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Si le nombre de façons différentes de sélectionner 4 objets parmi 𝑛 objets distincts est égal à 35, calculez le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑛 moins deux objets parmi 𝑛 objets distincts.
Rappelons que, le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑟 objets parmi 𝑛 objets distincts, noté 𝑛C𝑟 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Si on remplace 𝑟 par quatre, on a que le nombre de façons différentes de sélectionner quatre objets parmi 𝑛 objets distincts est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle quatre fois factorielle 𝑛 moins quatre. Mais bien sûr, la question nous dit que c’est égal à 35. Alors écrivons une équation. Nous avons factorielle 𝑛 sur factorielle quatre fois factorielle 𝑛 moins quatre égal 35. Multiplions les deux membres de cette équation par factorielle quatre, où factorielle quatre égal quatre fois trois fois deux fois un soit 24.
Lorsque nous faisons cela, nous obtenons factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins quatre égal 840. Mais la définition de la factorielle permet de dire que factorielle 𝑛 égal 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux et ainsi de suite. Nous pouvons donc écrire ceci, 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux fois 𝑛 moins trois fois factorielle 𝑛 moins quatre. Et cela signifie que nous pouvons simplifier par un facteur factorielle 𝑛 moins quatre. Ce qui nous donne l’équation suivante. 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux fois 𝑛 moins trois égal 840. Pour déterminer 𝑛, nous allons distribuer les parenthèses de notre équation puis l’écrire sous la forme d’une égalité nulle.
Nous allons commencer par multiplier 𝑛 moins deux par 𝑛 moins trois ce qui donne 𝑛 au carré moins cinq 𝑛 plus six. Ensuite, nous multiplions cette expression du second degré par 𝑛 moins un ce qui nous donne 𝑛 au cube moins six 𝑛 au carré plus 11𝑛 moins six. Et nous multiplions enfin cette expression par 𝑛. Et notre équation est maintenant 𝑛 puissance quatre moins six 𝑛 au cube plus 11𝑛 au carré moins six 𝑛 égal 840.
Ecrivons cela sous la forme d’une égalité nulle en soustrayant 840 à chaque membre. Et donc notre équation est 𝑛 puissance quatre moins six 𝑛 au cube plus 11𝑛 au carré moins six 𝑛 moins 840 est égal à zéro. Alors, comment pouvons-nous déterminer 𝑛 ? Eh bien, nous pourrions utiliser la factorisation et factoriser complètement cette expression du quatrième degré. Autrement, nous pouvons utiliser le solveur d’équation de notre calculatrice. Dans les deux cas, nous obtenons deux solutions réelles et deux solutions complexes. Maintenant, dans la définition du nombre de façons différentes de sélectionner 𝑟 objets parmi 𝑛 objets distincts, 𝑛 doit être un entier réel. Ce sont donc ces deux solutions qui nous intéressent 𝑛 égal sept et 𝑛 égal moins quatre.
En fait, 𝑛 doit être positif. Nous allons donc choisir cette solution et ignorer les autres. Et maintenant que nous connaissons la valeur de 𝑛, nous devons calculer le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑛 moins deux objets parmi 𝑛 objets distincts. On obtient donc le nombre de façons différentes de sélectionner sept moins deux objets parmi sept objets distincts, soit le nombre de façons différentes de sélectionner cinq objets parmi sept objets distincts. En revenant à notre définition de la factorielle, nous voyons que cela est égal à factorielle sept sur factorielle cinq fois factorielle sept moins cinq.
Écrivons factorielle sept comme sept fois six fois factorielle cinq. Nous pouvons également écrire sept moins cinq comme étant égal à deux. Et maintenant, nous voyons que nous pouvons simplifier par un facteur constant égal à factorielle cinq. Mais factorielle deux est aussi égal à deux. Nous allons donc simplifier le numérateur et le dénominateur par deux. Et nous voyons qu’il nous reste sept fois trois, ce qui est égal à 21. Et donc si le nombre de façons différentes de sélectionner quatre objets parmi 𝑛 objets distincts est égal à 35, le nombre de façons différentes de sélectionner 𝑛 moins deux objets parmi 𝑛 objets distincts doit être égal à 21.
