Vidéo de la leçon : Aires des pyramides Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons à calculer les aires latérales et totales des pyramides à l’aide de leurs formules.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à calculer les aires latérales et totales d’une pyramide. Nous rappellerons ce qu’est une pyramide, comment trouver son aire, puis nous verrons comment résoudre certains problèmes typiques impliquant ces derniers.

Commençons par réfléchir à ce qu’est réellement une pyramide. Les pyramides sont des figures tridimensionnelles, où la base est un polygone, par exemple un triangle, un carré ou même un pentagone. Et tous les autres côtés sont des triangles qui se rencontrent au sommet. Dans notre première figure, nous avons une pyramide à base carrée. Dans le second, nous avons une pyramide à base triangulaire. Et dans la troisième figure, nous avons une pyramide dont la base est un pentagone.

Dans cette vidéo, nous nous concentrerons sur les pyramides à base carrée, les pyramides à base rectangulaire et les pyramides triangulaires. Nous examinerons également deux types spécifiques de pyramides, les pyramides droites et les pyramides régulières. Une pyramide droite est une pyramide dont le sommet se trouve au-dessus du centre de gravité de la base. Une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier. Ensuite, récapitulons ce qu’est l’aire. L’aire est l’aire totale d’une figure tridimensionnelle. Par exemple, si nous voulions trouver l’aire de ce cube, nous pourrions le faire plus facilement en visualisant le patron du cube.

Donc, pour trouver l’aire du cube, nous trouverions l’aire des six faces individuelles et les additionnerions. Lorsque nous trouvons l’aire d’une figure tridimensionnelle, les unités seront des unités de surface. Il est important de se rappeler que l’aire est différente du volume même si elles impliquent toutes deux des figures tridimensionnelles. Lorsque nous calculons un volume, nous déterminons la quantité d’espace qu’un objet occupe. Lorsque nous travaillons sur l’aire, nous travaillons sur l’aire totale de chaque face individuelle.

Voyons maintenant le principal objectif de cette vidéo. Et voilà comment trouver l’aire d’une pyramide. Ici, nous avons une pyramide à base carrée typique. Pour trouver l’aire, nous devrons calculer l’aire du carré sur la base, puis l’aire du triangle à l’arrière. Et les deux triangles sur les côtés, puis l’aire du triangle à l’avant, puis ajoutez-les ensemble. En fait, cette figure devient un peu compliquée et difficile à étudier. Alors parfois, dessiner le patron peut simplifier les choses.

Une fois que nous avons dessiné le patron, nous pouvons voir qu’il y a un carré et quatre triangles. Nous pourrions alors transférer sur toute information qui nous a été donnée sur les dimensions de la pyramide. Nous devons faire très attention à la hauteur de la pyramide. Lorsque nous travaillons avec l’aire d’une pyramide, l’une des choses qu’on pourrait nous demander est l’aire latérale. Il s’agit de la superficie totale des côtés latéraux, mais à l’exclusion de la base. Dans notre pyramide à base carrée, ce ne serait que les quatre triangles latéraux, mais pas l’aire du carré sur la base.

Lorsque nous incluons l’aire de la base, on parle alors d’aire totale. Donc, pour trouver l’aire totale de cette pyramide à base carrée, nous aurions les aires totales des quatre triangles plus l’aire du carré sur la base. Lorsque nous examinons des questions concernant l’aire d’une pyramide, nous devons vérifier si le mot latéral est présent ou non.

Voyons maintenant quelques exemples de questions.

Si la figure donnée a été pliée en une pyramide carrée, déterminez son aire latérale.

Ici, nous avons le patron d’une pyramide carrée. Si nous plions ce patron en pyramide, nous aurons un carré à la base et quatre côtés latéraux triangulaires. Ici, on nous demande de trouver l’aire latérale. Cela signifie donc que nous allons trouver l’aire des quatre triangles et les additionner. Nous ne nous préoccupons pas de l’aire du carré à la base de cette pyramide. Comme on nous dit qu’il s’agit d’un carré, nous savons que les quatre longueurs de la base sont superposables. Et nous aurons également quatre triangles superposables.

Pour trouver l’aire de l’un de ces triangles, on nous dit que la longueur de base est de 14 centimètres et la hauteur est donnée en 15 centimètres. Pour trouver l’aire d’un triangle, nous calculons un demi multiplié par la base multipliée par la hauteur. Donc, pour l’un de nos triangles, avec une base de 14 et une hauteur de 15, nous aurons un demi multiplié par 14 multipliée par 15. Cela peut être simplifié à sept fois 15, ce qui nous donne 105. Et les unités ici seront en centimètres carrés puisque nous avons affaire à une aire.

