Transcription de la vidéo
Dans cette vidĂ©o, nous allons apprendre Ă multiplier et diviser des fonctions rationnelles. Une fonction đ associant un domaine đ pour organiser lâensemble đ est une fonction rationnelle si on peut lâĂ©crire sous la forme đ de đ„ Ă©gale đ de đ„ divisĂ© par đ de đ„, oĂč đ et đ sont des polynĂŽmes et đ de đ„ nâest pas Ă©gal Ă zĂ©ro pour toutes les valeurs de đ„ dans le domaine đ. Le domaine de dĂ©finition đ dĂ©pend de la fonction au dĂ©nominateur đ. Toute valeur de đ„ pour laquelle đ de đ„ Ă©gale zĂ©ro doit ĂȘtre exclue du domaine đ car sinon on devra diviser par zĂ©ro et đ de đ„ serait indĂ©finie.
Voyons ce qui se passe lorsquâon multiplie deux fonctions rationnelles. Rappelons que si on considĂšre deux nombres rationnels, đ sur đ et đ sur đ , et quâon les multiplie ensemble, leur produit est đđ sur đđ . On multiplie les numĂ©rateurs đ et đ pour obtenir le nouveau numĂ©rateur đđ. Et on multiplie les dĂ©nominateurs đ et đ pour obtenir le nouveau dĂ©nominateur đđ . Les fonctions rationnelles fonctionnent exactement de la mĂȘme maniĂšre. Supposons quâon ait deux fonctions rationnelles : đ de đ„ Ă©gale đ de đ„ sur đ de đ„ et â de đ„ Ă©gale đ de đ„ sur đ de đ„. Pour Ă©valuer le produit de ces deux fonctions, on les traite exactement comme les nombres rationnels. On prend les numĂ©rateurs et on les multiplie ensemble pour obtenir le nouveau numĂ©rateur. De mĂȘme, on prend les dĂ©nominateurs et on les multiplie ensemble pour avoir le nouveau dĂ©nominateur.
Cela donne le rĂ©sultat suivant. Soit đ de đ„ Ă©gale đ de đ„ sur đ de đ„ et â de đ„ Ă©gale đ de đ„ sur đ de đ„ deux fonctions rationnelles. Supposons que leur produit đ de đ„ â de đ„ est Ă©gal Ă đ de đ„. Alors đ de đ„ Ă©gale đ de đ„ đ de đ„ sur đ de đ„ đ de đ„ et le domaine de đ de đ„ est le domaine commun de đ de đ„ et â de đ„. Le domaine commun de đ de đ„ et â de đ„ est lâintersection du domaine de đ et du domaine de â, câest-Ă -dire tous les Ă©lĂ©ments communs aux deux domaines. On peut trouver ce domaine commun en trouvant toutes les valeurs de đ„ pour lesquelles đ de đ„ ou đ de đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro et donc đ de đ„ est indĂ©finie et les retirer de lâensemble des nombres rĂ©els.
Prenons un exemple simple. đ de đ„ Ă©gale deux sur đ„ moins trois, et â de đ„ Ă©gale quatre đ„ plus un sur đ„. Pour Ă©valuer le produit de đ de đ„ et â de đ„, on prend les numĂ©rateurs et on les multiplie ensemble puis, on prend les dĂ©nominateurs et on les multiplie ensemble. Ce qui donne deux fois quatre đ„ plus un sur đ„ moins trois fois đ„. Le domaine de đ est lâensemble des nombres rĂ©els auquel on retire toutes les valeurs de đ„ pour lesquelles đ de đ„ est indĂ©finie. Les valeurs de đ„ pour lesquelles đ de đ„ est indĂ©finie sont les mĂȘmes valeurs de đ„ pour lesquelles đ de đ„ et â de đ„ sont indĂ©finies.
