Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer les aires latérales et totales de pyramides à l’aide de leurs formules.
Les pyramides sont des figures géométriques en trois dimensions, ou des solides, dont la base est un polygone et toutes les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles qui se rencontrent au sommet.
Une pyramide peut avoir pour base n’importe quel polygone, tel qu’un pentagone ou un hexagone, mais nous allons nous concentrer sur les pyramides à base triangulaire ou carrée dans cette fiche explicative. Nous allons de plus supposer que les pyramides vérifient les propriétés suivantes.
Définition : Pyramides droites et régulières
Une pyramide droite est une pyramide dont la hauteur coupe la base en son centre géométrique, ou barycentre. En d’autres termes, le sommet d’une pyramide droite est situé directement au-dessus du centre géométrique de la base. Une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier.
Nous allons supposer que toutes les pyramides apparaissant dans cette fiche explicative sont des pyramides droites. Cela signifie donc qu’une pyramide à base carrée est supposée être une pyramide régulière car un carré est un polygone régulier. Une pyramide régulière possède une propriété qui simplifie le calcul de son aire.
Propriété : Faces latérales d’une pyramide régulière
Toutes les faces latérales d’une pyramide régulière sont des triangles superposables.
Cette propriété décrit en réalité la symétrie de rotation d’une pyramide régulière. En utilisant la hauteur de la pyramide comme l’axe de rotation, cette propriété nous indique qu’une pyramide régulière admet une symétrie de rotation dont l’ordre est égal au nombre de sommets de la base.
Pour calculer l’aire totale d’une pyramide, il faut additionner l’aire de la base et les aires des faces latérales. Dessiner le patron de la pyramide peut alors aider à visualiser ces faces. Le patron d’une pyramide à base carrée est par exemple illustré ci-dessous.
On peut déduire de ce patron une formule utile permettant de calculer l’aire d’une face latérale.
Définition : Aires latérale et totale
L’aire de chaque face latérale est définie par
L’aire latérale d’une pyramide est égale à la somme des aires des faces latérales de la pyramide, c’est-à-dire des faces triangulaires qui se rencontrent au sommet.
L’aire totale d’une pyramide est égale à la somme des aires de ses faces latérales et de l’aire de sa base.
Dans le premier exemple, nous allons calculer l’aire latérale d’une pyramide à base carrée.
Exemple 1: Calculer l’aire latérale d’une pyramide
Si la figure ci-dessous était pliée en une pyramide à base carrée, quelle serait son aire latérale?
Réponse
Cet exemple fournit le patron d’une pyramide à base carrée où sont indiquées la longueur du côté de la base, 14 cm, et la hauteur latérale, 15 cm. Les faces latérales d’une pyramide sont ses faces triangulaires qui se rencontrent au sommet. Sur le patron ci-dessus, ce sont les quatre triangles entourant la base carrée. Par conséquent, l’aire latérale de cette pyramide est la somme des aires des quatre triangles.
On rappelle que les faces latérales d’une pyramide régulière à base carrée sont superposables. On peut donc calculer l’aire de l’un de ces triangles, puis la multiplier par 4 pour obtenir l’aire totale des quatre triangles. L’aire de chaque face triangulaire est définie par
L’aire latérale est ensuite égale à 4 fois l’aire d’une face latérale, c’est-à-dire
Dans l’exemple précédent, nous avons calculé l’aire latérale d’une pyramide régulière à base carrée en utilisant la propriété selon laquelle les faces latérales sont superposables. On peut calculer l’aire totale de la pyramide à base carrée en ajoutant l’aire de la base à l’aire latérale. Cela signifie que
Dans le prochain exemple, nous allons calculer l’aire totale d’une pyramide à base carrée en traçant son patron.
Exemple 2: Calculer l’aire totale d’une pyramide à base carrée à partir de la longueur du côté de sa base et de sa hauteur latérale
Calculez l’aire de la pyramide à base carrée ci-dessous.
Réponse
L’aire d’une pyramide est égale à la somme de l’aire de la base carrée et des aires des faces latérales, qui sont les faces triangulaires se rencontrant au sommet. On rappelle que les faces latérales d’une pyramide régulière à base carrée sont des triangles superposables. Il est plus facile de visualiser l’aire à calculer en traçant un patron de la pyramide.
