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La pente en le point de coordonnées 𝑥, 𝑦 à la courbe d’une fonction a pour expression cinq 𝑥 moins deux sur 𝑥. Déterminez l’équation de la courbe représentative sachant qu’elle passe par le point de coordonnées 𝑒, cinq 𝑒 plus trois.
Pour répondre à cette question, il est important de remarquer qu’on nous donne une expression de la pente de notre fonction. Or on sait qu’on peut déterminer la pente en tout point en dérivant l’expression de la fonction d’origine par rapport à 𝑥. Donc, si on nous donne une courbe 𝑦 égale à une fonction de 𝑥, alors la dérivée d𝑦 sur d𝑥 est sa pente. Donc dans notre cas, d𝑦 sur d𝑥 est égal à cinq 𝑥 moins deux sur 𝑥.
D’après le théorème fondamental de l’analyse, on sait que la dérivation et l’intégration sont des opérations opposées. Donc si on intègre notre expression de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥, on obtiendra notre équation de 𝑦. Mais l’équation ainsi obtenue sera une équation générale de notre courbe. Il faudra ensuite utiliser le fait qu’elle passe par le point 𝑒, cinq 𝑒 plus trois pour trouver une équation particulière de notre courbe. Donc on commence par intégrer d𝑦 sur d𝑥, ce qui nous donne l’intégrale indéfinie de cinq 𝑥 moins deux sur 𝑥 par rapport à 𝑥. Avant d’essayer d’intégrer, on doit simplifier l’intégrande. Pour cela, on divise chaque terme du numérateur par 𝑥. Cela nous donne l’intégrale indéfinie de cinq moins deux sur 𝑥 par rapport à 𝑥.
On peut maintenant intégrer terme à terme. L’intégrale de cinq est égale à cinq 𝑥. Et l’intégrale de un sur 𝑥 est égale au logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥. Donc l’intégrale de moins deux sur 𝑥 est égale à moins deux fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥. Et bien sûr, comme c’est une intégrale indéfinie, on doit ajouter une constante d’intégration. Donc on a 𝑦 égale cinq 𝑥 moins deux fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝐶.
Évidemment, pour obtenir l’équation de notre courbe, on doit maintenant déterminer la valeur de 𝐶. On sait que notre courbe passe par le point 𝑒, cinq 𝑒 plus trois. En d’autres termes, quand 𝑥 est égal à 𝑒, 𝑦 est égal à cinq 𝑒 plus trois. Alors remplaçons ces valeurs dans notre équation. Cela nous donne cinq 𝑒 plus trois égale cinq 𝑒 moins deux fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑒, plus 𝐶. Et comme 𝑒 est un nombre positif, la valeur absolue n’est pas nécessaire. On sait également que le logarithme népérien de 𝑒 est simplement égal à un. Donc moins deux fois le logarithme népérien de 𝑒 est égal à moins deux. On a maintenant l’équation cinq 𝑒 plus trois égale cinq 𝑒 moins deux plus 𝐶. On peut soustraire cinq 𝑒 des deux côtés. Puis on additionne deux des deux côtés. On obtient alors 𝐶 égale cinq.
Nous avons donc déterminé l’équation de notre courbe à partir de sa pente et des coordonnées de l’un de ses points. L’équation de notre courbe est 𝑦 égale cinq 𝑥 moins deux fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus cinq.