La valeur de đ„ pour laquelle đ de đ„ est indĂ©finie satisfait lâĂ©quation đ„ moins trois Ă©gale zĂ©ro. Par consĂ©quent, đ de đ„ est indĂ©finie Ă đ„ est Ă©gal Ă trois. La valeur de đ„ pour laquelle â de đ„ est indĂ©finie satisfait lâĂ©quation đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro. Par consĂ©quent, â de đ„ est indĂ©finie Ă đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro. Puisque đ de đ„ est le produit de đ de đ„ et â de đ„, elle est indĂ©finie Ă đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro et đ„ est Ă©gal Ă trois. Par consĂ©quent, le domaine de đ est lâensemble des nombres rĂ©els â privĂ© de lâensemble des valeurs zĂ©ro et trois. Lorsquâon Ă©value le produit de deux fonctions rationnelles, on doit toujours trouver le domaine de la fonction rĂ©sultante avant de simplifier.
ConsidĂ©rons, par exemple, que nous avions đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ au carrĂ© sur đ„ moins un fois đ„ moins un sur đ„. Ce produit nous donne đ„ au carrĂ© fois đ„ moins un sur đ„ moins un fois đ„. Si on simplifie cette expression, dâabord en Ă©liminant les đ„ moins un au numĂ©rateur et au dĂ©nominateur, puis un des đ„ au numĂ©rateur avec le đ„ du dĂ©nominateur, on obtiendrait đ de đ„ Ă©gale đ„, une fonction dĂ©finie pour toute valeur rĂ©elle de đ„. Mais cela ne tient pas compte du fait que le produit original Ă©tait indĂ©fini pour deux valeurs de đ„, đ„ Ă©gale un et đ„ Ă©gale zĂ©ro. Il est donc crucial de vĂ©rifier le domaine de đ avant dâĂ©liminer un terme de lâexpression.
Voyons maintenant un exemple.
Simplifiez la fonction đ de đ„ Ă©gale đ„ au carrĂ© plus 16đ„ plus 64 sur đ„ au carrĂ© plus huit đ„ fois sept đ„ moins 56 sur 64 moins đ„ au carrĂ© et dĂ©terminez son domaine.
La meilleure façon dâaborder un problĂšme comme celui-ci est de simplifier les expressions par factorisation avant dâĂ©valuer le produit. Dans le premier quotient, le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur sont des fonctions du second degrĂ© et peuvent ĂȘtre factorisĂ©es. ConsidĂ©rons dâabord le numĂ©rateur. On peut factoriser cette expression et obtenir đ„ plus huit fois đ„ plus huit, quâon peut rĂ©Ă©crire comme đ„ plus huit le tout au carrĂ©. Maintenant, considĂ©rons le dĂ©nominateur. On peut factoriser cela et obtenir đ„ fois đ„ plus huit. Maintenant, passons au numĂ©rateur du deuxiĂšme terme. Ici, on peut prendre un facteur commun de sept et on obtient sept fois đ„ moins huit. Et enfin, pour le dĂ©nominateur du deuxiĂšme terme, on a une diffĂ©rence de deux carrĂ©s puisque 64 est Ă©gal Ă huit au carrĂ©. On peut donc factoriser cela et avoir huit moins đ„ fois huit plus đ„.
On peut donc simplifier đ de đ„ et obtenir đ„ plus huit le tout au carrĂ© sur đ„ fois đ„ plus huit fois sept fois đ„ moins huit sur huit moins đ„ fois huit plus đ„. Nous devons maintenant trouver le domaine de đ de đ„ avant dâĂ©valuer le produit et de simplifier avec des Ă©liminations. đ de đ„ est indĂ©finie si lâun des termes des produits du dĂ©nominateur est Ă©gal Ă zĂ©ro. Donc, si đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro, đ„ plus huit est Ă©gal Ă zĂ©ro, huit moins đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro, ou huit plus đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro.
