Transcription de la vidéo
Calculez l’aire totale de la pyramide régulière dans la figure suivante, au centième près.
L’aire totale d'une pyramide est la somme des surfaces de toutes ses faces. Cette pyramide a une base triangulaire. Comme on nous dit que cette pyramide est régulière, cela signifie que la base est un triangle régulier. C’est un triangle équilatéral. On voit sur la figure que la longueur des côtés de ce triangle équilatéral est de 33,5 centimètres. Nous verrons comment trouver l'aire de ce triangle. De plus, la pyramide a trois faces latérales triangulaires, et comme cette pyramide est régulière, les trois faces latérales sont superposables. D'après la figure, on peut voir que chacun de ces triangles a une base de 33,5 centimètres, c'est la longueur du côté du triangle équilatéral et de la base de la pyramide, et une hauteur perpendiculaire de 38,5 centimètres, qui est la hauteur latérale de la pyramide.
En appliquant la formule de l'aire d'un triangle, à savoir la base fois la hauteur perpendiculaire sur deux, l'aire de chacune de ces faces est de 33,5 fois 38,5 sur deux. Comme il y en a trois, la surface latérale totale de la pyramide est trois fois cette valeur. En utilisant une calculatrice, on obtient 1 934,625. Les unités de cette surface sont les centimètres carrés. Voyons maintenant comment déterminer l'aire de la base. On peut tracer une perpendiculaire entre un sommet de ce triangle et le milieu du côté opposé. Cela va diviser le triangle équilatéral en deux triangles rectangles superposables.
Chacun de ces triangles rectangles a une hypoténuse de 33,5 centimètres et une base de la moitié de celle-ci, soit 16,75 centimètres. Ces triangles étant des triangles rectangles, les longueurs de leurs trois côtés sont liées par le théorème de Pythagore, qui stipule que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l'hypoténuse. Donc, si nous appelons la hauteur perpendiculaire de ce triangle ℎ, on obtient que ℎ au carré plus 16,75 au carré égale 33,5 au carré. Si on soustrait 16,75 au carré de chaque côté, on obtient que ℎ au carré est égale à 33,5 au carré moins 16,75 au carré, soit 841,6875. Donc ℎ est égale à racine carrée de cela, en ne retenant que la valeur positive puisque ℎ est une longueur. Sous sa forme exacte, c'est 67 racine de trois sur quatre.
On sait donc maintenant que ce triangle équilatéral a une base de 33,5 centimètres et une hauteur perpendiculaire de 67 racine trois sur quatre centimètres. En appliquant la formule de l'aire : la base fois la hauteur perpendiculaire sur deux, on obtient l'aire de la base triangulaire : 33,5 fois 67 racine de trois sur quatre fois un demi. En décimal, cela donne 485,9485 ainsi de suite. Et encore une fois, les unités sont les centimètres carrés. La surface totale de la pyramide est donc la somme de la surface de base et de la surface latérale, soit 2 420,5735 ainsi de suite. Il suffit d'arrondir cette valeur au centième près, soit à la deuxième décimale.
Ainsi, la surface totale de la pyramide régulière donnée, arrondie au centième près, est de 2 420,57 centimètres carrés.