Alors maintenant, nous avons trouvé l’aire d’un triangle, nous pouvons trouver l’aire latérale en additionnant l’aire des quatre triangles. Étant donné que ces triangles sont superposables, cela signifie que nous calculerons quatre fois 105, soit 420 centimètres carrés. Voilà donc notre aire latérale, en nous souvenant que nous n’avions pas besoin de calculer l’aire du carré sur la base.

Voyons maintenant une autre question impliquant une pyramide carrée.

Déterminez l’aire de la pyramide carrée donnée, étant donné que toutes ses faces triangulaires sont superposables.

Dans cette pyramide carrée, nous pouvons voir qu’il y a un carré sur la base de 37 pouces par 37 pouces. Et nous pouvons également voir qu’il y a quatre côtés latéraux triangulaires. On nous donne que la hauteur du triangle est de 44 pouces. Et on nous dit que ces quatre triangles sont tous superposables. On nous demande de calculer l’aire de cette pyramide. Et nous pouvons voir que le patron tiré ici aidera à rendre les choses un peu plus faciles. Pour trouver l’aire d’une pyramide, nous trouvons l’aire de tous les côtés latéraux et l’ajoutons à l’aire de la base. Donc, dans ce cas, nous devrons trouver l’aire des quatre triangles et l’ajouter à l’aire du carré.

Commençons par trouver l’aire de l’un de ces triangles. Et nous pouvons rappeler que l’aire d’un triangle est égale à un demi multiplié par la base multipliée par la hauteur. Pour notre triangle alors, nous avons une base de 37 et une hauteur de 44. Nous travaillons donc sur un demi multiplié par 37 multipliée par 44. Nous pouvons simplifier ce calcul à 37 fois 22, ce qui nous donne une réponse de 814 pouces carrés. En un instant, nous pouvons multiplier cela par quatre pour trouver l’aire de quatre triangles. Mais passons à autre chose et trouvons l’aire d’un carré.

Nous pouvons nous rappeler que l’aire d’un carré est égale à la longueur multipliée par la longueur, qui est 37 fois 37. Et nous avons donc que l’aire du carré est de 1369 pouces carrés. Notez que même si nous travaillons avec des figures tridimensionnelles, nos unités ici seront des unités de surface car nous travaillons toujours avec une aire. Une unité cubique indiquerait un volume. Enfin, pour trouver notre aire totale, nous avons l’aire de quatre triangles, qui est quatre multipliée par 814, plus l’aire de notre carré, qui est 1369. Nous pouvons calculer cela comme 3256 plus 1369, ce qui nous donne une réponse finale de 4625 pouces carrés pour l’aire de la pyramide.

Dans la question suivante, nous verrons un exemple où toutes les dimensions dont nous avons besoin ne nous sont pas données, et nous devons donc utiliser le théorème de Pythagore.

Trouvez l’aire totale du patron donné, au centième près.

Nous pouvons voir le patron ici qui est formé d’un carré et de quatre triangles. Une fois formé en une figure tridimensionnelle, nous aurions une pyramide carrée. Pour trouver l’aire totale du patron ou de la pyramide, nous devons trouver l’aire des quatre triangles et l’aire du carré, puis les additionner. Commençons par trouver l’aire de l’un des triangles. Si nous regardons la base de ce triangle, nous pouvons voir sur les marquages qu’il est conforme aux côtés du carré, ce qui signifie que ce sera également deux centimètres. On ne nous donne pas la hauteur du triangle, mais on nous dit que l’un des autres côtés mesure 3.1 centimètres.

En modélisant ceci comme un triangle à angle droit, nous pouvons prendre la hauteur inconnue pour 𝑥 et utiliser le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore dit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Donc, dans ce triangle, nous avons une hypoténuse de 3.1, une longueur inconnue de 𝑥, et la base est égale à la moitié de deux, ce qui est un. Nous aurons donc 3.1 au carré égal 𝑥 au carré plus un carré. En résolvant ceci pour trouver 𝑥, nous pouvons soustraire un carré des deux côtés, ce qui nous donne 3.1 au carré moins un carré égale 𝑥 au carré.

On peut alors évaluer les carrés. Et 3.1 au carré est le même que 3.1 fois 3.1. Nous avons donc 9.61 soustraire un est égal à 𝑥 au carré. Par conséquent, 8.61 est égal à 𝑥 au carré. Et prendre la racine carrée des deux côtés nous donnera que 𝑥 est égal à la racine carrée de 8.61. Comme nous allons continuer à utiliser cette valeur de 𝑥 dans le prochain calcul, nous la conservons sous la forme de racine carrée plutôt que d’arrondir à une décimale. Revenant au triangle puisque nous avons constaté que la hauteur perpendiculaire est la racine carrée de 8.61, nous pouvons trouver son aire en utilisant la formule, l’aire d’un triangle est égale à un demi multiplié par la base multipliée par la hauteur.

