Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à multiplier et diviser des fonctions rationnelles.
Rappelons la définition d’une fonction rationnelle.
Définition : Fonctions rationnelles
Une fonction est appelée une fonction rationnelle si elle s’exprime sous la forme où et sont des fonctions polynomiales et pour tout .
Rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle d’expression dépend du dénominateur. Si , alors ne peut pas prendre de valeurs telles que car alors on divise par zéro et serait indéfini.
Considérons ce qui se passe lorsque l'on multiplie deux fonctions rationnelles ensemble. Rappelons que si l'on avait deux nombres rationnels ordinaires (ou fractions) donnés par et , leur produit serait simplement
C’est-à-dire qu’on multiplie les numérateurs (ce qui est en haut) ensemble et les dénominateurs (ce qui en bas) ensemble. Les fonctions rationnelles fonctionnent exactement de la même manière. Supposons que nous ayons deux fonctions rationnelles d’expressions et . Alors, leur produit est
La seule différence est que l'on doit maintenant avoir affaire à des fonctions dont les expressions dépendent de et non plus de simples nombres. Naturellement, on doit encore déterminer quel ensemble de définition est adéquat pour cette fonction. De ce que nous savons sur les fonctions rationnelles, on peut dire que n’est défini que si le dénominateur , ce qui signifie qu'on a besoin à la fois que et (car si l’un d’entre eux était nul, leur produit serait également nul). Cela conduit à la règle suivante.
Règle : Produit de fonctions rationnelles
Soient et deux expressions de fonctions rationnelles, supposons que leur produit est . Alors et l’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble de définition commun des fonctions et .
Rappelons que l’ensemble de définition commun de deux fonctions rationnelles est simplement l’intersection de leurs ensembles de définition, on peut le calculer en trouvant toutes les valeurs de qui annulent l’un des dénominateurs ou et en retirant ces valeurs de .
Montrons comment cela fonctionne sur un exemple simple. Supposons que nous ayons
Pour calculer leur produit, , on multiplie simplement les numérateurs et les dénominateurs ensemble.
Pour déterminer l’ensemble de définition de la fonction exprimée ci-dessus, on trouve l’ensemble de définition commun des fonctions et . L’ensemble de définition de la fonction est , et l’ensemble de définition de la fonction est . Par conséquent, l’ensemble de définition de la fonction est l’intersection de ces deux ensembles, .
On peut vérifier ceci en regardant le dénominateur de . On voit que si l'on prenait ou , le dénominateur serait 0, ce qui signifie que l’expression ne serait pas définie. En revanche, toute autre valeur pour serait valide.
Il est important de noter que l'on doit toujours vérifier l’ensemble de définition avant de simplifier l’expression. Supposons, par exemple, que nous ayons
Si on simplifie cette expression avant de vérifier l’ensemble de définition, on a
Il semble que cette fonction soit définie pour tout . Mais cela ne tient pas compte du fait que n'est pas définie pour ou dans l’expression initiale. Il est donc important de vérifier toutes les valeurs pour lesquelles le dénominateur est nul avant de simplifier les expressions.
Jusqu’à présent, nous n’avons considéré que des fonctions rationnelles exprimées à l’aide de polynômes linéaires, mais gardons à l’esprit que nous devrons également considérer des fonctions rationnelles exprimées à l’aide de polynômes de degré supérieur comme des polynômes du second degré. Dans une telle situation, la meilleure approche est généralement de simplifier les expressions en les factorisant autant que possible avant de les multiplier.
Rappelons que, pour factoriser un polynôme du second degré, on peut procéder comme suit.
Comment : Factoriser une expression du second degré
Soit une fonction du second degré. Alors, on peut procéder étape par étape pour factoriser comme suit :
- Déterminer deux facteurs dont le produit vaut . On doit donc chercher des nombres et tels que .
- Déterminez deux facteurs de qui s’additionnent pour donner . On pose .
- Réécrivez l’expression sous la forme .
- Factorisez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
- Enfin, factorisez par le facteur commun.
Alors, appliquons cela à un exemple et supposons que nous avons . Ici, , et . En procédant comme ci-dessus, nous avons
- . Ses facteurs sont , et .
- En additionnant ces facteurs, on a Comme , cela signifie que 3 et 4 sont des valeurs qui fonctionnent.
- On réécrit l’expression sous la forme .
- Nous factorisons par les deux premiers termes et par 2 les deux termes restants pour obtenir .
