Transcription de la vidéo
Calculez les longueurs 𝑥 et 𝑦 au millième d’unité près.
Dans cette question, on doit déterminer les valeurs de deux inconnues 𝑥 et 𝑦, et on doit donner notre réponse au millième près. Il faut d'abord remarquer que les valeurs de 𝑥 et 𝑦 représentent les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Dans ce triangle rectangle, on connaît l'un des angles non droits et une longueur d’un côté. On peut donc déterminer les valeurs de 𝑥 et 𝑦 en utilisant la trigonométrie du triangle rectangle.
Pour cela, on doit d'abord déterminer les dimensions de ce triangle rectangle. On doit toujours commencer par l'hypoténuse. Il s'agit du côté le plus long du triangle rectangle, c'est-à-dire celui qui est opposé à l'angle droit. Dans ce cas, l'hypoténuse a une longueur de 𝑦. Il faut ensuite nommer les deux autres côtés en fonction de leur position par rapport à l'angle que nous connaissons. Il s'agit de 47 degrés. On remarque d'abord que le côté de 28 centimètres est opposé à l'angle de 47 degrés. Nous allons donc désigner ce côté comme étant le côté opposé. Finalement, le dernier côté de longueur 𝑥 est à côté de notre angle de 47 degrés, on pourrait donc dire qu'il est adjacent à cet angle. Ce côté sera appelé le côté adjacent.
On peut maintenant se rappeler que nous pouvons déterminer les valeurs de 𝑥 et 𝑦 en utilisant les rapports trigonométriques. Pour déterminer les rapports trigonométriques que nous devons utiliser, nous utiliserons l'acronyme suivant : SOH CAH TOA. Il faut l'appliquer deux fois pour déterminer les valeurs de 𝑥 et 𝑦 séparément. On commence par déterminer la valeur de 𝑥. Autrement dit, il faut d'abord utiliser notre acronyme pour déterminer quel rapport trigonométrique nous aidera à trouver la valeur de 𝑥.
On peut voir que 𝑥 est le côté adjacent à notre angle. On connaît déjà la longueur du côté opposé à notre angle. Et on peut voir dans l'acronyme si on connaît le côté opposé à l'angle et le côté adjacent à l'angle, alors il faut utiliser la fonction tangente. On sait que si 𝜃 est un angle dans un triangle rectangle, la tangente de l'angle 𝜃 correspond au rapport de la longueur du côté opposé à l'angle 𝜃 divisée par la longueur du côté adjacent à l'angle 𝜃. Pour notre triangle rectangle, on veut utiliser l'angle 𝜃 qui est de 47 degrés. Ensuite, le côté adjacent a une longueur 𝑥, et le côté opposé mesure 28 centimètres.
Si on remplace par ces valeurs, on obtient que la tangente de 47 degrés égale 28 sur 𝑥. Il faut résoudre cette équation pour déterminer 𝑥. Nous allons d'abord multiplier les deux côtés de notre équation par 𝑥. On obtient alors que 𝑥 fois tangente 47 degrés égale 28. On peut maintenant déterminer la valeur de 𝑥 en divisant les deux côtés de l'équation par la tangente de 47 degrés. On obtient que 𝑥 correspond à 28 sur tangente 47 degrés. Et maintenant, en se rappelant que les longueurs des côtés de ce triangle sont mesurées en centimètres et en utilisant notre calculatrice, en s'assurant qu'elle est réglée en mode degrés, on peut trouver la valeur de 𝑥. Cette valeur est de 26,1104 ainsi de suite centimètres.
Finalement, la question nous demande de donner les valeurs de 𝑥 et 𝑦 au millième près. Nous examinons donc la quatrième décimale, qui est quatre, ce qui est inférieur à cinq. On doit donc arrondir à la valeur inférieure, par défaut. Donc, au millième près, 𝑥 vaut 26,110 centimètres.
On peut suivre exactement le même processus pour déterminer la valeur de 𝑦. Encore une fois, nous allons utiliser notre acronyme SOH CAH TOA pour déterminer le rapport trigonométrique que nous devons utiliser. Dans le schéma, on connaît la longueur du côté opposé, et on veut déterminer 𝑦, qui est la longueur de l'hypoténuse. Donc, il nous faut le rapport trigonométrique entre le côté opposé et l'hypoténuse. C’est la fonction sinus. On peut alors rappeler que si 𝜃 est un angle dans un triangle rectangle, alors sinus 𝜃 est égale à la longueur du côté opposé à l'angle 𝜃 divisée par la longueur de l'hypoténuse.
On peut alors remplacer par nos valeurs du schéma. On obtient que sinus 47 degrés est égal à 28 sur 𝑦. Il nous reste donc à résoudre cette équation pour déterminer 𝑦. On multiplie les deux côtés de l'équation par 𝑦, et on divise ensuite par sinus 47 degrés. On obtient 𝑦 égale 28 sur sinus 47 degrés. Evaluons maintenant cette expression à l'aide de notre calculatrice. On obtient que 𝑦 est 38,2851 ainsi de suite centimètres. Pour finir, on doit arrondir au millième près. Le quatrième chiffre décimal est un, qui est inférieur à cinq. Il faut donc arrondir cette valeur au chiffre inférieur, par défaut. On obtient ainsi que 𝑦 vaut 38,285 centimètres au millième près.
En utilisant la trigonométrie du triangle rectangle, on a donc trouvé les valeurs de 𝑥 et 𝑦 dans le schéma au millième près. On a vu que 𝑥 mesurait 26,110 centimètres et 𝑦 38,285 centimètres.
