Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à reconnaître des vecteurs colinéaires et perpendiculaires dans le plan.
Commençons par considérer les vecteurs colinéaires. Deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Sur la figure ci-dessous, les vecteurs , , et sont tous colinéaires au vecteur et colinéaires les uns aux autres.
On définit les vecteurs colinéaires comme suit.
Définition : Vecteurs colinéaires
Les vecteurs et sont coliénaires si pour une valeur scalaire , où .
Notez que si on a des vecteurs coliénaires et telle que , où est une valeur positive, alors les vecteurs et sont coliénaires et pointent dans le même sens. Si est négatif, alors les vecteurs et sont colinéaires mais pointent dans des sens opposés. Sur la figure ci-dessus, les vecteurs , , et sont colinéaires dans le même sens, mais le vecteur parallèle pointe dans le sens opposé à celui des autres.
On peut voir comment utiliser cette information dans le premier exemple.
Exemple 1: Identifier si les vecteurs donnés sont colinéaires
Vrai ou Faux : Les vecteurs et sont coliénaires.
- Vrai
- Faux
Réponse
Deux vecteurs et sont coliénaires s’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre, c’est-à-dire, pour une valeur scalaire , où .
Par conséquent, on vérifie s’il y a une constante pour laquelle
Sachant que et , on a
Si on pose l’équation en , on obtient
Lorsqu’on pose l’équation , on obtient
Ainsi, on peut écrire que et l’affirmation selon laquelle les vecteurs et sont colinéaires est vraie.
Ensuite, nous allons examiner comment identifier des vecteurs perpendiculaires. On rappelle que pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, on écrit les composantes des vecteurs, on multiplie les composantes correspondantes de chaque vecteur et on additionne les nombres obtenus.
Définition : Produit scalaire des vecteurs bidimensionnels
Le produit scalaire de deux vecteurs et est
On peut également écrire que où est l’angle entre et .
On peut utiliser la définition du produit scalaire faisant intervenir l’angle entre les vecteurs pour identifier les vecteurs perpendiculaires. Si les deux vecteurs et sont perpendiculaires, alors l’angle .
Ainsi, on peut écrire
On peut utiliser cette information pour établir que si le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0, alors ces vecteurs sont perpendiculaires. Il est courant d’utiliser la définition du produit scalaire faisant intervenir l’angle entre les vecteurs pour déterminer l’angle entre deux vecteurs. De plus, si l’angle ou , alors les vecteurs sont parallèles.
Définition : Vecteurs perpendiculaires
Deux vecteurs et sont perpendiculaires si
Pareillement, en calculant le produit scalaire, les vecteurs et sont perpendiculaires si
Dans l’exemple suivant, on peut voir comment utiliser cette définition pour identifier deux vecteurs perpendiculaires.
Exemple 2: Identifier deux vecteurs perpendiculaires
Lesquelles des paires de vecteurs suivantes sont perpendiculaires ?
Réponse
On rappelle que deux vecteurs, et sont perpendiculaires si
Pour calculer , on multiplie les composantes correspondantes de chaque vecteur et on additionne les nombres obtenus :
Donc, pour chaque paire de vecteurs ci-dessus, on vérifie si
Pour la première paire de vecteurs, et , on a
Étant donné que , et ne sont pas perpendiculaires.
Le produit scalaire de la deuxième paire de vecteurs, et , peut être trouvé comme étant
Étant donné que , et ne sont pas perpendiculaires.
Ensuite, le produit scalaire des vecteurs et est
Par conséquent, et ne sont pas perpendiculaires.
La dernière paire de vecteurs de l’option D, et , a un produit scalaire de
Étant donné que le produit scalaire est égal à zéro, les vecteurs et sont perpendiculaires.
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment trouver une valeur inconnue dans une paire de vecteurs, lorsqu’on sait que ceux-ci sont colinéaires.
Exemple 3: Déterminer la valeur de la constante qui rend deux vecteurs colinéaires
Si et , alors la valeur de qui rend est .