Nous pouvons alors prendre la formule et insérer nos valeurs selon lesquelles la base est égale à deux et la hauteur est égale à la racine carrée de 8.61. Puisque nous pouvons annuler un demi multiplié par deux comme un, nous avons alors que l’aire du triangle est égale à la racine 8.61. Et les unités ici seront des centimètres carrés. Ensuite, nous calculons l’aire du carré à la base de la pyramide. Et puisque nous multiplions la longueur par la longueur, nous en aurons deux multipliés par deux, ce qui fait quatre centimètres carrés.

Pour trouver ensuite l’aire totale, nous prenons quatre fois l’aire du triangle et l’ajoutons à l’aire du carré, ce qui nous donne quatre fois la racine carrée de 8.61 plus quatre. En utilisant notre calculatrice, nous pouvons évaluer cela comme 15.73712 et ainsi de suite en centimètres carrés. Et arrondir notre réponse au centième près signifie que nous vérifions notre troisième chiffre décimal pour voir s’il est égal ou supérieur à cinq. Et en l’état, notre réponse arrondira à 15.74 centimètres carrés. Et c’est notre réponse finale pour l’aire totale du patron .

Dans la dernière question, nous verrons un exemple où on nous donne l’aire latérale et on nous demande de calculer l’aire totale.

Une pyramide carrée a une aire latérale de 42 mètres carrés. Si sa hauteur oblique est de trois mètres, déterminez son aire totale.

Commençons par esquisser la pyramide carrée et remplir les informations pertinentes. On nous dit que cette pyramide carrée a une aire latérale de 42 yards carrés. L’aire latérale d’une pyramide est l’aire totale des côtés latéraux ou des triangles, mais ne comprend pas l’aire de la base. Ainsi, l’aire latérale de cette pyramide carrée sera l’aire du triangle à l’arrière plus l’aire des deux triangles sur les côtés plus l’aire du triangle à l’avant. Comme on nous dit que l’aire latérale est égale à 42 yards carrés, cela équivaut à dire que quatre fois l’aire de l’un de ces triangles est égale à 42. Et donc, l’aire d’un triangle est égale à 42 divisée de quatre ou 10.5 yards carrés.

Nous pouvons ensuite prendre ces informations sur l’aire du triangle et les combiner avec la hauteur perpendiculaire afin de déterminer la longueur de base de ce triangle. Le savoir nous permettrait alors de calculer l’aire du carré à la base de cette pyramide. On peut rappeler que l’aire d’un triangle est égale à un demi multiplié par la base multipliée par la hauteur. Pour notre triangle, nous avons donc une aire de 10.5 et une longueur de base inconnue de 𝑏 et une hauteur de trois. Simplifiant, nous avons que 10.5 est égal à trois moitiés 𝑏. Dans la prochaine étape de réorganisation, nous divisons par trois demis, ce qui équivaut à multiplier par deux tiers. Et nous avons donc constaté que la longueur de base 𝑏 du triangle est égale à sept mètres.

Comme la base du triangle équivaut également à la longueur du carré, nous savons que toutes les longueurs du carré seront de sept mètres. Pour trouver l’aire d’un carré, nous multiplions la longueur par la longueur, qui est sept fois sept, ce qui nous donne une valeur de 49 yards carrés. Enfin, pour trouver l’aire totale, on nous a dit que l’aire latérale est de 42 yards carrés. C’est l’aire des quatre triangles en haut de la pyramide. Par conséquent, pour la superficie totale, nous devons ajouter la superficie du carré à cette superficie latérale, ce qui nous donne une valeur de 91 yards carrés pour la superficie totale.

Maintenant, résumons ce que nous avons appris dans cette vidéo. Les pyramides sont des formes géométriques tridimensionnelles, où la base est un polygone et tous les autres côtés sont des triangles qui se rencontrent au sommet. Nous avons vu qu’il y a une différence entre l’aire latérale et l’aire totale d’une pyramide. L’aire latérale n’est que l’aire des côtés latéraux et exclut la base tandis que l’aire totale est l’aire de tous les côtés, y compris la base. Nous avons également vu que l’aire est mesurée en unités de surface, par exemple, en centimètres carrés, en pouces carrés ou en yards carrés. Et enfin, nous avons vu qu’il peut être utile de dessiner un patron de la pyramide. Cela nous permet de visualiser clairement chaque visage afin que nous puissions travailler sur les aires individuelles avant de les ajouter ensemble.

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