D’après le patron, on a
Comme les quatre faces latérales sont superposables, on obtient l’aire latérale en multipliant l’aire d’une face par 4:
La base de cette pyramide est un carré de côté 22 m, donc
En additionnant ces deux aires, on obtient
Par conséquent, l’aire de cette pyramide à base carrée est de 1 540 m2.
Dans l’exemple précédent, nous avons calculé l’aire d’une pyramide régulière à base carrée à partir de la longueur du côté de sa base et de sa hauteur latérale. On peut également calculer l’aire d’une pyramide régulière à base triangulaire mais l’aire de la base est légèrement plus complexe à calculer. Pour calculer l’aire de la base à partir d’une longueur de côté, nous devons d’abord déterminer la hauteur du triangle de la base en utilisant le théorème de Pythagore.
Dans le prochain exemple, nous allons calculer l’aire d’une pyramide régulière à base triangulaire en utilisant cette méthode.
Exemple 3: Calculer l’aire totale d’une pyramide régulière à base triangulaire à partir de la longueur du côté de la base et de la hauteur latérale
Calculez l’aire totale de la pyramide régulière représentée ci-dessous, en arrondissant votre réponse au centième près.
Réponse
L’aire d’une pyramide est égale à la somme de l’aire de la base triangulaire et des aires des faces latérales, qui sont les faces triangulaires se rencontrant au sommet. On rappelle que les faces latérales d’une pyramide régulière sont des triangles superposables. Il est plus facile de visualiser l’aire à calculer en traçant un patron de la pyramide.
D’après le patron, on a
Comme les trois faces latérales sont superposables, on obtient l’aire latérale en multipliant l’aire d’une face par 3:
Calculons à présent l’aire de la base. La base est le triangle équilatéral sur la figure suivante dont la longueur de côté est de 33,5 cm. Pour calculer l’aire de la base, nous devons d’abord déterminer la hauteur du triangle équilatéral. On peut former un triangle rectangle en traçant la hauteur du triangle de la base.
Sur le schéma ci-dessus, on a maintenant un triangle rectangle indiqué en rose où la hauteur est définie par une constante inconnue . L’hypoténuse de ce triangle rectangle mesure 33,5 cm. En rappelant que la hauteur d’un triangle équilatéral est la médiatrice de la base, on sait que le côté restant du triangle rectangle mesure exactement la moitié de la longueur du côté du triangle équilatéral. La base du triangle rectangle a donc une longueur de
On peut utiliser le théorème de Pythagore pour écrire
En réarrangeant cette équation et en prenant la racine carrée positive, on obtient
Par conséquent, la hauteur du triangle de la base mesure . En utilisant la longueur du côté de la base, 33,5 cm, on a
En additionnant ces deux aires, on obtient
L’aire de la pyramide régulière ci-dessus est donc de 2 420,57 cm2 au centième près.
Jusqu’à présent, nous avons calculé l’aire d’une pyramide régulière à partir de la longueur du côté de sa base et de sa hauteur latérale. Dans le prochain exemple, nous allons calculer l’aire d’une pyramide à base carrée à partir de la longueur du côté de sa base et de sa hauteur.
Exemple 4: Calculer l’aire totale d’une pyramide à base carrée à partir de la longueur du côté de sa base et de sa hauteur
Calculez l’aire totale de la pyramide régulière représentée ci-dessous et arrondissez le résultat au centième près.
Réponse
L’aire d’une pyramide est égale à la somme de l’aire de la base et des aires des faces latérales, qui sont les faces triangulaires se rencontrant au sommet. On rappelle que les faces latérales d’une pyramide régulière à base carrée sont des triangles superposables. Il est plus facile de visualiser l’aire à calculer en traçant un patron de la pyramide.