- Nous factorisons par pour obtenir .
Enfin, on peut vérifier que cette factorisation est correcte en développant pour retrouver . De plus, dans cette méthode, on peut parfois utiliser des identités remarquables, telles que , ce qui nous évite un peu de travail.
Considérons maintenant un produit d’expressions rationnelles avec des termes du second degré et voyons la démarche à suivre.
Exemple 1: Simplifier l’expression d’une fonction rationnelle, contenant un produit de deux expressions rationnelles et déterminer l’ensemble de définition de la fonction obtenue
Simplifiez l’expression de la fonction , et déterminez son ensemble de définition.
Réponse
La meilleure façon d’aborder une question comme celle-ci est de commencer par simplifier l’expression en la factorisant si possible. En étudiant un par un les polynômes qui composent cette expression, on remarque que dans la première expression rationnelle le numérateur est un carré parfait et peut s’écrire comme
Au dénominateur, on peut factoriser et trouver que
Dans la deuxième expression rationnelle, on peut factoriser par 7 pour obtenir
Enfin, le dénominateur de la seconde expression rationnelle est une différence entre deux carrés et
Après avoir factorisé tous les termes, on peut réécrire comme suit :
Avant de multiplier ces expressions ensemble, il est important de noter que la première expression n'est pas définie en et , et la seconde n'est pas définie en et . En utilisant le fait que l’ensemble de définition du produit des fonctions rationnelles est l’ensemble de définition commun de ces fonctions, on sait donc que l’ensemble de définition de la fonction d’expression doit être .
Notons qu’il est important de faire ceci avant de simplifier davantage, car même si l'on simplifie l’expression ne peut pas prendre des valeurs interdites dans l’expression d’origine.
Maintenant, avant de multiplier les deux expressions ensemble, nous notons que nous pouvons déjà annuler les termes dans les numérateurs et les dénominateurs. En remarquant que au dénominateur et que l'on peut mettre le signe en dehors de la fraction, on a
Maintenant, on multiplie les fractions ensemble comme suit :
Ainsi, en conclusion, nous constatons que et son ensemble de définition est .
Considérons un exemple similaire, cette fois avec une expression cubique au numérateur, et procédons de la même manière que précédemment.
Exemple 2: Simplifier une fonction rationnelle dont l’expression est le produit de deux expressions rationnelles et déterminer l’ensemble de définition de la fonction obtenue
Simplifiez l’expression de la fonction , et déterminez son ensemble de définition.
Réponse
Commençons par factoriser les deux expressions autant que possible. En considérant les numérateurs et les dénominateurs un par un, on commence par
Ceci est une expression cubique. Rappelons que, pour factoriser la somme de cubes, on peut utiliser la formule suivante :
Déterminons si l’expression de notre fonction est sous la forme correcte (c.-à-d. existe-t-il tel que ? ). En calculant , on voit que . Cela signifie que et on peut appliquer la formule pour obtenir
On note que, comme est une somme de cubes, il n’y a qu’une seule solution réelle, . Ainsi, l’autre facteur de l’équation, , n’a pas de solution réelle et ne peut donc pas être factorisé davantage.
Considérons les autres termes qui composent . Le dénominateur de la première expression rationnelle peut être factorisé par :
Au numérateur de la seconde expression rationnelle, on a , qui est déjà sous sa forme la plus simple, et au dénominateur, on a encore une fois , qui, nous le savons, n’a aucune solution réelle. Finalement, cela nous donne
Avant de simplifier davantage, déterminons les valeurs de appartenant à l’ensemble de définition de la fonction étudiée. Pour commencer, on a , ce qui entraîne et . De plus, on sait que n’a pas de solution réelle, donc toute valeur de est valide. Par conséquent, l’ensemble de définition de la fonction d’expression est .
Multiplions maintenant et simplifions lorsque c’est possible :
Ainsi, on trouve que l’expression de la fonction est , et son ensemble de définition est .
Alors que, souvent, nous devons simplifier et déterminer l’ensemble de définition d’une fonction dont l’expression est le produit d’expressions rationnelles, parfois on nous demande simplement de calculer ce produit en une valeur donnée. Dans ce cas, il suffit de substituer la valeur donnée dans l'expression de la fonction. Il est important de bien lire la question posée pour éviter de faire un travail non nécessaire.
Exemple 3: Simplifier une fonction rationnelle dont l’expression est le produit de deux expressions rationnelles et déterminer la valeur de la fonction obtenue pour une valeur donnée
Étant donnée la fonction , calculez , si possible.
