Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer une longueur de côté manquante dans un triangle rectangle en choisissant le rapport trigonométrique approprié pour un angle donné.
Les rapports trigonométriques associés au sinus, au cosinus et à la tangente sont trois outils fondamentaux pour travailler avec les triangles rectangles et les cercles. Pour comprendre ce que sont ces rapports, nous allons d’abord considérer quelques propriétés géométriques qui établissent leurs définitions.
Premièrement, nous rappelons que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à . Cela signifie que si nous avons un triangle rectangle avec un angle non droit de , alors l’autre angle non droit aura une mesure de .
Deuxièmement, nous rappelons le critère de similitude qui nous dit que si deux triangles ont les mêmes angles alors ils sont semblables. Si deux triangles sont semblables, alors ils ont la même forme et leurs côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles. En d’autres termes, les longueurs de leurs côtés sont des multiples les unes des autres.
Ces deux faits nous permettent de noter une propriété intéressante des triangles rectangles : la valeur du rapport des longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle dépend uniquement de l’angle et du choix des deux côtés. En d’autres termes, nous pouvons déterminer la valeur du rapport des longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle uniquement à partir de la mesure de l’angle.
Pour nous aider à comprendre cela, remarquons d’abord que tous les triangles rectangles sont semblables dès lors qu’ils possèdent un angle intérieur non droit de même mesure. En effet, si deux triangles rectangles ont deux angles de et , le troisième angle a obligatoirement une mesure de , de sorte que les triangles sont semblables d’après le critère de similitude. Or, si deux triangles sont semblables, nous rappelons que les rapports des longueurs des côtés correspondants sont égaux.
Par exemple, étant donné que tous les triangles rectangles ayant un angle de sont semblables, considérons les triangles suivants, et .
Comme ces triangles sont semblables, le rapport des longueurs de leurs côtés correspondants doit être égal, c'est-à-dire :
Par conséquent,
En réarrangeant, on obtient
Par conséquent, tous les triangles rectangles avec un angle de ont les mêmes rapports de longueurs entre cotés correspondants. Bien sûr, le choix de est arbitraire ; ce résultat serait vrai quel que soit l’angle que nous choisissons.
Avant d’énoncer ce résultat et de discuter de ses utilisations, nous devons préciser exactement ce que l’on entend par « côtés correspondants ». Dans notre exemple ci-dessus, les côtés correspondants étaient faciles à déterminer car nous pouvions voir facilement quels côtés étaient proportionnels. Cependant, en général, ce n’est pas si facile. Ainsi, afin de faciliter leurs identifications, nous désignons chacun des côtés du triangle en fonction de leur position par rapport à l’angle d’étude.
Puisqu’il y a trois côtés, nous aurons besoin de trois noms pour les côtés du triangle. Tout d’abord, nous rappelons que l’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long et qu’il est toujours opposé à l’angle droit. Dans le triangle , on voit que est le côté opposé à l’angle droit, c’est donc l’hypoténuse. Enfin, nous pouvons désigner les côtés restants en considérant leurs positions par rapport à ; on voit que est opposé à l’angle, nous l’appellerons donc le côté opposé. est le côté adjacent à l’angle qui n’est pas l’hypoténuse, nous l’appellerons donc le côté adjacent. Cela nous donne donc :
D’après ce qui précède, nous savons que le rapport de la longueur du côté opposé à l’angle de et de la longueur du côté adjacent à l’angle de est le même pour tout triangle rectangle avec un tel angle. On peut donc définir des fonctions qui prennent, en entrée, un angle entre et et qui nous donnent, en sortie, les valeurs de ces rapports trigonométriques.
Définition : Rapports trigonométriques
Les rapports trigonométriques d’un angle sont les rapports des longueurs des côtés dans un triangle rectangle avec un tel angle. Ainsi, soit : hypoténuse, opposé et adjacent les côtés d’un triangle rectangle ayant un angle non droit , alors
Il peut être assez difficile de se rappeler exactement quels côtés correspondent à quel rapport trigonométrique. Ainsi, pour nous y aider, nous utilisons l’acronyme SOH CAH TOA.