Les valeurs de đ„ pour lesquelles đ de đ„ est indĂ©finie sont les valeurs qui satisfont ces Ă©quations. On a donc đ„ Ă©gal Ă zĂ©ro, đ„ Ă©gal Ă moins huit, đ„ Ă©gal Ă huit et đ„ Ă©gal Ă moins huit une deuxiĂšme fois. Par consĂ©quent, le domaine de đ est lâensemble des nombres rĂ©els â privĂ© de lâensemble des valeurs moins huit, zĂ©ro et huit. Et notez quâil nâest pas nĂ©cessaire dâinclure moins huit deux fois.
Maintenant, nous pouvons procĂ©der Ă lâĂ©limination des termes pour simplifier les expressions. Pour le premier terme du produit, on peut Ă©liminer lâun des đ„ plus huit du numĂ©rateur et le đ„ plus huit du dĂ©nominateur. Et pour le deuxiĂšme terme, notez que lâun des termes du numĂ©rateur, đ„ moins huit, est exactement moins un fois lâun des termes du dĂ©nominateur, huit moins đ„. Si on factorise moins un de đ„ moins huit au numĂ©rateur, ça devient huit moins đ„. Cela peut ensuite Ă©liminer le terme du dĂ©nominateur. Jusquâici, nous avons simplifiĂ© đ de đ„ en đ„ plus huit sur đ„ fois moins sept sur huit plus đ„.
Maintenant, si on Ă©value ce produit en multipliant les numĂ©rateurs et les dĂ©nominateurs ensemble, on obtient đ„ plus huit fois moins sept sur đ„ fois huit plus đ„. Le đ„ plus huit du numĂ©rateur va Ă©liminer le huit plus đ„ du dĂ©nominateur. Cela nous donne la deuxiĂšme partie de notre rĂ©ponse, đ de đ„ Ă©gale moins sept sur đ„.
Dans cet exemple, nous avions affaire à des expressions du second degré sur les numérateurs et les dénominateurs. Voyons un exemple avec des expressions cubiques.
Simplifiez la fonction đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ au cube plus 343 sur deux đ„ au carrĂ© plus 14đ„ fois đ„ plus trois sur đ„ au carrĂ© moins sept đ„ plus 49 et dĂ©terminez son domaine.
Avant dâĂ©valuer le produit, il est prĂ©fĂ©rable de simplifier les expressions autant que possible par factorisation, car cela nous permettra de dĂ©terminer facilement le domaine de đ de đ„. Commençons par le numĂ©rateur du premier terme, đ„ au cube plus 343. Rappelons que pour une somme de deux cubes, đ„ au cube et đ au cube, on peut factoriser cette expression comme đ„ plus đ fois đ„ au carrĂ© moins đđ„ plus đ au carrĂ©. Lâexpression ici est une somme de deux cubes puisque on a đ„ au cube et 343, qui est le cube dâun nombre. En fait, il se trouve que 343 est exactement sept au cube. Par consĂ©quent, nous pouvons factoriser cette expression et obtenir đ„ plus sept fois đ„ au carrĂ© moins sept đ„ plus sept au carrĂ©, qui est Ă©gal Ă 49.
On pourrait essayer de factoriser davantage en factorisant ce terme quadratique. Cependant, si on considĂšre le discriminant de ce terme quadratique, đ au carrĂ© moins quatre đđ, on obtient moins 147, qui est infĂ©rieur Ă zĂ©ro. Par consĂ©quent, cette expression nâa pas de racines rĂ©elles et ne peut donc pas ĂȘtre factorisĂ©e. Ensuite, lorsquâon regarde le dĂ©nominateur du premier terme, deux đ„ au carrĂ© plus 14đ„, on peut factoriser par deux đ„ pour obtenir deux đ„ fois đ„ plus sept. Le numĂ©rateur du terme de droite, đ„ plus trois, est dĂ©jĂ le plus simple possible. Et pour le dĂ©nominateur du terme de droite, on a exactement la mĂȘme expression quâici, đ„ au carrĂ© moins sept đ„ plus 49. Et on sait quâon ne peut plus la factoriser.
