Vidéo de la leçon : Multiplication et Division des Fonctions Rationnelles Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à multiplier et diviser des fonctions rationnelles.

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à multiplier et diviser des fonctions rationnelles. Une fonction 𝑓 associant un domaine 𝑋 pour organiser l’ensemble 𝑌 est une fonction rationnelle si on peut l’écrire sous la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑝 de 𝑥 divisé par 𝑞 de 𝑥, où 𝑝 et 𝑞 sont des polynômes et 𝑞 de 𝑥 n’est pas égal à zéro pour toutes les valeurs de 𝑥 dans le domaine 𝑋. Le domaine de définition 𝑋 dépend de la fonction au dénominateur 𝑞. Toute valeur de 𝑥 pour laquelle 𝑞 de 𝑥 égale zéro doit être exclue du domaine 𝑋 car sinon on devra diviser par zéro et 𝑓 de 𝑥 serait indéfinie.

Voyons ce qui se passe lorsqu’on multiplie deux fonctions rationnelles. Rappelons que si on considère deux nombres rationnels, 𝑝 sur 𝑞 et 𝑟 sur 𝑠, et qu’on les multiplie ensemble, leur produit est 𝑝𝑟 sur 𝑞𝑠. On multiplie les numérateurs 𝑝 et 𝑟 pour obtenir le nouveau numérateur 𝑝𝑟. Et on multiplie les dénominateurs 𝑞 et 𝑠 pour obtenir le nouveau dénominateur 𝑞𝑠. Les fonctions rationnelles fonctionnent exactement de la même manière. Supposons qu’on ait deux fonctions rationnelles : 𝑔 de 𝑥 égale 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥 et ℎ de 𝑥 égale 𝑟 de 𝑥 sur 𝑠 de 𝑥. Pour évaluer le produit de ces deux fonctions, on les traite exactement comme les nombres rationnels. On prend les numérateurs et on les multiplie ensemble pour obtenir le nouveau numérateur. De même, on prend les dénominateurs et on les multiplie ensemble pour avoir le nouveau dénominateur.

Cela donne le résultat suivant. Soit 𝑔 de 𝑥 égale 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥 et ℎ de 𝑥 égale 𝑟 de 𝑥 sur 𝑠 de 𝑥 deux fonctions rationnelles. Supposons que leur produit 𝑔 de 𝑥 ℎ de 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥. Alors 𝑓 de 𝑥 égale 𝑝 de 𝑥 𝑟 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥 𝑠 de 𝑥 et le domaine de 𝑓 de 𝑥 est le domaine commun de 𝑔 de 𝑥 et ℎ de 𝑥. Le domaine commun de 𝑔 de 𝑥 et ℎ de 𝑥 est l’intersection du domaine de 𝑔 et du domaine de ℎ, c’est-à-dire tous les éléments communs aux deux domaines. On peut trouver ce domaine commun en trouvant toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑞 de 𝑥 ou 𝑠 de 𝑥 est égal à zéro et donc 𝑓 de 𝑥 est indéfinie et les retirer de l’ensemble des nombres réels.

Prenons un exemple simple. 𝑔 de 𝑥 égale deux sur 𝑥 moins trois, et ℎ de 𝑥 égale quatre 𝑥 plus un sur 𝑥. Pour évaluer le produit de 𝑔 de 𝑥 et ℎ de 𝑥, on prend les numérateurs et on les multiplie ensemble puis, on prend les dénominateurs et on les multiplie ensemble. Ce qui donne deux fois quatre 𝑥 plus un sur 𝑥 moins trois fois 𝑥. Le domaine de 𝑓 est l’ensemble des nombres réels auquel on retire toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est indéfinie. Les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est indéfinie sont les mêmes valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑔 de 𝑥 et ℎ de 𝑥 sont indéfinies.

La valeur de 𝑥 pour laquelle 𝑔 de 𝑥 est indéfinie satisfait l’équation 𝑥 moins trois égale zéro. Par conséquent, 𝑔 de 𝑥 est indéfinie à 𝑥 est égal à trois. La valeur de 𝑥 pour laquelle ℎ de 𝑥 est indéfinie satisfait l’équation 𝑥 est égal à zéro. Par conséquent, ℎ de 𝑥 est indéfinie à 𝑥 est égal à zéro. Puisque 𝑓 de 𝑥 est le produit de 𝑔 de 𝑥 et ℎ de 𝑥, elle est indéfinie à 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à trois. Par conséquent, le domaine de 𝑓 est l’ensemble des nombres réels ℝ privé de l’ensemble des valeurs zéro et trois. Lorsqu’on évalue le produit de deux fonctions rationnelles, on doit toujours trouver le domaine de la fonction résultante avant de simplifier.

