est ... (A) sept, (B) cinq, (C) moins cinq ou (D) moins sept.

Dans cette question, on nous donne deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. Leurs composantes sont exprimées en fonction d’une inconnue ℎ. Nous devons trouver une valeur de ℎ pour laquelle les vecteurs 𝐀 et 𝐁 seront colinéaires. Commençons donc par rappeler la définition de deux vecteurs colinéaires. Les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont colinéaires si on peut écrire que le vecteur 𝐀 est égal à 𝑘 fois le vecteur 𝐁 pour un scalaire 𝑘 différent de zéro. Supposons donc que ces vecteurs sont colinéaires en écrivant 𝐀 égale 𝑘 𝐁. Nous pouvons alors substituer les composantes des vecteurs. Le vecteur 𝐀 est ℎ, ℎ plus deux, et le vecteur 𝐁 est trois ℎ, quatre ℎ moins un.

Dans le membre de droite, on peut multiplier chacune des composantes en 𝑥 et 𝑦 par 𝑘. On pose ensuite l’égalité des composantes en 𝑥. On a ainsi ℎ égale trois 𝑘ℎ. En simplifiant les deux membres par ℎ, on obtient un égale trois 𝑘. Et en divisant par trois, on obtient un tiers égale 𝑘 ou 𝑘 égale un tiers. Considérons ensuite les composantes en 𝑦. On peut écrire que ℎ plus deux est égal à 𝑘 fois quatre ℎ moins un. Nous avons déjà établi que 𝑘 est égal à un tiers, nous pouvons donc le remplacer par sa valeur. On a alors ℎ plus deux égale un tiers de quatre ℎ moins un. On peut ensuite distribuer le un tiers dans le membre de droite. Un sur trois fois quatre ℎ égale quatre sur trois ℎ, et un sur trois fois moins un égale moins un sur trois.

On peut alors soustraire ℎ des deux côtés, en rappelant que si on a quatre sur trois ℎ et que l’on soustrait ℎ, on obtient un sur trois ℎ. On peut ensuite ajouter un sur trois des deux côtés et comme deux plus un sur trois est égal à sept sur trois on obtient ceci. On multiplie enfin les deux membres de cette équation par trois, ce qui nous donne sept égale un ℎ ou simplement, ℎ égale sept. Par conséquent, une des valeurs de ℎ qui rend 𝐀 colinéaire à 𝐁 est sept. La réponse est donc (A) : sept. On peut vérifier cela en substituant la valeur sept dans les composantes de 𝐀 et de 𝐁. Lorsque ℎ est égal à sept, 𝐀 est égal à sept et sept plus deux égale neuf. Pour 𝐁, lorsque ℎ est égal à sept, trois fois sept font 21 et quatre fois sept font 28; soustraire un nous donne ensuite 27.

Alors, les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont-ils des multiples scalaires ? La réponse est oui, parce que l’on peut écrire que 𝐀 est égal à un tiers de 𝐁. Nous avons ainsi confirmé que lorsque ℎ est égal à sept, les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont bien colinéaires. Mais vérifions tout de même si l’une des valeurs des options (B), (C) ou (D) ne rendrait pas également les vecteurs 𝐀 et 𝐁 colinéaires. Cette fois, nous allons directement substituer la valeur à ℎ puis vérifier si 𝐀 et 𝐁 sont colinéaires.

Pour l’option (B), on remplace ℎ par cinq. Et le vecteur 𝐀 est donc cinq, et cinq plus deux soit sept. Le vecteur 𝐁 est trois fois cinq, ce qui fait 15, et quatre fois cinq égale 20 moins un, soit 19. Existe-t-il donc un scalaire 𝑘 tel que le vecteur cinq, sept est égal à 𝑘 fois le vecteur 15, 19 ? Eh bien non, il n’y en a pas. Si on considère les composantes en 𝑥, on a cinq égale 15𝑘. Ce qui signifie que 𝑘 est égal à un tiers. Cependant, 𝑘 égale un tiers ne vérifie pas l’équation sept égale 𝑘 fois 19. Donc, cela signifie que lorsque ℎ est égal à cinq, les deux vecteurs cinq, sept et 15, 19 ne sont pas colinéaires. Nous pouvons donc éliminer l’option (B).

Vérifions l’option (C). Cette fois, on remplace ℎ par moins cinq. Le vecteur 𝐀 est alors moins cinq, moins trois et le vecteur 𝐁 est moins 15, moins 21. Encore une fois, il n’existe pas de valeur de 𝑘 telle 𝐀 est égal à 𝑘 𝐁. On peut donc éliminer l’option (C) car lorsque ℎ est égal à moins cinq, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Enfin, pour l’option (D), on vérifie la valeur moins sept. Lorsque l’on substitue cette valeur dans les composantes de 𝐀 et de 𝐁, il n’existe à nouveau pas de valeur de 𝑘 qui rende les vecteurs moins sept, moins cinq et moins 21, moins 29 proportionnels. Nous avons donc éliminé les options (B), (C) et (D), ce qui nous laisse la valeur sept.

Nous allons maintenant étudier un dernier exemple.

Complétez : les vecteur 𝐀 égale un, deux et 𝐁 égale moins deux, un sont ...

La première chose que nous pourrions envisager de vérifier est si les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont colinéaires. On rappelle que deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont colinéaires si on peut écrire que le vecteur 𝐀 est égal à 𝑘 fois le vecteur 𝐁 pour un scalaire 𝑘 différent de zéro. Vérifions si cela est possible pour ces vecteurs. Existe-t-il une valeur 𝑘 telle que le vecteur un, deux est égal à 𝑘 fois moins deux, un? On peut reformuler le vecteur de droite par moins deux 𝑘, 𝑘. On peut ensuite poser l’égalité des composantes en 𝑥 et 𝑦 séparément, les composantes en 𝑥 donnant un égale moins deux 𝑘. En divisant les deux membres de cette équation par moins deux, on obtient moins un sur deux égale 𝑘. Donc, 𝑘 est égal à moins un sur deux.

Penchons-nous à présent sur les composantes en 𝑦. On obtient l’équation deux égale 𝑘, soit 𝑘 égale deux. Nous avons trouvé deux valeurs différentes de 𝑘, ce qui signifie qu’il n’existe pas de valeur 𝑘 telle que 𝐀 est égal à 𝑘 𝐁. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires. Regardons maintenant s’ils sont orthogonaux. On rappelle que si le produit scalaire de deux vecteurs est égal à zéro, alors ces vecteurs sont orthogonaux. Pour deux vecteurs quelconques 𝐮 égale 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐯 égale 𝑥 deux, 𝑦 deux, le produit scalaire de 𝐮 et de 𝐯 est égal à 𝑥 un 𝑥 deux plus 𝑦 un 𝑦 deux.

Pour calculer le produit scalaire de nos deux vecteurs 𝐀 et 𝐁, on calcule donc un fois moins deux plus deux fois un. Cela se simplifie par moins deux plus deux, ce qui est égal à zéro. Et deux vecteur 𝐮 et 𝐯 sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. Nous avons établi que le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 est égal à zéro. Cela signifie que nous pouvons compléter la phrase. Les vecteurs 𝐀 égale un, deux et 𝐁 égale moins deux, un sont orthogonaux.

Nous pouvons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu que deux vecteurs 𝐮 et 𝐯 sont colinéaires si le vecteur 𝐮 est égal à 𝑘 fois le vecteur 𝐯 pour un scalaire 𝑘 différent de zéro. Nous avons également vu que les vecteurs 𝐮 et 𝐯 sont orthogonaux si le produit scalaire de 𝐮 et de 𝐯 est égal à zéro.