Vidéo de la leçon: Aire de surface des pyramides Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer les aires latérales et totales d’une pyramide. Nous rappellerons ce qu’est une pyramide, comment déterminer son aire, puis nous verrons comment résoudre certains problèmes typiques les impliquant.

Commençons par réfléchir à ce qu’est vraiment une pyramide. Les pyramides sont des figures tridimensionnelles, dont la base est un polygone, par exemple un triangle, un carré ou même un pentagone. Et tous les autres côtés sont des triangles qui se rencontrent au sommet. Dans notre première figure, nous avons une pyramide à base carrée. Dans la deuxième, nous avons une pyramide à base triangulaire. Et dans la troisième figure, nous avons une pyramide dont la base est un pentagone.

Dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur les pyramides à base carrée, les pyramides à base rectangulaire et les pyramides à base triangulaire. Nous allons également examiner deux types spécifiques de pyramides, les pyramides droites et les pyramides régulières. Une pyramide droite est une pyramide dont le sommet se situe au-dessus du centre géométrique de la base. Une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier. Ensuite, rappelons ce qu’est l’aire de surface. L’aire de surface est l’aire totale d’une figure tridimensionnelle. Par exemple, si nous voulions déterminer l’aire de ce cube, nous pourrions le faire plus facilement en visualisant le patron du cube.

Donc pour déterminer l’aire du cube, nous calculerions l’aire des six faces individuelles et les additionnerions. Lorsque nous déterminons l’aire d’une figure tridimensionnelle, les unités sont des unités carrées. Il est important de se rappeler que l’aire est différente du volume même si elles impliquent toutes deux des formes tridimensionnelles. Lorsque nous calculons un volume, nous calculons la quantité d’espace occupée par un objet. Lorsque nous calculons l’aire, nous calculons l’aire totale de chaque face individuelle.

Alors maintenant, voyons le principal objectif de cette vidéo. C’est-à-dire comment déterminer l’aire d’une pyramide. Ici, nous avons une pyramide à base carrée typique. Pour déterminer l’aire, nous devons déterminer l’aire du carré sur la base, puis l’aire du triangle du fond. Puis celles des deux triangles sur les côtés, puis l’aire du triangle à l’avant, puis les additionner. En fait, ce diagramme devient un peu compliqué et difficile utiliser. Alors parfois, dessiner le patron peut simplifier les choses.

Une fois que nous avons dessiné le patron, nous pouvons voir qu’il y a un carré et quatre triangles. Nous pourrions alors transférer toutes les informations qui nous ont été données sur les dimensions de la pyramide. Nous devons faire très attention à la hauteur de la pyramide. Lorsque nous travaillons avec l’aire d’une pyramide, l’une des choses qu’on pourrait nous demander est l’aire latérale. Il s’agit de la surface totale des côtés latéraux, à l’exclusion de la base. Dans notre pyramide à base carrée, cela inclurait l’aire des quatre triangles latéraux, mais pas l’aire de la base carrée.

Lorsque nous incluons l’aire de la base, nous appelons cela l’aire totale. Donc pour déterminer l’aire totale de cette pyramide à base carrée, nous avons les aires totales des quatre triangles plus l’aire du carré sur la base. Lorsque nous examinons des questions concernant l’aire d’une pyramide, nous devons vérifier si le mot latéral est présent ou non.

Alors maintenant, regardons quelques exemples de questions.

Si la figure donnée était pliée en une pyramide à base carrée, déterminez son aire latérale.

Ici, nous avons le patron d’une pyramide à base carrée. Si nous plions ce patron en une pyramide, nous obtenons un carré à la base et quatre côtés latéraux triangulaires. Ici, on nous demande de déterminer l’aire latérale. Cela signifie donc que nous allons déterminer l’aire des quatre triangles et les additionner. Nous ne nous soucions pas de l’aire du carré à la base de cette pyramide. Comme on nous dit que cette base est un carré, nous savons que les quatre longueurs de la base sont égales. Et nous avons également quatre triangles superposables.

Pour déterminer l’aire de l’un de ces triangles, on nous dit que la longueur de la base est de 14 centimètres et la hauteur est de 15 centimètres. Pour déterminer l’aire d’un triangle, nous calculons un demi multiplié par la base multiplié par la hauteur. Donc pour l’un de nos triangles, avec une base de 14 et une hauteur de 15, nous avons un demi multiplié par 14 multiplié par 15. Cela peut être simplifié pour donner sept fois 15, ce qui nous donne 105. Et les unités ici sont des centimètres carrés puisque nous avons affaire à une aire.