Considérons, par exemple, que nous avions 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré sur 𝑥 moins un fois 𝑥 moins un sur 𝑥. Ce produit nous donne 𝑥 au carré fois 𝑥 moins un sur 𝑥 moins un fois 𝑥. Si on simplifie cette expression, d’abord en éliminant les 𝑥 moins un au numérateur et au dénominateur, puis un des 𝑥 au numérateur avec le 𝑥 du dénominateur, on obtiendrait 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥, une fonction définie pour toute valeur réelle de 𝑥. Mais cela ne tient pas compte du fait que le produit original était indéfini pour deux valeurs de 𝑥, 𝑥 égale un et 𝑥 égale zéro. Il est donc crucial de vérifier le domaine de 𝑓 avant d’éliminer un terme de l’expression.

Voyons maintenant un exemple.

Simplifiez la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus 16𝑥 plus 64 sur 𝑥 au carré plus huit 𝑥 fois sept 𝑥 moins 56 sur 64 moins 𝑥 au carré et déterminez son domaine.

La meilleure façon d’aborder un problème comme celui-ci est de simplifier les expressions par factorisation avant d’évaluer le produit. Dans le premier quotient, le numérateur et le dénominateur sont des fonctions du second degré et peuvent être factorisées. Considérons d’abord le numérateur. On peut factoriser cette expression et obtenir 𝑥 plus huit fois 𝑥 plus huit, qu’on peut réécrire comme 𝑥 plus huit le tout au carré. Maintenant, considérons le dénominateur. On peut factoriser cela et obtenir 𝑥 fois 𝑥 plus huit. Maintenant, passons au numérateur du deuxième terme. Ici, on peut prendre un facteur commun de sept et on obtient sept fois 𝑥 moins huit. Et enfin, pour le dénominateur du deuxième terme, on a une différence de deux carrés puisque 64 est égal à huit au carré. On peut donc factoriser cela et avoir huit moins 𝑥 fois huit plus 𝑥.

On peut donc simplifier 𝑓 de 𝑥 et obtenir 𝑥 plus huit le tout au carré sur 𝑥 fois 𝑥 plus huit fois sept fois 𝑥 moins huit sur huit moins 𝑥 fois huit plus 𝑥. Nous devons maintenant trouver le domaine de 𝑓 de 𝑥 avant d’évaluer le produit et de simplifier avec des éliminations. 𝑓 de 𝑥 est indéfinie si l’un des termes des produits du dénominateur est égal à zéro. Donc, si 𝑥 est égal à zéro, 𝑥 plus huit est égal à zéro, huit moins 𝑥 est égal à zéro, ou huit plus 𝑥 est égal à zéro.

Les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est indéfinie sont les valeurs qui satisfont ces équations. On a donc 𝑥 égal à zéro, 𝑥 égal à moins huit, 𝑥 égal à huit et 𝑥 égal à moins huit une deuxième fois. Par conséquent, le domaine de 𝑓 est l’ensemble des nombres réels ℝ privé de l’ensemble des valeurs moins huit, zéro et huit. Et notez qu’il n’est pas nécessaire d’inclure moins huit deux fois.

Maintenant, nous pouvons procéder à l’élimination des termes pour simplifier les expressions. Pour le premier terme du produit, on peut éliminer l’un des 𝑥 plus huit du numérateur et le 𝑥 plus huit du dénominateur. Et pour le deuxième terme, notez que l’un des termes du numérateur, 𝑥 moins huit, est exactement moins un fois l’un des termes du dénominateur, huit moins 𝑥. Si on factorise moins un de 𝑥 moins huit au numérateur, ça devient huit moins 𝑥. Cela peut ensuite éliminer le terme du dénominateur. Jusqu’ici, nous avons simplifié 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 plus huit sur 𝑥 fois moins sept sur huit plus 𝑥.

Maintenant, si on évalue ce produit en multipliant les numérateurs et les dénominateurs ensemble, on obtient 𝑥 plus huit fois moins sept sur 𝑥 fois huit plus 𝑥. Le 𝑥 plus huit du numérateur va éliminer le huit plus 𝑥 du dénominateur. Cela nous donne la deuxième partie de notre réponse, 𝑓 de 𝑥 égale moins sept sur 𝑥.