La hauteur latérale désignée par sur le patron ci-dessus, n’est pas fournie dans cet exemple, nous devons donc commencer par la calculer. Puisqu’il s’agit d’une pyramide régulière, on sait que la hauteur de la pyramide coupe la base en son centre géométrique. La hauteur est le segment en pointillés bleus de longueur 37 cm sur la figure initiale. Ce schéma représente également un autre segment en pointillés bleus allant du centre de la base au milieu d’un des côtés. On peut former un triangle rectangle avec ces deux segments en pointillés bleus et la hauteur de cette face latérale.
On voit alors que la hauteur latérale est l’hypoténuse de ce triangle rectangle. La hauteur de la pyramide de longueur 37 cm est un autre côté et le troisième côté de ce triangle rectangle mesure la moitié de la longueur du côté de la base:. En utilisant le théorème de Pythagore, on peut écrire
Cela donne
Maintenant que nous connaissons la hauteur latérale, nous pouvons calculer l’aire d’une face latérale:
Comme les quatre faces latérales sont superposables, on obtient l’aire latérale en multipliant l’aire d’une face par 4:
La base de cette pyramide est un carré de côté 32 cm, donc
En additionnant ces deux aires, on obtient
Par conséquent, l’aire de cette pyramide à base carrée est 3 603,92 cm2, au centième près.
Dans le dernier exemple, nous allons calculer la hauteur latérale d’une pyramide régulière à base triangulaire à partir de son aire totale.
Exemple 5: Calculer la hauteur latérale d’une pyramide régulière à base triangulaire à partir de son aire totale et de la longueur du côté de la base
L’aire totale de la pyramide à base triangulaire ci-dessous est de 958 centimètres carrés et sa base est un triangle équilatéral de côté 19 centimètres. Calculez sa hauteur latérale au dixième près.
Réponse
L’aire d’une pyramide est égale à la somme de l’aire de la base triangulaire et des aires des faces latérales, qui sont les faces triangulaires se rencontrant au sommet. Comme la base de cette pyramide est un triangle équilatéral, on peut supposer qu’il s’agit d’une pyramide régulière. On rappelle que les faces latérales d’une pyramide régulière sont des triangles superposables. Il est plus facile de visualiser l’aire à calculer en traçant un patron de la pyramide.
Sur le patron ci-dessus, la hauteur latérale inconnue est désignée par . Nous allons calculer l’aire totale de cette pyramide en fonction de , puis déterminer la valeur de en posant l’expression de l’aire totale égale à la valeur donnée.
L’aire d’un des triangles latéraux est définie par
Comme les trois faces latérales sont superposables, on obtient l’aire latérale en multipliant l’aire d’une face par 3:
Calculons ensuite l’aire de la base. La base est le triangle équilatéral sur la figure suivante dont la longueur du côté est de 19 cm. Pour calculer l’aire de la base, nous devons d’abord déterminer la hauteur du triangle équilatéral. On peut former un triangle rectangle en traçant la hauteur du triangle de la base.
Sur le schéma ci-dessus, on a maintenant un triangle rectangle indiqué en rose où la hauteur est définie par une constante inconnue . L’hypoténuse de ce triangle rectangle mesure 19 cm. En rappelant que la hauteur d’un triangle équilatéral est la médiatrice de la base, on sait que le côté restant du triangle rectangle mesure exactement la moitié de la longueur du côté du triangle équilatéral. La base du triangle rectangle a donc une longueur de
On peut utiliser le théorème de Pythagore pour écrire
En réarrangeant cette équation et en prenant la racine carrée positive, on obtient
En utilisant la longueur du côté de la base de 19 cm, on a
En additionnant ces deux aires, on obtient
On peut à présent poser cette expression égale à la valeur donnée de l’aire totale de la surface:
On peut ensuite simplifier:
Par conséquent, la hauteur latérale de cette pyramide est de 28,1 cm au dixième près.
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
Les pyramides sont des figures géométriques en trois dimensions, ou des solides, dont la base est un polygone et toutes les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles qui se rencontrent au sommet.
Une pyramide peut également avoir pour base d’autres polygones, tels qu’un pentagone ou un hexagone.
L’aire d’une pyramide est égale à la somme de l’aire de la base et de l’aire latérale. Pour calculer l’aire d’une pyramide, il peut être utile de tracer le patron de la pyramide.
Toutes les faces latérales d’une pyramide régulière sont des triangles superposables.
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