Alors maintenant que nous avons calculé l’aire d’un triangle, nous pouvons déterminer l’aire latérale en additionnant l’aire des quatre triangles. Comme ces triangles sont superposables, cela signifie que nous allons calculer quatre fois 105, soit 420 centimètres carrés. Voilà donc notre aire latérale, et nous rappelons que nous n’avons pas eu besoin de calculer l’aire de la base carrée.

Voyons maintenant une autre question impliquant une pyramide à base carrée.

Déterminez l’aire de la pyramide à base carrée donnée, sachant que toutes ses faces triangulaires sont superposables.

Nous pouvons voir que cette pyramide a une base carrée de 37 pouces par 37 pouces. Et nous pouvons également voir qu’il y a quatre côtés latéraux triangulaires. On nous dit que la hauteur du triangle est de 44 pouces. Et on nous dit que ces quatre triangles sont tous superposables. On nous demande de calculer l’aire de cette pyramide. Et nous pouvons voir que le patron dessiné ici aidera à rendre les choses un peu plus faciles. Pour déterminer l’aire d’une pyramide, nous calculons l’aire de tous les côtés latéraux et l’ajoutons à l’aire de la base. Donc dans ce cas, nous devrons calculer l’aire des quatre triangles et l’ajouter à l’aire du carré.

Commençons par calculer l’aire de l’un de ces triangles. Et nous pouvons rappeler que l’aire d’un triangle est égale à un demi multiplié par la base multiplié par la hauteur. Pour notre triangle, nous avons une base de 37 et une hauteur de 44. Nous calculons donc un demi multiplié par 37 multiplié par 44. Nous pouvons simplifier ce calcul en 37 fois 22, ce qui nous donne une réponse de 814 pouces carrés. Dans un instant, nous pourrons multiplier cela par quatre pour déterminer l’aire de quatre triangles. Mais passons à autre chose et déterminons l’aire du carré.

On peut rappeler que l’aire d’un carré est égale à la longueur multipliée par la longueur, qui est 37 fois 37. Et nous avons donc que l’aire du carré est de 1369 pouces carrés. Notez que même si nous travaillons avec des figures tridimensionnelles, nos unités ici seront des unités carrées puisque nous calculons toujours une aire. Une unité cubique indiquerait un volume. Enfin, pour déterminer notre aire totale, nous avons l’aire de quatre triangles, qui est quatre multiplié par 814, plus l’aire de notre carré, qui est de 1369. Cela vaut donc 3256 plus 1369, ce qui nous donne une réponse finale de 4625 pouces carrés pour l’aire de la pyramide.

Dans la question suivante, nous verrons un exemple où toutes les dimensions dont nous avons besoin ne nous sont pas données, et nous devons donc utiliser le théorème de Pythagore.

Déterminez l’aire totale du patron donné, au centième près.

Nous pouvons voir ici le patron formé d’un carré et de quatre triangles. Une fois formé en une forme tridimensionnelle, nous aurions une pyramide à base carrée. Pour déterminer l’aire totale du patron ou de la pyramide, nous devons déterminer l’aire des quatre triangles et l’aire du carré, puis les additionner. Commençons par déterminer l’aire de l’un des triangles. Si nous regardons la base de ce triangle, nous pouvons voir aux marques qu’elle est égale aux côtés du carré, ce qui signifie qu’elle sera également de deux centimètres. On ne nous donne pas la hauteur du triangle, mais on nous dit que l’un des autres côtés mesure 3,1 centimètres.

En modélisant cela comme un triangle rectangle, nous pouvons noter la hauteur inconnue 𝑥 et utiliser le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore dit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Donc dans ce triangle, nous avons une hypoténuse de 3,1, une longueur inconnue de 𝑥, et la base est égale à la moitié de deux, soit un. Nous avons donc 3,1 au carré égale 𝑥 au carré plus un carré. En résolvant cela pour déterminer 𝑥, nous pouvons soustraire un au carré des deux côtés, ce qui nous donne 3,1 au carré moins un au carré égale 𝑥 au carré.

On peut alors évaluer les carrés. Et 3,1 au carré vaut 3,1 fois 3,1. Donc nous avons 9,61 moins un égale 𝑥 au carré. Par conséquent, 8,61 est égal à 𝑥 au carré. Et prendre la racine carrée des deux côtés nous donne 𝑥 égale racine carrée de 8,61. Comme nous allons continuer à utiliser cette valeur de 𝑥 dans le prochain calcul, nous la gardons sous la forme de racine carrée plutôt que d’arrondir en un nombre décimal. En revenant au triangle puisque nous avons constaté que la hauteur perpendiculaire est la racine carrée de 8,61, nous pouvons déterminer son aire en utilisant la formule, l’aire d’un triangle est égale à un demi multiplié par la base multiplié par la hauteur.