Dans cet exemple, nous avions affaire à des expressions du second degré sur les numérateurs et les dénominateurs. Voyons un exemple avec des expressions cubiques.

Simplifiez la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube plus 343 sur deux 𝑥 au carré plus 14𝑥 fois 𝑥 plus trois sur 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49 et déterminez son domaine.

Avant d’évaluer le produit, il est préférable de simplifier les expressions autant que possible par factorisation, car cela nous permettra de déterminer facilement le domaine de 𝑓 de 𝑥. Commençons par le numérateur du premier terme, 𝑥 au cube plus 343. Rappelons que pour une somme de deux cubes, 𝑥 au cube et 𝑐 au cube, on peut factoriser cette expression comme 𝑥 plus 𝑐 fois 𝑥 au carré moins 𝑐𝑥 plus 𝑐 au carré. L’expression ici est une somme de deux cubes puisque on a 𝑥 au cube et 343, qui est le cube d’un nombre. En fait, il se trouve que 343 est exactement sept au cube. Par conséquent, nous pouvons factoriser cette expression et obtenir 𝑥 plus sept fois 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus sept au carré, qui est égal à 49.

On pourrait essayer de factoriser davantage en factorisant ce terme quadratique. Cependant, si on considère le discriminant de ce terme quadratique, 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, on obtient moins 147, qui est inférieur à zéro. Par conséquent, cette expression n’a pas de racines réelles et ne peut donc pas être factorisée. Ensuite, lorsqu’on regarde le dénominateur du premier terme, deux 𝑥 au carré plus 14𝑥, on peut factoriser par deux 𝑥 pour obtenir deux 𝑥 fois 𝑥 plus sept. Le numérateur du terme de droite, 𝑥 plus trois, est déjà le plus simple possible. Et pour le dénominateur du terme de droite, on a exactement la même expression qu’ici, 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49. Et on sait qu’on ne peut plus la factoriser.

Nous avons jusqu’ici simplifié 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 plus sept fois 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49 sur deux 𝑥 fois 𝑥 plus sept fois 𝑥 plus trois sur 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49. Avant d’évaluer le produit, nous devons définir le domaine de 𝑓 en trouvant toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est indéfinie et les retirer de l’ensemble des nombres réels. 𝑓 de 𝑥 est indéfinie pour toutes les valeurs de 𝑥 qui rendent l’un des dénominateurs de ce produit égal à zéro. Ces valeurs de 𝑥 satisferont donc deux 𝑥 égal à zéro, 𝑥 plus sept égal à zéro et 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49 égal à zéro. On peut facilement résoudre ces deux premières équations et obtenir 𝑥 et on a 𝑥 égale zéro et 𝑥 égale moins sept.

Pour l’équation finale, nous avons déjà montré que cette expression quadratique a un discriminant inférieur à zéro et n’a donc aucune solution réelle. Par conséquent, il n’y a pas de valeurs de 𝑥 qui rendent ce dénominateur égal à zéro. Par conséquent, le domaine de 𝑓 est l’ensemble des nombres réels ℝ sauf les valeurs zéro et sept. Maintenant, nous pouvons continuer et évaluer le produit de ces deux expressions en multipliant les numérateurs et les dénominateurs ensemble, ce qui donne 𝑥 plus sept fois 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49 fois 𝑥 plus trois le tout sur deux 𝑥 fois 𝑥 plus sept fois 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49.

Étant donné que nous avons défini le domaine de 𝑓, nous pouvons maintenant éliminer les termes sans crainte. Le 𝑥 plus sept du numérateur va éliminer le 𝑥 plus sept du dénominateur. Et le 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49 du numérateur va éliminer celui du dénominateur. Et cela nous donne la deuxième partie de notre réponse, 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus trois sur deux 𝑥.

Parfois, au lieu de déterminer le domaine d’un produit de fonctions rationnelles, on a juste besoin d’évaluer la fonction en un point donné. Dans cette situation, il n’est pas nécessaire de simplifier ou d’éliminer des termes, on introduit juste la valeur de 𝑥 dans l’expression. Voyons un exemple.