Acronyme : SOH CAH TOA
On peut se rappeler quel couple de côtés correspond à quelle fonction trigonométrique en utilisant l’acronyme SOH CAH TOA. La première lettre de chaque triplet correspond à la fonction trigonométrique, la deuxième au numérateur du rapport, et la troisième au dénominateur.
Une fois que nous avons identifié les bons côtés et par conséquent le bon rapport dans notre triangle rectangle, nous pouvons substituer n’importe quelle valeur dans la formule et résoudre l’équation pour trouver la longueur d’un côté ou la mesure d’un angle.
Regardons un premier exemple où nous devrons désigner les côtés d’un triangle et utiliser les fonctions trigonométriques pour déterminer la longueur d’un côté.
Exemple 1: Déterminer une longueur manquante dans un triangle rectangle en utilisant la trigonométrie
Déterminez sur la figure donnée. Donnez la réponse arrondie au centième.
Réponse
Nous cherchons à déterminer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle en utilisant la longueur d’un autre coté et la mesure d’un angle. Pour cela, nous pouvons utiliser les fonctions trigonométriques. Nous devons commencer par déterminer quelle fonction trigonométrique relie la longueur manquante à celle de longueur 11. Pour cela, on désigne les côtés en fonction de leur position par rapport à l’angle de . L’hypoténuse est opposée à l’angle droit, est opposé à l’angle de et est donc le côté opposé, et enfin, le côté restant est donc le côté adjacent.
Nous avons donc la longueur du côté adjacent, et nous cherchons celle du côté opposé. Cela signifie que nous devons utiliser le rapport trigonométrique qui relie ces deux côtés. Pour savoir quelle fonction trigonométrique fait intervenir quels côtés, on utilise l’acronyme SOH CAH TOA.
Cela nous permet d’identifier que la fonction tangente est le rapport entre la longueur du côté opposé et celle du côté adjacent. Ainsi, nous avons :
Pour trouver on multiplie par 11 :
On obtient la valeur recherchée, en utilisant une calculatrice, en nous assurant bien, au préalable, que la calculatrice est sur le mode degrés :
En arrondissant cette valeur au centième, on obtient
Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé une fonction trigonométrique pour déterminer une longueur de côté manquante dans un triangle rectangle en utilisant une autre longueur et la mesure d’un angle. Nous pouvons suivre ce même raisonnement pour déterminer des longueurs dans n’importe quel triangle rectangle.
Comment : Trouver la longueur manquante d’un côté dans un triangle rectangle dont on connait la mesure d’un angle et la longueur d’un côté
- Si aucune figure n’est donnée, faire une figure à partir des informations disponibles.
- Désigner les côtés du triangle rectangle en fonction de leurs positions par rapport à l’angle connu.
- Utiliser l’acronyme SOH CAH TOA pour déterminer quel rapport trigonométrique fait intervenir la longueur du côté connue et celle que l’on recherche.
- Substituer les valeurs connues et résoudre l’équation puis déterminer la longueur recherchée en utilisant une calculatrice.
Voyons maintenant un exemple où nous devons trouver les longueurs manquantes de deux côtés d’un triangle rectangle dont on connait une longueur et un angle.
Exemple 2: Utiliser les rapports trigonométriques pour déterminer les longueurs manquantes de deux cotés d’un triangle rectangle
Déterminez les valeurs de et en arrondissant au millième.
Réponse
Nous cherchons à déterminer les longueurs de deux des côtés d’un triangle rectangle dont on connait une longueur et un angle. Pour cela, nous utiliseront les fonctions trigonométriques.
Nous devons commencer par déterminer les fonctions trigonométriques qui relient les longueurs recherchées au côté de longueur 28 cm. Pour cela, on désigne les côtés en fonction de leur position par rapport à l’angle de .