Nous avons jusquâici simplifiĂ© đ de đ„ en đ„ plus sept fois đ„ au carrĂ© moins sept đ„ plus 49 sur deux đ„ fois đ„ plus sept fois đ„ plus trois sur đ„ au carrĂ© moins sept đ„ plus 49. Avant dâĂ©valuer le produit, nous devons dĂ©finir le domaine de đ en trouvant toutes les valeurs de đ„ pour lesquelles đ de đ„ est indĂ©finie et les retirer de lâensemble des nombres rĂ©els. đ de đ„ est indĂ©finie pour toutes les valeurs de đ„ qui rendent lâun des dĂ©nominateurs de ce produit Ă©gal Ă zĂ©ro. Ces valeurs de đ„ satisferont donc deux đ„ Ă©gal Ă zĂ©ro, đ„ plus sept Ă©gal Ă zĂ©ro et đ„ au carrĂ© moins sept đ„ plus 49 Ă©gal Ă zĂ©ro. On peut facilement rĂ©soudre ces deux premiĂšres Ă©quations et obtenir đ„ et on a đ„ Ă©gale zĂ©ro et đ„ Ă©gale moins sept.
Pour lâĂ©quation finale, nous avons dĂ©jĂ montrĂ© que cette expression quadratique a un discriminant infĂ©rieur Ă zĂ©ro et nâa donc aucune solution rĂ©elle. Par consĂ©quent, il nây a pas de valeurs de đ„ qui rendent ce dĂ©nominateur Ă©gal Ă zĂ©ro. Par consĂ©quent, le domaine de đ est lâensemble des nombres rĂ©els â sauf les valeurs zĂ©ro et sept. Maintenant, nous pouvons continuer et Ă©valuer le produit de ces deux expressions en multipliant les numĂ©rateurs et les dĂ©nominateurs ensemble, ce qui donne đ„ plus sept fois đ„ au carrĂ© moins sept đ„ plus 49 fois đ„ plus trois le tout sur deux đ„ fois đ„ plus sept fois đ„ au carrĂ© moins sept đ„ plus 49.
Ătant donnĂ© que nous avons dĂ©fini le domaine de đ, nous pouvons maintenant Ă©liminer les termes sans crainte. Le đ„ plus sept du numĂ©rateur va Ă©liminer le đ„ plus sept du dĂ©nominateur. Et le đ„ au carrĂ© moins sept đ„ plus 49 du numĂ©rateur va Ă©liminer celui du dĂ©nominateur. Et cela nous donne la deuxiĂšme partie de notre rĂ©ponse, đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ plus trois sur deux đ„.
Parfois, au lieu de dĂ©terminer le domaine dâun produit de fonctions rationnelles, on a juste besoin dâĂ©valuer la fonction en un point donnĂ©. Dans cette situation, il nâest pas nĂ©cessaire de simplifier ou dâĂ©liminer des termes, on introduit juste la valeur de đ„ dans lâexpression. Voyons un exemple.
Ătant donnĂ© la fonction đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ moins six sur đ„ au carrĂ© moins 15đ„ plus 54 fois đ„ au carrĂ© moins trois đ„ moins 28 sur deux đ„ au carrĂ© moins 15đ„ plus sept, Ă©valuez đ de sept si possible.
Pour Ă©valuer đ de sept, il suffit de substituer la valeur đ„ Ă©gale sept dans lâexpression. Cela nous donne đ de sept Ă©gale sept moins six sur sept au carrĂ© moins 15 fois sept plus 54 le tout multipliĂ© par sept au carrĂ© moins trois fois sept moins 28 sur deux fois sept au carrĂ© moins 15 fois sept plus sept. Lorsquâon simplifie les deux termes de lâexpression, on a un divisĂ© par moins deux fois zĂ©ro divisĂ© par zĂ©ro, ce qui est indĂ©fini. Par consĂ©quent, on ne peut pas Ă©valuer đ de sept car đ est indĂ©finie en ce point.