Étant donné la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 moins six sur 𝑥 au carré moins 15𝑥 plus 54 fois 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 28 sur deux 𝑥 au carré moins 15𝑥 plus sept, évaluez 𝑓 de sept si possible.

Pour évaluer 𝑓 de sept, il suffit de substituer la valeur 𝑥 égale sept dans l’expression. Cela nous donne 𝑓 de sept égale sept moins six sur sept au carré moins 15 fois sept plus 54 le tout multiplié par sept au carré moins trois fois sept moins 28 sur deux fois sept au carré moins 15 fois sept plus sept. Lorsqu’on simplifie les deux termes de l’expression, on a un divisé par moins deux fois zéro divisé par zéro, ce qui est indéfini. Par conséquent, on ne peut pas évaluer 𝑓 de sept car 𝑓 est indéfinie en ce point.

Nous avons jusqu’ici exploré comment multiplier deux fonctions rationnelles ensemble. Mais que se passe-t-il si on veut diviser une fonction rationnelle par une autre ? Considérons comment le faire avec des nombres rationnels, 𝑝 sur 𝑞 et 𝑟 sur 𝑠. Pour évaluer 𝑝 sur 𝑞 divisé par 𝑟 sur 𝑠, on inverse le deuxième nombre rationnel, 𝑟 sur 𝑠, puis on évalue le produit. Cela nous donne alors 𝑝 sur 𝑞 multiplié par 𝑠 sur 𝑟. On procède ensuite avec la multiplication, ce qui donne 𝑝𝑠 sur 𝑞𝑟. Rappelons également que lorsqu’on divise des nombres rationnels, on doit faire encore plus attention aux zéros.

Pour commencer, 𝑞 et 𝑠 doivent être non-nuls pour que les nombres rationnels soient définis. Mais alors, lorsqu’on évalue le produit, 𝑟 doit également être non-nul puisqu’on divise par cela dans ce cas. Il en va de même pour les fonctions rationnelles. Si 𝑔 de 𝑥 égale 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥 et ℎ de 𝑥 égale 𝑟 de 𝑥 sur 𝑠 de 𝑥 sont deux fonctions rationnelles et leur quotient est 𝑓 de 𝑥 égale 𝑔 de 𝑥 sur ℎ de 𝑥, alors 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑝 de 𝑥 𝑠 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥 𝑟 de 𝑥. Et le domaine de 𝑓 est l’ensemble des nombres réels ℝ privé de 𝑍 de 𝑞 de 𝑥 moins 𝑍 de 𝑟 de 𝑥 moins 𝑍 de 𝑠 de 𝑥. 𝑍 désigne les zéros d’une fonction.

Ainsi, par exemple, 𝑍 de 𝑞 de 𝑥 est l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑞 de 𝑥 est égal à zéro. Nous devons enlever les zéros de 𝑞 de 𝑥, 𝑟 de 𝑥 et 𝑠 de 𝑥 du domaine de 𝑓 avec la même logique que 𝑞, 𝑟 et 𝑠 lorsque la division des nombres rationnels ne doit pas être égale à zéro.

Voyons exactement comment cela fonctionne avec un exemple.

Déterminez le domaine de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 moins 15 sur 𝑥 moins six divisé par six 𝑥 moins 30 sur quatre 𝑥 moins 24.

Rappelons que lorsqu’on a une fonction 𝑓 de 𝑥 qui est le quotient de deux fonctions rationnelles, 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥 et 𝑟 de 𝑥 sur 𝑠 de 𝑥, on doit s’assurer d’exclure toutes valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑞 de 𝑥 est égal à zéro, 𝑟 de 𝑥 est égal à zéro et 𝑠 de 𝑥 est égal à zéro, du domaine de 𝑓. 𝑞 de 𝑥 et 𝑠 de 𝑥 ne doivent jamais être égales à zéro car diviser par zéro rendrait 𝑓 indéfinie. De plus, 𝑟 de 𝑥 ne doit pas non plus être égale à zéro puisque lorsqu’on évalue le quotient, on utilise l’inverse de 𝑟 de 𝑥 sur 𝑠 de 𝑥 avant de multiplier les deux fractions. Par conséquent, le domaine de 𝑓 est l’ensemble des nombres réels ℝ privé de 𝑍 de 𝑞 de 𝑥 moins 𝑍 de 𝑟 de 𝑥 moins 𝑍 de 𝑠 de 𝑥, où 𝑍 désigne les zéros de la fonction, c’est-à-dire les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction est égale à zéro.

