Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, on va apprendre à déterminer la longueur inconnue d’un côté dans un triangle rectangle en choisissant la formule trigonométrique appropriée pour un angle donné. Supposons qu’on a ce triangle rectangle où un des angles non droits est défini par 𝜃. L’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long, qui est toujours le côté directement opposé à l’angle droit. Par rapport à l’angle 𝜃, le côté directement en face de 𝜃 est appelé le côté opposé. Enfin, le dernier côté, qui est à côté de l’angle 𝜃 et qui n’est pas l’hypoténuse, est appelé le côté adjacent. Il s’agit donc du côté qui est situé entre l’angle droit et 𝜃.
Les noms de ces trois côtés sont souvent abrégés par opp, adj et hyp ou simplement par O, A et H. Les trois formules trigonométriques sinus, cosinus et tangente, que l’on note sin, cos et tan, décrivent les rapports entre différentes paires de longueurs de côté dans un triangle rectangle. Pour une valeur fixe de 𝜃, le rapport entre chaque paire de longueurs de côté est toujours constant, quelle que soit la taille du triangle. On peut utiliser l’acronyme SOHCAHTOA pour se souvenir des trois formules trigonométriques. La première lettre de chaque partie fait référence au sinus, cosinus ou à la tangente. Les deux lettres suivantes font référence aux côtés impliqués dans le rapport avec le numérateur d’abord, puis le dénominateur.
Par exemple, SOH indique que le sinus, ou sin, d’un angle 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse. cos 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent divisée par la longueur de l’hypoténuse. Et tan 𝜃 est égale à la longueur du côté opposé divisée par la longueur du côté adjacent. Voyons maintenant comment nous pouvons utiliser ces formules trigonométriques pour calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle.
Calculez la valeur de 𝑥 dans la figure ci-dessous. Donnez votre réponse au centième près.
Dans ce triangle rectangle, nous connaissons la longueur d’un côté et la mesure d’un des angles non droits. Et nous souhaitons calculer la longueur d’un autre côté. On va commencer par identifier les côtés du triangle par rapport à l’angle de 68 degrés. Le côté directement en face de l’angle droit est toujours l’hypoténuse, que l’on désigne par H. Le côté directement en face de l’angle de 68 degrés est le côté opposé, que l’on désigne par O. Et enfin, le côté entre l’angle droit et l’angle de 68 degrés est le côté adjacent, que l’on désigne par A. On peut alors utiliser l’acronyme SOHCAHTOA pour nous aider à décider quelle formule trigonométrique nous devons utiliser dans cette question.
Le côté qu’on souhaite calculer est le côté opposé et le côté dont nous connaissons la longueur est le côté adjacent, nous devons donc utiliser la tangente. Rappelons sa définition. Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle 𝜃 est égale à la longueur du côté opposé divisée par la longueur du côté adjacent. On substitue maintenant la valeur de 𝜃 et les longueurs des côtés opposé et adjacent de ce triangle. 𝜃 mesure 68 degrés. On ne connaît pas la longueur du côté opposé, seulement son expression, 𝑥. Et le côté adjacent mesure 11 unités. On obtient donc l’équation tan de 68 degrés égale 𝑥 sur 11.
Pour isoler 𝑥, on multiplie les deux membres par 11. Cela donne 11 fois tan de 68 degrés égale 𝑥. Que l’on peut également simplement écrire 11 tan de 68 degrés. Le signe multiplicatif n’est pas obligatoire. On peut maintenant calculer ceci sur une calculatrice, en s’assurant qu’elle est paramétrée en mode degrés. On obtient alors 27,225. La question précise qu’on doit donner notre réponse au centième près. En l’arrondissant, on obtient donc 27,23. Aucune unité n’est précisée dans la question, donc nous concluons simplement que le côté mesure 27,23 unités de longueur.
Dans cet exemple, l’inconnue que nous souhaitions calculer se trouvait au numérateur de la fraction. Manipuler l’équation pour déterminer 𝑥 était donc relativement simple. Voyons maintenant un autre exemple où l’inconnue est au dénominateur de la fraction.