Nous avons jusquâici explorĂ© comment multiplier deux fonctions rationnelles ensemble. Mais que se passe-t-il si on veut diviser une fonction rationnelle par une autre ? ConsidĂ©rons comment le faire avec des nombres rationnels, đ sur đ et đ sur đ . Pour Ă©valuer đ sur đ divisĂ© par đ sur đ , on inverse le deuxiĂšme nombre rationnel, đ sur đ , puis on Ă©value le produit. Cela nous donne alors đ sur đ multipliĂ© par đ sur đ. On procĂšde ensuite avec la multiplication, ce qui donne đđ sur đđ. Rappelons Ă©galement que lorsquâon divise des nombres rationnels, on doit faire encore plus attention aux zĂ©ros.
Pour commencer, đ et đ doivent ĂȘtre non-nuls pour que les nombres rationnels soient dĂ©finis. Mais alors, lorsquâon Ă©value le produit, đ doit Ă©galement ĂȘtre non-nul puisquâon divise par cela dans ce cas. Il en va de mĂȘme pour les fonctions rationnelles. Si đ de đ„ Ă©gale đ de đ„ sur đ de đ„ et â de đ„ Ă©gale đ de đ„ sur đ de đ„ sont deux fonctions rationnelles et leur quotient est đ de đ„ Ă©gale đ de đ„ sur â de đ„, alors đ de đ„ est Ă©gal Ă đ de đ„ đ de đ„ sur đ de đ„ đ de đ„. Et le domaine de đ est lâensemble des nombres rĂ©els â privĂ© de đ de đ de đ„ moins đ de đ de đ„ moins đ de đ de đ„. đ dĂ©signe les zĂ©ros dâune fonction.
Ainsi, par exemple, đ de đ de đ„ est lâensemble des valeurs de đ„ pour lesquelles đ de đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro. Nous devons enlever les zĂ©ros de đ de đ„, đ de đ„ et đ de đ„ du domaine de đ avec la mĂȘme logique que đ, đ et đ lorsque la division des nombres rationnels ne doit pas ĂȘtre Ă©gale Ă zĂ©ro.
Voyons exactement comment cela fonctionne avec un exemple.
DĂ©terminez le domaine de la fonction đ de đ„ est Ă©gal Ă trois đ„ moins 15 sur đ„ moins six divisĂ© par six đ„ moins 30 sur quatre đ„ moins 24.
Rappelons que lorsquâon a une fonction đ de đ„ qui est le quotient de deux fonctions rationnelles, đ de đ„ sur đ de đ„ et đ de đ„ sur đ de đ„, on doit sâassurer dâexclure toutes valeurs de đ„ pour lesquelles đ de đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro, đ de đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro et đ de đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro, du domaine de đ. đ de đ„ et đ de đ„ ne doivent jamais ĂȘtre Ă©gales Ă zĂ©ro car diviser par zĂ©ro rendrait đ indĂ©finie. De plus, đ de đ„ ne doit pas non plus ĂȘtre Ă©gale Ă zĂ©ro puisque lorsquâon Ă©value le quotient, on utilise lâinverse de đ de đ„ sur đ de đ„ avant de multiplier les deux fractions. Par consĂ©quent, le domaine de đ est lâensemble des nombres rĂ©els â privĂ© de đ de đ de đ„ moins đ de đ de đ„ moins đ de đ de đ„, oĂč đ dĂ©signe les zĂ©ros de la fonction, câest-Ă -dire les valeurs de đ„ pour lesquelles la fonction est Ă©gale Ă zĂ©ro.
Dans notre cas, đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ moins six, đ de đ„ est six đ„ moins 30, et đ de đ„ est quatre đ„ moins 24. Nous devons donc dĂ©terminer đ„ pour ces trois Ă©quations et enlever ces valeurs de đ„ de lâensemble des nombres rĂ©els pour obtenir le domaine de đ. De la premiĂšre Ă©quation on obtient đ„ Ă©gale six, de la deuxiĂšme Ă©quation on a đ„ Ă©gale cinq, et de la troisiĂšme Ă©quation on a encore đ„ Ă©gale six. Par consĂ©quent, le domaine de đ est lâensemble des nombres rĂ©els â privĂ© de lâensemble des valeurs cinq et six. Et remarquez quâil nâest pas nĂ©cessaire dâexclure six deux fois.