On rappelle que l’hypoténuse est le côté le plus long et qu’il est opposé à l’angle droit. C’est donc le côté de longueur . Le côté opposé est le côté de longueur 28 cm, et le côté adjacent est le côté de longueur . Cela nous donne :
On peut maintenant chercher les rapports trigonométriques qui impliquent les longueurs et dans ce triangle. Pour cela, on utilise l’acronyme SOH CAH TOA.
Nous cherchons le rapport trigonométrique impliquant le côté opposé et le côté adjacent pour déterminer et le rapport trigonométrique impliquant le côté opposé et l’hypoténuse pour déterminer . Nous voyons que ce sont respectivement les fonctions : tangente et sinus.
Commençons par déterminer la valeur de :
Pour isoler , nous réarrangeons en multipliant par et en divisant par , ce qui donne :
A l’aide d’une calculatrice, après d’être assuré que la calculatrice est sur le mode degrés, on obtient :
En arrondissant cette valeur au millième, on a
Il y a maintenant plusieurs méthodes que nous pouvons utiliser pour déterminer la valeur de ; nous en passerons deux en revue. Une première méthode consiste à utiliser la fonction sinus comme suit :
On multiplie par et on divise par pour obtenir
Avec la calculatrice, on obtient :
Arrondie au millième, cela donne :
La deuxième méthode pour trouver est d’utiliser le théorème de Pythagore, selon lequel, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Cela nous donne :
Nous avons constaté que et il est important d’utiliser la valeur exacte pour éviter les erreurs d’arrondi. En substituant cela dans l’équation et en simplifiant, on obtient :
Pour trouver , on prend la racine carrée des deux côtés de l’équation, car est une longueur et doit donc être positive ce qui donne : ce qui est cohérent avec la valeur de trouvée précédemment.
Ainsi, arrondies au millième, et .
Voyons maintenant comment appliquer cela à un problème concret.
Exemple 3: Utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle pour résoudre un problème concret
Un cerf-volant, qui est à une hauteur de 44 m, est attaché à une corde inclinée de par rapport à l’horizontale. Déterminer la longueur de la corde, arrondie au dixième.
Réponse
On commence par faire une figure pour représenter les informations qui nous sont données. L’angle par rapport à l’horizontale est de et la hauteur du cerf-volant est de 44 m, ce qui nous donne :
Nous voulons déterminer la longueur de la corde, que nous avons nommée ; il s’agit de la longueur manquante d’un triangle rectangle dont on connait la longueur d’un côté et la mesure d’un angle. Nous pouvons utiliser la trigonométrie.
On commence par désigner les côtés du triangle en fonction de leur position par rapport à l’angle de . Le côté de longueur est opposé à l’angle droit, c’est donc l’hypoténuse. Le côté de longueur 44 m est le côté opposé à cet angle et le sol est le côté adjacent.
Nous connaissons la longueur du côté opposé et nous cherchons la longueur de l’hypoténuse. On utilise l’acronyme SOH CAH TOA pour trouver le bon rapport.
Nous avons donc besoin du rapport trigonométrique qui fait intervenir le côté opposé et l’hypoténuse. C’est donc le sinus.
On peut écrire :
En multipliant par , on obtient
La division par donne
En utilisant une calculatrice on obtient :
Enfin, arrondie au dixième, cela donne :
Dans le prochain exemple, nous déterminerons toutes les longueurs manquantes et l’angle d’un triangle rectangle dont on ne connait qu’une seule longueur et un seul des angles non droit.
Exemple 4: Déterminer toutes les grandeurs manquantes dans un triangle rectangle
Soit la figure suivante, déterminez les longueurs de et et la mesure de en degrés. Donnez vos réponses arrondies au centième.
Réponse
Pour déterminer la mesure de , on rappelle que la somme des angles d’un triangle est . Par conséquent,
Pour déterminer les longueurs des côtés, nous utiliserons la trigonométrie. On commence par désigner les côtés du triangle, est le côté le plus long (car il est opposé à l’angle droit), c’est donc l’hypoténuse. Ensuite, nous désignons les côtés en fonction de leur position par rapport à l’angle de . On voit que est opposé à l’angle et est adjacent à l’angle, ce qui nous donne :
Ensuite on trouve la fonction trigonométrique appropriée en utilisant l’acronyme SOH CAH TOA.