Calculez 𝑥 en arrondissant votre réponse au centième près.
Dans ce triangle rectangle, nous connaissons la mesure de l’un des angles non droits et la longueur d’un côté. On souhaite calculer la longueur d’un autre côté de ce triangle. Et on peut pour cela utiliser la trigonométrie. Commençons par identifier les trois côtés de ce triangle par rapport à l’angle de 20 degrés. Le côté directement en face de l’angle droit est l’hypoténuse du triangle. Le côté en face de l’angle de 20 degrés est le côté opposé. Et le côté entre l’angle droit et l’angle de 20 degrés est le côté adjacent.
Rappelons ensuite l’acronyme SOHCAHTOA pour nous aider à décider si on doit utiliser le sinus, le cosinus ou la tangente pour cette question. Le côté que nous connaissons est le côté opposé. Et le côté que nous souhaitons calculer est l’hypoténuse. On va donc utiliser le sinus. Pour un angle 𝜃 dans un triangle rectangle, le sinus, ou sin, de 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse. On peut substituer les valeurs connues dans cette formule. 𝜃 mesure 20 degrés, le côté opposé mesure 12 unités et la longueur de l’hypoténuse est égale à cette inconnue 𝑥. On a donc l’équation sin de 20 degrés égale 12 sur 𝑥.
On doit être un peu prudents ici. Une erreur assez courante est de penser que l’inconnue, dans ce cas 𝑥, doit toujours être au numérateur de la fraction et d’écrire à tort sin de 20 degrés égale 𝑥 sur 12. Cela reviendrait cependant à diviser la longueur de l’hypoténuse par la longueur du côté opposé et non l’inverse. Cette erreur est malheureusement fréquente. Il faut donc prendre votre temps lorsque vous substituez les longueurs ou expressions des côtés du triangle dans les formules trigonométriques. On doit maintenant résoudre cette équation où 𝑥 apparaît au dénominateur de la fraction et cela nécessite deux étapes.
On commence par multiplier les deux membres de l’équation par l’inconnue 𝑥. Sur le membre gauche, on a maintenant 𝑥 sin 20 de degrés ; et sur le membre droit, 12 sur 𝑥 fois 𝑥 se simplifie par 12. On divise ensuite les deux membres de l’équation par sin de 20 degrés. Sin de 20 degrés est un simple nombre donc cela ne pose aucun problème. On obtient ainsi 𝑥 égale 12 sur sin de 20 degrés. Avec une calculatrice, on obtient une valeur de 35,085. Rappelez-vous de vérifier que votre calculatrice est bien paramétrée en mode degrés pour obtenir la bonne réponse. La question précise qu’on doit donner notre réponse au centième près. On l’arrondit donc à 35,09. En appliquant le sinus dans ce triangle rectangle, nous avons ainsi déterminé que la valeur de 𝑥 est 35,09 au centième près.
On a maintenant vu des exemples de calcul d’une longueur de côté inconnue lorsqu’elle apparaît au numérateur et au dénominateur d’une fraction. Résumons les étapes clés à suivre. On commence par identifier les trois côtés du triangle par rapport à l’angle connu en utilisant les lettres O, A et H représentant le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse. On identifie ensuite le côté dont on connaît la longueur et le côté dont on souhaite calculer la longueur. On utilise alors l’acronyme SOHCAHTOA pour décider quelle formule trigonométrique utiliser.
On écrit ensuite la formule trigonométrique et on substitue les valeurs connues et l’expression recherchée. Enfin, on résout l’équation pour trouver la longueur inconnue et on l’évalue à l’aide d’une calculatrice. N’oubliez pas que cela nécessite parfois plusieurs manipulations si la longueur à calculer est au dénominateur de la fraction.
Dans chacun des problèmes que nous avons vus jusqu’à présent, une représentation graphique du triangle était fourni. Ce n’est cependant pas toujours le cas. Passons donc à un exemple dans lequel on doit d’abord tracer le triangle à partir de sa description.
𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵 où la mesure de l’angle en 𝐶 est de 62 degrés et 𝐴𝐶 égale 17 centimètres. Calculez les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 en arrondissant les réponses au centième près. Calculez la mesure de l’angle en 𝐴 en arrondissant la réponse au degré près.
Commençons par dessiner ce triangle. On sait qu’il est rectangle en 𝐵. Donc 𝐵 est le sommet de l’angle droit et les deux autres sommets sont 𝐴 et 𝐶. L’énoncé indique également que la mesure de l’angle en 𝐶 est de 62 degrés et que 𝐴𝐶 mesure 17 centimètres. On doit calculer les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Il s’agit des deux autres côtés du triangle. On les appelle 𝑥 centimètres et 𝑦 centimètres. On doit également trouver la mesure de l’angle en 𝐴.
On peut en fait la calculer tout de suite puisqu’on connaît les mesures des deux autres angles du triangle. La somme des mesures des angles de tout triangle est égale à 180 degrés ; on peut donc calculer la mesure du troisième angle en soustrayant les deux autres à 180 degrés. Cela nous donne 28 degrés. Réfléchissons à présent à la façon dont on va trouver les longueurs des deux autres côtés de ce triangle. Commençons par identifier les trois côtés par rapport à l’angle de 62 degrés. 𝐴𝐶 est l’hypoténuse, 𝐴𝐵, que l’on appelle 𝑥 centimètres, est le côté opposé et 𝐵𝐶 est le côté adjacent.
On rappelle alors l’acronyme SOHCAHTOA qui nous aide à décider de quelle formule trigonométrique nous avons besoin pour calculer la longueur de chaque côté. En commençant par 𝐴𝐵, la longueur qu’on souhaite calculer est celle du côté opposé et la longueur qu’on connaît est celle de l’hypoténuse. On va donc utiliser le sinus. Le sinus de l’angle 𝜃 est en effet égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse. En substituant les mesures de ce triangle, on obtient sin de 62 degrés égale 𝑥 sur 17. On isole 𝑥 en multipliant les deux membres de l’équation par 17, ce qui donne 𝑥 égale 17 sin de 62 degrés. À l’aide d’une calculatrice on trouve 15,0101, que l’on arrondit par 15,01.
Pour calculer le deuxième côté 𝐵𝐶, plusieurs options sont possibles. Comme nous connaissons maintenant la longueur de deux côtés dans ce triangle rectangle, on pourrait calculer la longueur du troisième côté en appliquant le théorème de Pythagore. Mais l’objet de cette leçon étant la trigonométrie, on va plutôt calculer 𝐵𝐶 en utilisant les formules trigonométriques. Cette fois, la longueur qu’on souhaite calculer est celle du côté adjacent et le côté dont nous connaissons la longueur est l’hypoténuse. On va donc utiliser le cosinus. On pourrait également utiliser la longueur du côté qu’on vient de calculer, ce qui donnerait la paire O et A. Et cela correspondrait à la tangente. Mais il est préférable d’utiliser la valeur donnée dans l’énoncé au cas où on aurait fait une erreur lors du calcul de la longueur du côté opposé.
En substituant 62 degrés à 𝜃, 𝑦 au côté adjacent et 17 à l’hypoténuse, on obtient cos de 62 degrés égale 𝑦 sur 17. On peut ensuite multiplier les deux membres de l’équation par 17, ce qui donne 𝑦 égale 17 cos de 62 degrés et on peut le calculer sur une calculatrice en s’assurant qu’elle est paramétrée en mode degrés. On arrondit enfin au centième, ce qui donne 7,98. On a ainsi résolu le problème. La longueur de 𝐴𝐵 est 15,01 centimètres. Et la longueur de 𝐵𝐶 est 7,98 centimètres, chacune arrondies au centième près. La mesure de l’angle en 𝐴 est 28 degrés.