Dans le dernier exemple, nous allons examiner le quotient des fonctions rationnelles avec des expressions cubiques.
Simplifiez la fonction đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ au carrĂ© moins 12đ„ plus 36 sur đ„ au cube moins 216 divisĂ© par sept đ„ moins 42 sur đ„ au carrĂ© plus six đ„ plus 36, et dĂ©terminez son domaine.
Pour simplifier đ de đ„, commençons par factoriser chacun des termes dans les expressions rationnelles, en commençant par le numĂ©rateur du terme de gauche, đ„ au carrĂ© moins 12đ„ plus 36. On peut factoriser cela et obtenir đ„ moins six fois đ„ moins six, qui est Ă©quivalent Ă đ„ moins six au carrĂ©. Pour le dĂ©nominateur du terme de gauche, on a une diffĂ©rence de deux cubes. Rappelons que lorsquâon a une diffĂ©rence de deux cubes, đ„ au cube moins đ au cube, on peut factoriser cela comme đ„ moins đ fois đ„ au carrĂ© plus đđ„ plus đ au carrĂ©. 216 est le cube dâun nombre, et il se trouve que câest un cube parfait, six au cube. Par consĂ©quent, on peut factoriser cela comme đ„ moins six fois đ„ au carrĂ© plus six đ„ plus six au carrĂ©, soit 36.
On pourrait essayer de factoriser cette expression quadratique. En considĂ©rant le discriminant đ au carrĂ© moins quatre đđ, on obtient un rĂ©sultat de moins 108, qui est infĂ©rieur Ă zĂ©ro. Par consĂ©quent, cette expression quadratique nâa pas de racines rĂ©elles et ne peut plus ĂȘtre factorisĂ©e. Pour le numĂ©rateur de la deuxiĂšme fonction rationnelle, on a sept đ„ moins 42. On peut factoriser sept pour obtenir sept fois đ„ moins six. Et enfin, pour le dĂ©nominateur de la deuxiĂšme fonction rationnelle, on a đ„ au carrĂ© plus six đ„ plus 36. Nous venons de montrer que cette expression nâa pas de racines rĂ©elles et ne peut pas ĂȘtre factorisĂ©e.
Jusquâici, on peut simplifier đ de đ„ en đ„ moins six le tout au carrĂ© sur đ„ moins six fois đ„ au carrĂ© plus six đ„ plus 36 divisĂ© par sept fois đ„ moins six sur đ„ au carrĂ© plus six đ„ plus 36. Rappelons que pour une fonction đ de đ„ qui est le quotient de deux fonctions rationnelles, đ de đ„ sur đ de đ„ et đ de đ„ sur đ de đ„, le domaine de đ est lâensemble des nombres rĂ©els â moins đ de đ de đ„ moins đ de đ de đ„ moins đ de đ de đ„, oĂč đ dĂ©signe les zĂ©ros dâune fonction. Dans notre cas, đ de đ„ est le dĂ©nominateur de la premiĂšre fonction rationnelle, đ„ moins six fois đ„ au carrĂ© plus six đ„ plus 36. đ de đ„ est le numĂ©rateur de la deuxiĂšme fonction rationnelle, sept fois đ„ moins six. Et đ de đ„ est le dĂ©nominateur de la deuxiĂšme fonction rationnelle, đ„ au carrĂ© plus six đ„ plus 36.