Réponse
Normalement, lorsqu’on doit multiplier deux expressions rationnelles ensemble, il est plus facile de commencer par factoriser ces expressions pour trouver leurs ensembles de définition et simplifier par les éventuels facteurs communs. Dans cette situation, cependant, il suffit de calculer pour une seule valeur, donc on calcule pour la fonction et on voit ce que l'on obtient. Par souci d’exhaustivité, cependant, nous allons montrer ce qui se passe lorsque l'on factorise l’équation. Après quelques calculs, on obtient
Notons ici que, en raison des facteurs aux dénominateurs, l’ensemble de définition de la fonction d’expression est . Puisque n'appartient pas à l’ensemble de définition de cette fonction, cela montre que n’est pas définie. Si l'on devait poursuivre et simplifier, on obtiendrait
Maintenant, si l'on n'avait pas vérifié l’ensemble de définition précédemment et que l'on essayait de calculer pour , on aurait trouvé
Même si l’on obtient une réponse bien définie ici, nous ne sommes pas en train d’évaluer en 7 mais plutôt une version modifiée de où la valeur a été enlevée. Ainsi, la réponse n’est pas valide. Comme évoqué plus tôt, on peut résoudre ce type de question en substituant dans l’équation d’origine, ce qui donne
Comme nous le savions déjà, le résultat n'est pas défini car on obtient , ce qui signifie que l'on ne peut pas déterminer la valeur de la fonction en ce point. Par conséquent, est indéfini.
Une extension naturelle au sujet de la multiplication des fonctions rationnelles est l’inverse d’une fonction rationnelle. Rappelons que pour tout nombre réel, son inverse est un nombre qui multiplie ce nombre pour obtenir 1 :
Ici, est l’inverse de . Pour les nombres réels, on peut trouver ce nombre en prenant l’inverse, qui est juste 1 divisé par le nombre.
De plus, on peut considérer l’inverse d’un nombre rationnel :
Dans ce cas, l’inverse de est , qui est . En d’autres termes, l’inverse peut être trouvé en échangeant le numérateur et le dénominateur.
Lorsqu’il s’agit de l’inverse d’une fonction rationnelle, l’idée est exactement la même. Supposons que nous avons la fonction rationnelle . Ensuite, nous avons
C’est-à-dire l’inverse de est , qui peut être trouvé en échangeant le numérateur et le dénominateur.
La seule complication que nous devons considérer est l’ensemble de définition de l’inverse. Si l’on considère la fonction , on peut voir que ne peut pas être égal à zéro ou le dénominateur serait nul, conduisant à la fonction étant indéfinie. Cependant, pour trouver l’inverse de la multiplication en premier lieu, nous devons prendre l’inverse ; si l’on considère l’expression , on peut voir que si , alors sera indéfini, ce qui signifie que l’inverse ne peut pas être défini non plus. Cela conduit à deux exigences concernant l’inverse, que nous résumons dans la règle suivante.
Règle : Inverses de fonctions rationnelles
Rappelons que les zéros d’une fonction sont les points , où . Si est une fonction rationnelle, alors son inverse est et son ensemble de définition est , où désigne l’ensemble des zéros d’une fonction.
Cette règle signifie que nous devons considérer à la fois l’ensemble de définition de la fonction d’origine et celui de la nouvelle fonction, en vérifiant tous les points où ils peuvent être égaux à zéro.
Pour bien considérer cette complication avec l’ensemble de définition, explorons un exemple qui traite ce problème.
Exemple 4: Déterminer une valeur inconnue étant donné l’ensemble de définition de l’inverse d’une fonction rationnelle
Sachant que l’ensemble de définition dans lequel la fonction a un inverse est , déterminez la valeur de .
Réponse
Pour répondre à cette question, nous devrons rappeler comment l’ensemble de définition de l’inverse d’une fonction rationnelle est calculé. Tout d’abord, l’inverse de la multiplication peut être trouvé en prenant l’inverse :
Premièrement, nous pouvons voir que nous devons avoir ; sinon, la fraction ne sera pas définie. En outre, doit également être défini (sinon, sera indéfini), et en considérant le dénominateur de , on trouve que . Cela signifie que nous avons deux exigences dans l’ensemble de définition :
Cela correspond aux points où le numérateur ou le dénominateur de la fonction d’origine peut être égal à zéro (c.-à-d. les zéros). Par conséquent, l’ensemble de définition est .