- 7
- 5
Réponse
On rappelle que deux vecteurs et sont colinéaires, , si l’un est un multiple scalaire de l’autre.
On peut écrire cela comme pour une valeur scalaire , où .
On peut introduire les valeurs et pour déterminer la valeur de , ce qui donne
Si on évalue l’équation des composantes en on obtient
Si on divise par , on obtient
On évalue la deuxième équation pour les composantes en ci-dessus et on obtient
Si on remplace la valeur dans cette équation, on obtient
Lorsqu’on développe la parenthèse et qu’on soustrait des deux côtés de l’équation, on obtient
On peut simplifier cette équation en ajoutant aux deux côtés, puis en multipliant par 3, ce qui donne
Par conséquent, l’une des valeurs de qui donne est la réponse de l’option A, qui est 7.
On peut vérifier ce résultat en remplaçant dans les vecteurs et et vérifier si . Cela donne
On peut constater que nos vecteurs sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Dans ce cas, .
On vérifie les autres options disponibles. Dans l’option B, . Donc, si , on a
Cependant, il n’y a pas de valeur de qui rendrait cela valide, donc et lorsque .
Dans l’option C, . Si , on a
Cependant, il n’y a pas de valeur de qui serait valide, donc et lorsque .
Enfin, lorsqu’on vérifie l’option D en remplaçant dans , on obtient
Cependant, il n’y a pas de valeur valide de dans ce cas, donc et lorsque .
Ainsi, nous avons démontré que la seule réponse valide parmi les options disponibles est .
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment identifier une valeur inconnue dans un vecteur, sachant que les vecteurs sont perpendiculaires.
Exemple 4: Déterminer la valeur de la constante qui rend deux vecteurs perpendiculaires
Continue : si , et , alors toutes les valeurs possibles pour sont .
- 1
- 3
Réponse
On rappelle que si deux vecteurs et sont perpendiculaires, , alors leur produit scalaire est égal à 0.
Cela signifie que pour tous vecteurs perpendiculaires et ,
On sait que et . Par conséquent,
Sachant que , on peut écrire que
On peut simplifier en ajoutant 3 aux deux côtés, puis en divisant par 3, ce qui donne
On peut alors prendre la racine carrée des deux côtés de l’équation, mais on doit prêter attention aux valeurs positive et négative de celle-ci. Ainsi,
Par conséquent, on peut dire que les valeurs de sont celles de l’option C : .
Dans le dernier exemple, nous allons identifier si deux vecteurs donnés sont colinéaires, perpendiculaires ou aucun des deux.
Exemple 5: Identifier si les vecteurs donnés sont colinéaires, perpendiculaires ou aucun des deux
Complétez : Les vecteurs et sont .
Réponse
On peut aborder cette question en considérant les cas où les vecteurs et sont colinéaires, perpendiculaires ou aucun des deux.
On rappelle que deux vecteurs sont coliénaires s’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Ici, on peut vérifier si pour une valeur scalaire , où .
Si on introduit les vecteurs donnés, et , on vérifie s’il y a une valeur de pour laquelle
Si on évalue l’équation des composantes en , on obtient
Lorsqu’on évalue l’équation des composantes en , on obtient
Cependant, comme les deux valeurs de sont différentes, il n’y a pas de valeur unique de qui résout l’équation. Donc,
Par conséquent, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Ensuite, on peut vérifier si et sont perpendiculaires en calculant leur produit scalaire.
Le produit scalaire de deux vecteurs et est défini par
Par conséquent, le produit scalaire de et est
On rappelle que deux vecteurs sont perpendiculaires si leur produit scalaire est égal à 0.
Par conséquent, on peut répondre à la question : les vecteurs et sont perpendiculaires.
Résumons à présent les points clés.
Points Clés
- Les vecteurs et sont parallèles si pour une valeur scalaire , où .
- Les vecteurs et sont perpendiculaires si leur produit scalaire est égal à 0 :