Nous devons trouver toutes les valeurs de đ„ qui rĂ©solvent les Ă©quations đ de đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro, đ de đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro et đ de đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro et les exclure de lâensemble des nombres rĂ©els pour trouver le domaine de đ. Pour la premiĂšre Ă©quation, đ„ moins six doit ĂȘtre Ă©gal Ă zĂ©ro ou đ„ au carrĂ© plus six đ„ plus 36 doit ĂȘtre Ă©gal Ă zĂ©ro. Si đ„ moins six est Ă©gal Ă zĂ©ro, đ„ est Ă©gal Ă six.
Pour cette expression quadratique, nous avons dĂ©jĂ vu plus tĂŽt que le discriminant, đ au carrĂ© moins quatre đđ, Ă©tait infĂ©rieur Ă zĂ©ro. Par consĂ©quent, cette expression nâa pas de racines rĂ©elles et ne peut donc pas ĂȘtre Ă©gale Ă zĂ©ro pour une valeur rĂ©elle de đ„. La deuxiĂšme Ă©quation est facile, on a encore đ„ est Ă©gal Ă six. Et pour la troisiĂšme Ă©quation, nous avons exactement la mĂȘme expression quadratique avec un discriminant infĂ©rieur Ă zĂ©ro. Par consĂ©quent, il nây a pas de valeurs rĂ©elles de đ„ qui rĂ©solvent cette Ă©quation. Par consĂ©quent, la seule valeur de đ„ pour laquelle lâune de ces fonctions est Ă©gale Ă zĂ©ro est six. Par consĂ©quent, le domaine de đ est lâensemble des nombres rĂ©els â moins lâĂ©lĂ©ment unique six.
Maintenant, nous pouvons procĂ©der et Ă©valuer le quotient et simplifier. Pour Ă©valuer le quotient, on inverse la fonction rationnelle du diviseur. On Ă©change donc le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur, puis on change la division en multiplication. Lorsquâon multiplie les numĂ©rateurs et les dĂ©nominateurs, on obtient đ„ moins six le tout au carrĂ© fois đ„ au carrĂ© plus six đ„ plus 36 le tout sur đ„ moins six fois đ„ au carrĂ© plus six đ„ plus 36 fois sept fois times moins six. Le đ„ moins six au carrĂ© du numĂ©rateur Ă©limine les deux termes đ„ moins six du dĂ©nominateur. Et le đ„ au carrĂ© plus six đ„ plus 36 va Ă©galement Ă©liminer celui du dĂ©nominateur. Cela nous laisse avec un au numĂ©rateur et sept au dĂ©nominateur, donc đ de đ„ est Ă©gal Ă un septiĂšme.
Terminons cette vidĂ©o en rĂ©capitulant quelques points clĂ©s. Si on a deux fonctions rationnelles, đ de đ„ sur đ de đ„ et đ de đ„ sur đ de đ„, leur produit est dĂ©fini par đ de đ„ đ de đ„ sur đ de đ„ đ de đ„. Le domaine de la fonction rĂ©sultante est lâensemble des nombres rĂ©els â privĂ© de toutes les valeurs de đ„ qui rendent la fonction indĂ©finie, câest-Ă -dire les zĂ©ros de đ de đ„ et đ de đ„. Pour Ă©valuer le quotient de deux fonctions rationnelles, on inverse la fonction rationnelle du diviseur, đ de đ„ sur đ de đ„, en changeant le numĂ©rateur avec le dĂ©nominateur. Et puis on Ă©value le produit des deux fonctions rationnelles rĂ©sultantes, ce qui donne đ de đ„ đ de đ„ sur đ de đ„ đ de đ„. Le domaine de la fonction rĂ©sultante sera lâensemble des nombres rĂ©els â moins les zĂ©ros de đ de đ„, đ de đ„ et đ de đ„.
Retenez que lâon doit enlever les zĂ©ros de đ de đ„, car on lâinverse et puis on divise par ce dernier. Donc, si câest Ă©gal Ă zĂ©ro la fonction sera Ă©galement indĂ©finie. Retenez quâon doit toujours trouver le domaine de la fonction rĂ©sultante avant de simplifier et dâĂ©liminer des termes.