On connaît la longueur du côté opposé à l’angle , nous avons donc besoin des deux rapports utilisant cette valeur pour déterminer les autres longueurs.
Premièrement, nous avons
On multiplie par et on divise par pour obtenir
Avec la calculatrice, en arrondissant au centième, on obtient
Deuxièmement, nous avons
On multiplie par et on divise par pour obtenir
Avec la calculatrice, en arrondissant au centième, on obtient
Ainsi, avec deux décimales après la virgule, nous avons , et .
Dans le prochain exemple, il faudra d’abord faire une figure puis utiliser la trigonométrie pour déterminer des longueurs d’un triangle rectangle dont on connait un angle et une longueur.
Exemple 5: Utiliser la trigonométrie pourdéterminer des grandeurs dans un triangle rectangle
Soit un triangle rectangle en avec et . Déterminez les longueurs de et en donnant la réponse au centième près et la mesure de en donnant la réponse au degré près.
Réponse
On commence par rassembler les informations sur une figure. On sait que l’angle droit est en et que et . Cela nous donne :
On peut trouver en utilisant le fait que la sommes des mesures des angles d’un triangle vaut . Ce qui nous donne
Ensuite, on détermine les longueurs des deux côtés en utilisant la longueur connue et la mesure d’un angle. Nous rappelons que nous pouvons le faire à l’aide des fonctions trigonométriques.
Pour cela, il faut d’abord déterminer quelle fonction trigonométrique relie les longueurs manquante et la longueur de 17 cm. On commence par désigner les cotés en fonction de leur position par rapport à l’angle de mesure .
L’hypoténuse est le côté le plus long et est opposée à l’angle droit, c’est . Le côté opposé est , et le côté adjacent est . Ainsi, on a :
Nous pouvons désormais identifier les fonctions impliquant et en regardant les rapports trigonométriques dans ce triangle. On utilise pour cela les acronymes SOH CAH TOA.
Nous cherchons le rapport trigonométrique impliquant le côté opposé et l’hypoténuse pour déterminer et le rapport trigonométrique impliquant l’hypoténuse et le côté adjacent pour déterminer . Nous voyons que ce sont respectivement les fonctions sinus et cosinus.
Commençons par déterminer la valeur de :
On isole en multipliant par 17 :
Avec la calculatrice, après s’être bien assuré d’être en mode degrés, on obtient :
En arrondissant au centième, on obtient
On passe ensuite à la longueur de en utilisant le rapport du cosinus :
Après multiplication par 17, avec la calculatrice on obtient :
On peut arrondir cette valeur au centième pour obtenir :
Ainsi, arrondi au centième, , , et, au degré près, .
Dans notre prochain exemple, nous étudierons un triangle isocèle comme deux triangles rectangles afin de déterminer la longueur de sa base en utilisant la trigonométrie dans un triangle rectangle.
Exemple 6: Utiliser la trigonométrie pour déterminer la longueur de la base d’un triangle isocèle
Soit un triangle isocèle avec , et . Déterminez la longueur de en donnant la réponse au dixième près.
Réponse
On remarque déjà que puisque un angle plat vaut . On remarque également que les angles opposés aux côtés de même longueur dans un triangle isocèle sont égaux, de sorte que . Cela signifie que et sont deux triangles rectangles avec les mêmes angles, et . Ainsi, d’après le critère de superposition , ces triangles sont superposables.
Puisque , et comme ces deux segments ont les mêmes longueurs, il suffit de déterminer la longueur de l’un de ces segments. En particulier, nous avons
Puisque est le côté d’un triangle rectangle dont on connait un angle et une longueur, nous pouvons utiliser la trigonométrie pour déterminer sa longueur. On commence par désigner les côtés du triangle . L’hypoténuse est le côté le plus long qui est opposé à l’angle droit, c’est donc . Le côté opposé à l’angle est et le côté adjacent à cet angle est . Ce qui nous donne :
Nous pouvons maintenant utiliser l’acronyme SOH CAH TOA pour nous aider à nous identifier quel rapport trigonométrique est le quotient du côté adjacent et de l’hypoténuse.