La trigonométrie des triangles rectangles est vraiment utile car elle peut également être appliquée dans des contextes réels. Les problèmes qu’on va résoudre sont souvent énoncés sous la forme d’une histoire ou d’une description d’une situation réelle, et ils peuvent être résolus en appliquant les techniques qu’on pratique ici. Si aucun dessin n’est fourni, la première étape est toujours d’en tracer un sur la base des informations fournies. Traitons un dernier exemple de ce type.
Un cerf-volant, qui est à une altitude de 44 mètres, est attaché à une corde inclinée de 60 degrés par rapport à l’horizontale. Calculez la longueur de la corde au dixième près.
Commençons par tracer un schéma du problème. On a un cerf-volant qui est attaché à une corde. Cette corde est inclinée de 60 degrés par rapport à l’horizontale et l’altitude du cerf-volant. C’est-à-dire la hauteur du cerf-volant qui fait un angle droit avec l’horizontale, est de 44 mètres. On peut maintenant voir qu’on obtient un triangle rectangle formé par le sol, la hauteur et la corde du cerf-volant. On souhaite calculer la longueur de la corde, appelons-la 𝑦 mètre. Comme on a un triangle rectangle, on peut aborder ce problème en utilisant la trigonométrie.
On identifie d’abord les trois côtés du triangle par rapport à l’angle de 60 degrés. On rappelle ensuite l’acronyme SOHCAHTOA pour décider de quelle formule trigonométrique nous avons besoin ici. Le côté dont nous connaissons la longueur est le côté opposé et le côté dont nous souhaitons calculer la longueur est l’hypoténuse. On va donc utiliser le sinus. Pour un angle 𝜃 dans un triangle rectangle, il est égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse. On peut alors substituer les mesures de 𝜃, du côté opposé et de l’hypoténuse dans cette équation, ce qui donne sin de 60 degrés égale 44 sur 𝑦.
Il faut ici faire attention car l’inconnue est au dénominateur de cette fraction. On résout maintenant cette équation. Comme 𝑦 est au dénominateur, la première étape consiste à multiplier les deux membres de l’équation par 𝑦, ce qui nous donne 𝑦 sin de 60 degrés égale 44. On divise ensuite les deux membres de l’équation par sin de 60 degrés, ce qui donne 𝑦 égale 44 sur sin de 60 degrés. Avec une calculatrice paramétrée en mode degrés, on obtient 50,806. La question demande cependant une réponse au dixième près. On arrondit donc cette valeur et on précise les unités qui sont ici des mètres. La longueur de la corde est donc de 50,8 mètres au dixième près.
Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Lorsque l’on travaille sur des triangles rectangles, on utilise les termes côté opposé, côté adjacent et hypoténuse pour désigner les trois côtés du triangle. L’hypoténuse est directement en face de l’angle droit et c’est toujours le côté le plus long d’un triangle. Le côté opposé et le côté adjacent sont définis par rapport à un angle, souvent noté 𝜃. Le côté opposé est le côté directement en face de cet angle, alors que le côté adjacent est le côté entre cet angle et l’angle droit. On peut utiliser l’acronyme SOHCAHTOA pour nous aider à déterminer la formule trigonométrique à utiliser pour calculer la longueur d’un côté inconnue. Sinus 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé sur la longueur de l’hypoténuse. Cosinus 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent sur la longueur de l’hypoténuse. Et tangente 𝜃 est égale à la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent.
Lorsque l’on utilise la trigonométrie pour déterminer une longueur de côté inconnue dans un triangle rectangle, on effectue les étapes suivantes. Tout d’abord, on identifie les côtés du triangle par rapport à l’angle connu 𝜃. On utilise ensuite SOHCAHTOA pour choisir la formule trigonométrique appropriée. On substitue alors la mesure d’angle connue et la longueur de côté connue. Enfin, on résout l’équation pour calculer l’inconnue. N’oubliez pas qu’on doit manipuler l’équation avec prudence si l’inconnue se trouve au dénominateur de la fraction. On a également vu que l’on peut appliquer ces techniques à des problèmes décrivant une situation réelle.