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Le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 est de côté 10 centimètres. Que vaut le produit scalaire entre les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐁𝐂 ?
Dans cette question, on nous a donné quelques informations sur le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷. On nous indique que la longueur des côtés de ce carré est de 10 centimètres. On doit utiliser cette information pour déterminer le produit scalaire entre les vecteurs représentant deux de ses côtés, le vecteur 𝐀𝐁 et le vecteur 𝐁𝐂.
Nous allons commencer par dessiner notre carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de longueur de côté 10 centimètres. Il existe en fait plusieurs façons de calculer ce produit scalaire. Par exemple, on peut écrire les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐁𝐂 en fonction de leur composantes à partir de notre schéma. On voit par exemple que le vecteur qui va de 𝐴 à 𝐵 n'a pas de composante horizontale et que sa composante verticale sera 10 centimètres. Ainsi, on peut représenter le vecteur qui va de 𝐴 à 𝐵 par une composante horizontale nulle et une composante verticale de 10, car pour aller du point 𝐴 au point 𝐵, on augmente la composante verticale de 10 centimètres.
On peut faire exactement la même chose pour notre vecteur 𝐁𝐂. Pour passer du point 𝐵 au point 𝐶, la composante verticale sera nulle. Par contre, on augmente notre composante horizontale de 10. Donc, le vecteur de 𝐵 à 𝐶 peut être représenté par le vecteur 10, zéro.
On peut maintenant déterminer directement le produit scalaire entre ces deux vecteurs. Pour cela, il faut rappeler comment on calcule exactement le produit scalaire entre deux vecteurs. En effet, on multiplie les composantes correspondantes, puis on additionne les résultats. On commence donc par multiplier les premières composantes de nos vecteurs. C'est zéro fois 10. Ensuite, on rajoute le produit des secondes composantes de nos vecteurs. Cela fait 10 fois zéro. Et on peut bien sûr le calculer. C’est égal à zéro.
Mais ce n'est pas la seule façon possible pour calculer cette expression. On connaît une formule impliquant le produit scalaire entre deux vecteurs et l'angle entre eux. Rappelons que si thêta est l'angle entre deux vecteurs 𝐮 et 𝐯, donc le cosinus de thêta doit être égal au produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯. Une autre méthode pour calculer le produit scalaire donné dans la question est donc de trouver la norme de nos deux vecteurs et l'angle qui les sépare. Ensuite, il suffit de réarranger cette équation et de déterminer le produit scalaire.
Tout d'abord, calculons la norme de nos deux vecteurs. C'est le vecteur 𝐀𝐁 et le vecteur 𝐁𝐂. Selon cette notation, le vecteur 𝐀𝐁 est le vecteur de 𝐴 à 𝐵 et le vecteur 𝐁𝐂 est le vecteur de 𝐵 à 𝐶. On voit sur le schéma que ces deux vecteurs seront les longueurs des côtés de notre carré. On nous dit dans la question que le carré a une longueur de 10 centimètres. Donc on peut commencer par dire que la norme de 𝐀𝐁 et la norme de 𝐁𝐂 seront de 10 centimètres.
Il nous faut maintenant déterminer l'angle entre nos deux vecteurs. Pour cela, on va commencer par dessiner ces vecteurs sur notre schéma. On commence par dessiner le vecteur 𝐀𝐁. Il s'agit du vecteur allant de 𝐴 à 𝐵. Nous allons aussi dessiner le vecteur de 𝐵 à 𝐶.
On doit faire attention ici. Il serait très tentant d'appeler l'angle 𝐴𝐵𝐶 l'angle entre ces deux vecteurs. Cependant, ce serait incorrect. En effet, pour déterminer l'angle entre nos deux vecteurs, il faut que nos vecteurs partent du même point. On voit que ce n'est pas vrai dans notre schéma. En effet, le vecteur 𝐀𝐁 commence au point 𝐴 et se termine au point 𝐵 et le vecteur 𝐁𝐂 commence au point 𝐵 et se termine au point 𝐶. On va donc devoir déplacer un de nos vecteurs. On va déplacer le vecteur 𝐁𝐂.
Un vecteur est un objet avec une norme et une direction. Donc si la norme et la direction de deux vecteurs sont les mêmes, alors les vecteurs sont identiques. Puisque 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré, nous savons que la longueur de 𝐴𝐷 est égale à 10 et nous savons aussi que les vecteurs 𝐀𝐃 et 𝐁𝐂 sont parallèles. Donc, ce que nous venons de montrer est que le vecteur de 𝐴 à 𝐷 et le vecteur de 𝐵 à 𝐶 ont la même norme et la même direction. Il s'agit du même vecteur. Donc, l'angle entre nos vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐁𝐂 est représenté par l'angle 𝐷𝐴𝐵. Il s'agit bien sûr d'un angle droit. Donc on sait qu'il est égal à 90 degrés.
Après avoir trouvé la norme de nos vecteurs et l'angle qu'ils forment, on peut les substituer dans notre formule. Ainsi, cosinus de 90 degrés est égal au produit scalaire de nos vecteurs 𝐀𝐁, 𝐁𝐂 divisé par 10 fois 10. Et si on commence à évaluer cette expression, on aboutit à quelque chose d'intéressant. Le cosinus de 90 degrés vaut zéro. Le membre de droite de cette équation doit donc être égal à zéro. Et par conséquent, notre numérateur est nul.
Ce qui prouve également que le produit scalaire entre ces deux vecteurs est nul. Et ça illustre une bel usage d'une de nos propriétés. On sait que si 𝐮 et 𝐯 sont des vecteurs perpendiculaires, alors le produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯 sera nul. Et ceci parce que 𝐮 et 𝐯 étant perpendiculaires, cela signifie que l'angle entre eux est de 90 degrés. Et si l'angle thêta est de 90 degrés, le cosinus de 90 degrés est nul. Le membre de droite de cette équation doit donc être égal à zéro. La seule façon pour que cela soit vrai est que le produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯 soit nul.
Nous avons donc pu utiliser deux méthodes différentes pour calculer le produit scalaire entre les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐁𝐂, qui sont les longueurs des côtés du carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de 10 centimètres. On a pu montrer, dans les deux cas, qu’il est égal à zéro.