Nous pouvons alors prendre la formule et insérer nos valeurs, c’est-à-dire la base égale à deux et la hauteur égale à la racine carrée de 8,61. Puisque nous pouvons simplifier un demi multiplié par deux, nous obtenons que l’aire du triangle est égale à la racine de 8,61. Et les unités ici sont des centimètres carrés. Ensuite, nous calculons l’aire du carré à la base de la pyramide. Et puisque nous multiplions une longueur par une longueur, nous aurons deux multiplié par deux, soit quatre centimètres carrés.

Pour déterminer alors l’aire totale, nous prenons quatre fois l’aire du triangle et l’ajoutons à l’aire du carré, ce qui nous donne quatre fois la racine carrée de 8,61 plus quatre. En utilisant notre calculatrice, nous pouvons évaluer cela comme 15,73712 et ainsi de suite en centimètres carrés. Et arrondir notre réponse au centième près signifie que nous vérifions notre troisième décimale pour voir si elle est supérieure ou égale à cinq. Et comme elle l’est, notre réponse s’arrondit en 15,74 centimètres carrés. Et cela est notre réponse finale pour l’aire totale du patron.

Dans la dernière question, nous allons voir un exemple où on nous donne l’aire latérale et on nous demande de calculer l’aire totale.

Une pyramide à base carrée a une aire latérale de 42 yards carrés. Si sa hauteur oblique est de trois mètres, déterminez son aire totale.

Commençons par dessiner la pyramide à base carrée et noter les informations pertinentes. On nous dit que cette pyramide à base carrée a une aire latérale de 42 yards carrés. L’aire latérale d’une pyramide est l’aire totale des côtés latéraux ou des triangles, sans inclure l’aire de la base. Ainsi, l’aire latérale de cette pyramide à base carrée est l’aire du triangle du fond plus l’aire des deux triangles sur les côtés plus l’aire du triangle à l’avant. Comme on nous dit que l’aire latérale est égale à 42 yards carrés, cela équivaut à dire que quatre fois l’aire de l’un de ces triangles est égale à 42. Et par conséquent, l’aire d’un triangle est égale à 42 divisé par quatre, soit 10,5 yards carrés.

Nous pouvons alors prendre ces informations sur l’aire du triangle et les combiner avec la hauteur perpendiculaire afin de déterminer la longueur de la base de ce triangle. Sachant cela, nous pourrons alors calculer l’aire du carré à la base de cette pyramide. On peut rappeler que l’aire d’un triangle est égale à un demi multiplié par la base multiplié par la hauteur. Pour notre triangle alors, nous avons une aire de 10,5 et une longueur de base inconnue de 𝑏 et une hauteur de trois. En simplifiant, nous avons que 10,5 est égal à trois demis de 𝑏. Dans la prochaine étape de réarrangement, nous divisons par trois demis, ce qui équivaut à multiplier par deux tiers. Et nous avons donc constaté que la longueur de base 𝑏 du triangle est égale à sept mètres.

Comme la longueur de la base du triangle est égale à la longueur du carré, nous savons que toutes les longueurs du carré seront de sept mètres. Pour déterminer l’aire d’un carré, nous multiplions la longueur par la longueur, soit sept fois sept, ce qui nous donne une valeur de 49 yards carrés. Enfin, pour déterminer l’aire totale, on nous a dit que l’aire latérale est de 42 yards carrés. Cela est l’aire des quatre triangles en haut de la pyramide. Par conséquent, pour l’aire totale, nous devons ajouter l’aire du carré à cette aire latérale, ce qui nous donne une valeur de 91 yards carrés pour l’aire totale.

Maintenant, résumons ce que nous avons appris dans cette vidéo. Les pyramides sont des formes géométriques tridimensionnelles, où la base est un polygone et tous les autres côtés sont des triangles qui se rencontrent au sommet. Nous avons vu qu’il y a une différence entre l’aire latérale et l’aire totale d’une pyramide. L’aire latérale est l’aire des côtés latéraux et exclut la base, tandis que l’aire totale est l’aire de tous les côtés, y compris la base. Nous avons également vu que l’aire est mesurée en unités carrées, par exemple en centimètres carrés, en pouces carrés ou en yards carrés. Et enfin, nous avons vu qu’il peut être utile de dessiner un patron de la pyramide. Cela nous permet de visualiser clairement chaque face afin que nous puissions déterminer les différentes aires avant de les additionner.