Si l’on compare cela à l’ensemble de définition donné, on peut voir que les deux ensembles sont équivalents lorsque . Ainsi, .
Maintenant que nous avons vu le fonctionnement du calcul de l’ensemble de définition, explorons le processus complet de recherche de l’inverse d’une fonction rationnelle.
Exemple 5: Déterminer l’inverse d’une fonction rationnelle et son ensemble de définition
Sachant que , déterminez son inverse sous sa forme la plus simple, indiquant son ensemble de définition.
Réponse
La meilleure façon d’aborder ce type de problème est de factoriser la fonction rationnelle, car cela nous permettra de simplifier facilement et d’identifier les zéros au dénominateur. En considérant le numérateur, nous pouvons voir qu’il s’agit d’une différence de carrés, de sorte qu’elle peut être factorisée comme suit :
Pour le dénominateur, comme les deux termes partagent un facteur commun de , on peut factoriser pour obtenir
Par conséquent, la forme factorisée est
Avant de simplifier davantage ou de trouver l’inverse de la multiplication, nous devons déterminer les zéros du dénominateur. Ce sont les valeurs de ce qui donne , qui sont et .
Maintenant, nous pouvons simplifier :
Pour trouver l’inverse de la multiplication, nous prenons l’inverse, ce qui signifie échanger le numérateur et le dénominateur, pour nous donner
Pour cette fonction, on peut voir que conduit à ce que le dénominateur soit nul. L’ensemble de définition de la fonction est donc moins cette valeur, ainsi que les valeurs qui rendent indéfini que nous avons calculé précédemment, c’est-à-dire, .
En résumé, l’inverse de la multiplication est , avec l’ensemble de définition .
Après avoir considéré les inverses de la multiplication, considérons un concept très similaire : la division. Lorsque l’on divise par un nombre, on multiplie par l’inverse :
Cela peut bien sûr être étendu aux nombres rationnels. Rappelons que si l’on veut diviser par un nombre rationnel, on peut en fait multiplier par l’inverse (c’est-à-dire l’inverse de la multiplication) :
On peut faire la même chose avec des fractions rationnelles.
Supposons que nous ayons deux fonctions rationnelles d’expressions et , leur quotient est
Une fois que l'on a pris l’expression inverse de la fonction, le reste du calcul se fait de la même manière que lorsque l'on multiplie les expressions des fonctions ensemble.
Cependant, tout comme pour les inverses de la multiplication, nous devons faire attention lorsque nous considérons l’ensemble de définition du quotient. Notez que, dans l’expression ci-dessus, on doit avoir et pour tout . Une fois que l'on a pris l’inverse, on peut voir que l'on a aussi besoin de . Ainsi, par rapport au cas de la multiplication, on doit vérifier une condition supplémentaire pour déterminer le bon ensemble de définition. Cela conduit à la règle suivante.
Règle : Quotient de fonctions rationnelles
Si et sont deux fonctions rationnelles et leur quotient est , alors et l’ensemble de définition de la fonction est , où désigne l’ensemble des racines pour une fonction.
Cette règle signifie que l'on doit considérer toutes les valeurs pour lesquelles un dénominateur peut être nul et les exclure de l’ensemble de définition.
Nous allons montrer exactement comment cela fonctionne dans l’exemple suivant.
Exemple 6: Identifier l’ensemble de définition d’une fonction dont l’expression est le quotient de deux expressions rationnelles
Déterminez l’ensemble de définition de la fonction définie par .
Réponse
Rappelons que, pour l’ensemble de définition d’une fonction dont l’expression est le quotient de deux expressions rationnelles, on doit calculer les valeurs pour lesquelles
On n’a pas besoin de considérer l’équation car cela ne posera pas de problèmes lors de la division. En observant la fonction donnée, on peut confirmer que si ou , sera indéfini. Cela signifie que l'on ne peut pas avoir , car dans ce cas les deux expressions sont égales à 0.
On sait que lorsque l'on divise par une expression rationnelle, c'est équivalent à multiplier par l’inverse. Donc, une autre façon d’écrire est
On note que, pour trouver l’ensemble de définition, il est important de ne pas simplifier l’expression car nous pourrions retirer des composantes importantes. Dans cet exemple, on a au dénominateur et au numérateur, donc on simplifie par . Si l'on faisait ceci avant de vérifier l’ensemble de définition, alors on pourrait passer à côté du fait que (bien que, heureusement, nous ayons déjà trouvé cela ci-dessus).