On voit que c’est la fonction cosinus. La substitution de l’angle et des côtés dans la formule nous donne
En multipliant par 9 on obtient
Nous pourrions évaluer cela à la calculatrice mais, nous cherchons à trouver le double de cette valeur pour obtenir la longueur , donc on multiplie d’abord par 2 pour obtenir
A la calculatrice on obtient :
Enfin, en arrondissant cette valeur au dixième, on a :
Dans le dernier exemple, dans un triangle quelconque, nous utiliserons deux angles et une longueur pour déterminer une autre longueur.
Exemple 7: Diviser un triangle en triangles rectangles pour calculer une longueur inconnue
Soit la figure ci-dessous avec .
Que vaut ? Donnez la réponse arrondie au centième.
Réponse
Commençons par mettre à jour la figure en utilisant le fait que .
Nous voulons déterminer , mais nous n’avons pas de côtés dans le triangle . On remarque que nous pouvons utiliser la longueur du côté connue dans le triangle rectangle pour déterminer en utilisant la trigonométrie. On pourra alors utiliser pour trouver .
Commençons donc par calculer en utilisant la trigonométrie. On désigne d’abord les côtés du triangle . est le côté le plus long car opposé à l’angle droit, c’est donc l’hypoténuse. est opposé à l’angle de et est finalement le côté adjacent à cet angle.
Pour déterminer nous devons utiliser la fonction trigonométrique qui est le quotient du côté opposé et de l’hypoténuse. Pour l’identifier on utilise l’acronyme SOH CAH TOA.
C’est donc la fonction sinus qui est le rapport entre la longueur du côté opposé à et la longueur de l’hypoténuse. En substituant les valeurs du triangle rectangle, on obtient
On peut alors résoudre pour trouver en multipliant par 3,5 :
Nous pourrions évaluer cette expression à la calculatrice ; cependant, comme nous allons l’utiliser pour calculer une autre longueur, il vaut mieux conserver sa valeur exacte.
Pour appliquer la trigonométrie au triangle rectangle , on commence par désigner ses côtés. est l’hypoténuse car opposée à l’angle droit, est le côté opposé à l’angle de , et est le côté adjacent.
Nous voulons déterminer la longueur de l’hypoténuse, et nous connaissons la longueur du côté opposé, alors nous allons utiliser la fonction sinus :
Pour trouver on multiplie par puis on divise par :
La calculatrice nous donne
En arrondissant à deux décimales, nous obtenons :
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Lorsque nous travaillons avec des triangles rectangles, nous utilisons les termes : opposé, adjacent et hypoténuse pour désigner les côtés du triangle. L’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit et représente le côté le plus long. Les côtés opposé et adjacent sont repérés par rapport à un angle donné, souvent noté . L’opposé est le côté opposé à l’angle . Enfin, l’adjacent est le côté voisin de l’angle différent de l’hypoténuse.
- Les rapports trigonométriques d’un angle sont les rapports des longueurs des côtés d’un triangle rectangle. En particulier, si on désigne les côtés d’un triangle rectangle à partir d’un angle par : hypoténuse, opposé et adjacent, alors :
- Nous pouvons déterminer les longueurs des côtés manquants dans un triangle rectangle en utilisant un angle non droit et une longueur de côté en respectant les étapes suivantes.
- Si aucune figure n’est donnée, faire une figure à partir des informations disponibles.
- Désigner les côtés du triangle rectangle en fonction de leurs positions par rapport à l’angle connu.
- Utiliser l’acronyme SOH CAH TOA pour déterminer quel rapport trigonométrique comprend la longueur du côté connue et la longueur du côté recherchée.
- Substituer les valeurs connues et réarranger pour résoudre l’équation et déterminer la longueur en utilisant une calculatrice.
