Transcription de la vidéo
Simplifier la fonction d’expression 𝑛 de 𝑥 égal 𝑥 au carré moins 16 sur deux 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 divisé par neuf 𝑥 au carré moins 72𝑥 plus 144 sur quatre 𝑥 au carré moins 81.
Nous allons commencer par la première expression fractionnaire, 𝑥 au carré moins 16 sur deux 𝑥 au carré plus neuf 𝑥. Nous savons que nous ne divisons pas des fractions. À la place, nous multiplions par l’inverse. Nous avons inversé le numérateur et le dénominateur. L’étape suivante que nous voulons effectuer, c’est voir si nous pouvons simplifier ces expressions avant de les multiplier ensemble. Tout d’abord, nous voulons simplifier 𝑥 au carré moins 16. 𝑥 carré moins 16 me rappelle la différence de deux carrés. Nous pourrions écrire 16 comme quatre au carré. Et la différence des carrés peut être écrite comme 𝑎 plus 𝑏 facteur de 𝑎 moins 𝑏, ce qui signifie que nous pouvons réécrire notre numérateur à l’aide des facteurs 𝑥 plus quatre et 𝑥 moins quatre.
Ensuite, nous voulons essayer de factoriser le dénominateur, deux 𝑥 au carré plus neuf 𝑥. Ces deux termes ont un facteur commun, 𝑥. Et nous pouvons donc factoriser par ce facteur 𝑥. Si nous divisons deux 𝑥 au carré par 𝑥, il nous reste deux 𝑥. Et neuf 𝑥 divisé par 𝑥 égal neuf. Nous pouvons réécrire le premier dénominateur, 𝑥 facteur de deux 𝑥 plus neuf. Quatre 𝑥 au carré moins 81, cela devrait nous rappeler une fois de plus la différence de deux carrés. Nous pourrions écrire quatre 𝑥 au carré comme deux 𝑥 le tout au carré. Et nous pourrions écrire 81 comme neuf au carré. Et cela signifie que nous pouvons réécrire quatre 𝑥 au carré moins 81 comme deux 𝑥 plus neuf facteur de deux 𝑥 moins neuf.
Pour le dernier terme, lorsque nous regardons neuf 𝑥 au carré moins 72𝑥 plus 144, nous remarquons que tous les coefficients sont divisibles par neuf. Et cela signifie que nous pouvons factoriser par le facteur neuf. Et il nous reste 𝑥 au carré moins huit 𝑥 plus 16. En considérant 𝑥 au carré moins huit 𝑥 plus 16, nous constatons que cela correspond à la forme 𝑥 au carré moins deux 𝑏𝑥 plus 𝑏 au carré. Et cela peut être simplifié par 𝑥 moins 𝑏 le tout au carré. Nous pouvons réécrire le moins huit comme moins deux fois quatre. Et nous pouvons réécrire 16 comme quatre au carré. Nous écrivons maintenant cela 𝑥 moins quatre le tout au carré, soit neuf facteur de 𝑥 moins quatre au carré. Cependant, dans ce cas, comme nous essayons de simplifier, il serait peut-être préférable de l’écrire neuf facteur de 𝑥 moins quatre facteur de 𝑥 moins quatre. À partir de là, nous écrirons l’expression uniquement avec les formes factorisées et voici notre dernière forme factorisée.
À présent, nous sommes prêts à remarquer si une simplification est possible. Y a-t-il des facteurs communs au numérateur et au dénominateur ? Nous avons 𝑥 moins quatre au numérateur et au dénominateur ; on les supprime. Nous avons deux 𝑥 plus neuf au numérateur et deux 𝑥 plus neuf au dénominateur, on les supprime. Ce qui reste au numérateur c’est 𝑥 plus quatre facteur de deux 𝑥 moins neuf. Et ce qui reste au dénominateur, c’est 𝑥 fois neuf facteur de 𝑥 moins quatre.
Il peut sembler vraiment tentant d’essayer de supprimer 𝑥 plus quatre et 𝑥 moins quatre. Mais ce sont des expressions différentes. Elles ne sont pas les mêmes au numérateur et au dénominateur. Elles doivent donc rester. 𝑛 de 𝑥 est l’expression de la fonction que nous recherchions. Et c’est égal à 𝑥 plus quatre facteur de deux 𝑥 moins neuf sur - pour simplifier le dénominateur, nous pouvons multiplier neuf et 𝑥 et écrire cela neuf 𝑥 facteur de 𝑥 moins quatre. Et voilà l’expression simplifiée de notre fonction.