En tout cas, en considérant la forme de , on peut confirmer que est l’autre condition pour l’ensemble de définition, ce qui conduit à . Maintenant, sachant que l’ensemble des valeurs pour lesquelles cette fonction n'est pas définie est , on peut dire que l’ensemble de définition doit être .
Après avoir examiné la division des fonctions rationnelles avec des composantes linéaires, revenons une fois de plus au cas d’un problème avec des polynômes du second degré, car cela nous obligera à effectuer des calculs légèrement plus approfondis.
Exemple 7: Déterminer l’ensemble de définition du quotient de deux expressions rationnelles avec des composantes du second degré
Déterminez l’ensemble de définition de la fonction définie par .
Réponse
Rappelons que, pour l’ensemble de définition d’une fonction dont l’expression est le quotient de deux expressions rationnelles, on doit considérer les valeurs pour lesquelles
On n'a pas besoin de considérer car ce n’est pas un problème si cette expression s'annule. Commençons par factoriser ces trois expressions. On peut factoriser la première expression pour obtenir
Ainsi, on trouve ici que sont deux valeurs n'appartenant pas à l’ensemble de définition. Pour la deuxième expression,
Donc, est une autre valeur interdite. Enfin, on a
Cela nous dit que est une valeur interdite, ce que nous savions déjà à partir de la première expression.
En combinant ces résultats, on trouve que l’ensemble de définition de la fonction d’expression est .
Pour l’instant, nous n’avons pas eu à calculer une expression explicite du quotient de deux fonctions rationnelles. Pour notre dernier exemple, considérons un problème où nous devons le faire, puis déterminons la valeur pour laquelle la fonction obtenue est égale à une valeur donnée.
Exemple 8: Simplifier une fonction rationnelle par factorisation puis l’évaluer pour des valeurs données
Sachant que et , déterminez la valeur de .
Réponse
Pour résoudre ce problème, nous pourrions essayer de remplacer directement dans et chercher sa valeur pour que l’expression soit égale à 4, mais comme cela aboutirait à une équation d’inconnue qui ne se simplifierait pas facilement, cela serait probablement difficile. Au lieu de cela, une meilleure approche consiste à commencer par simplifier la fonction puis à remplacer par dans la forme simplifiée. Commençons la simplification par le numérateur en haut à gauche,
Pour factoriser cela, puisqu’il s’agit d’une expression du second degré, on souhaite trouver deux nombres dont le produit vaut 14 et dont la somme vaut 9. Ce sont 2 et 7. Ainsi, on peut factoriser l’expression pour obtenir
Pour le dénominateur, on remarque que est un carré parfait. Ainsi, on peut le factoriser pour trouver
Pour le deuxième quotient, on peut voir que, au numérateur, on a encore un carré parfait qui peut être factorisé pour obtenir
Enfin, pour le dénominateur, on remarque qu’il existe un facteur commun de , que l'on peut factoriser pour obtenir
En rassemblant tout cela, on obtient la factorisation suivante pour :
Maintenant, on nous a donné que est une équation valable, mais juste pour être sûr, on peut trouver l’ensemble de définition de avant de simplifier davantage, en calculant les racines des équations suivantes :
La première équation nous donne et , la deuxième donne et , et la troisième donne et encore une fois. Ainsi, l’ensemble de définition de la fonction est .
Maintenant, on simplifie l’expression de en prenant l’inverse du diviseur pour obtenir
Ensuite, on simplifie les facteurs comme suit :
Grâce aux simplifications, cette équation a été réduite de façon significative de sorte que l'on peut résoudre assez facilement. On a
Récapitulons les points clés que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- La multiplication de fonctions rationnelles fonctionne de la manière suivante : où l’ensemble de définition du produit est et désigne les zéros d’une fonction.
- Pour déterminer l’inverse d’une fonction rationnelle , on échange le numérateur et le dénominateur : , et l’ensemble de définition de l’inverse est .
- On peut diviser des fonctions rationnelles en multipliant par l’inverse : où l’ensemble de définition du quotient est .
- La factorisation nous aide à simplifier la réponse et à trouver toutes les valeurs qui n'appartiennent pas à l’ensemble de définition.
- Lors du calcul du quotient, on doit faire attention à bien vérifier le numérateur du diviseur pour trouver l’ensemble de définition.