Dans notre cas, 𝑞 de 𝑥 est égal à 𝑥 moins six, 𝑟 de 𝑥 est six 𝑥 moins 30, et 𝑠 de 𝑥 est quatre 𝑥 moins 24. Nous devons donc déterminer 𝑥 pour ces trois équations et enlever ces valeurs de 𝑥 de l’ensemble des nombres réels pour obtenir le domaine de 𝑓. De la première équation on obtient 𝑥 égale six, de la deuxième équation on a 𝑥 égale cinq, et de la troisième équation on a encore 𝑥 égale six. Par conséquent, le domaine de 𝑓 est l’ensemble des nombres réels ℝ privé de l’ensemble des valeurs cinq et six. Et remarquez qu’il n’est pas nécessaire d’exclure six deux fois.

Dans le dernier exemple, nous allons examiner le quotient des fonctions rationnelles avec des expressions cubiques.

Simplifiez la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins 12𝑥 plus 36 sur 𝑥 au cube moins 216 divisé par sept 𝑥 moins 42 sur 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 36, et déterminez son domaine.

Pour simplifier 𝑓 de 𝑥, commençons par factoriser chacun des termes dans les expressions rationnelles, en commençant par le numérateur du terme de gauche, 𝑥 au carré moins 12𝑥 plus 36. On peut factoriser cela et obtenir 𝑥 moins six fois 𝑥 moins six, qui est équivalent à 𝑥 moins six au carré. Pour le dénominateur du terme de gauche, on a une différence de deux cubes. Rappelons que lorsqu’on a une différence de deux cubes, 𝑥 au cube moins 𝑐 au cube, on peut factoriser cela comme 𝑥 moins 𝑐 fois 𝑥 au carré plus 𝑐𝑥 plus 𝑐 au carré. 216 est le cube d’un nombre, et il se trouve que c’est un cube parfait, six au cube. Par conséquent, on peut factoriser cela comme 𝑥 moins six fois 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus six au carré, soit 36.

On pourrait essayer de factoriser cette expression quadratique. En considérant le discriminant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, on obtient un résultat de moins 108, qui est inférieur à zéro. Par conséquent, cette expression quadratique n’a pas de racines réelles et ne peut plus être factorisée. Pour le numérateur de la deuxième fonction rationnelle, on a sept 𝑥 moins 42. On peut factoriser sept pour obtenir sept fois 𝑥 moins six. Et enfin, pour le dénominateur de la deuxième fonction rationnelle, on a 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 36. Nous venons de montrer que cette expression n’a pas de racines réelles et ne peut pas être factorisée.

Jusqu’ici, on peut simplifier 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 moins six le tout au carré sur 𝑥 moins six fois 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 36 divisé par sept fois 𝑥 moins six sur 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 36. Rappelons que pour une fonction 𝑓 de 𝑥 qui est le quotient de deux fonctions rationnelles, 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥 et 𝑟 de 𝑥 sur 𝑠 de 𝑥, le domaine de 𝑓 est l’ensemble des nombres réels ℝ moins 𝑍 de 𝑞 de 𝑥 moins 𝑍 de 𝑟 de 𝑥 moins 𝑍 de 𝑠 de 𝑥, où 𝑍 désigne les zéros d’une fonction. Dans notre cas, 𝑞 de 𝑥 est le dénominateur de la première fonction rationnelle, 𝑥 moins six fois 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 36. 𝑟 de 𝑥 est le numérateur de la deuxième fonction rationnelle, sept fois 𝑥 moins six. Et 𝑠 de 𝑥 est le dénominateur de la deuxième fonction rationnelle, 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 36.

Nous devons trouver toutes les valeurs de 𝑥 qui résolvent les équations 𝑞 de 𝑥 est égal à zéro, 𝑟 de 𝑥 est égal à zéro et 𝑠 de 𝑥 est égal à zéro et les exclure de l’ensemble des nombres réels pour trouver le domaine de 𝑓. Pour la première équation, 𝑥 moins six doit être égal à zéro ou 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 36 doit être égal à zéro. Si 𝑥 moins six est égal à zéro, 𝑥 est égal à six.

Pour cette expression quadratique, nous avons déjà vu plus tôt que le discriminant, 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, était inférieur à zéro. Par conséquent, cette expression n’a pas de racines réelles et ne peut donc pas être égale à zéro pour une valeur réelle de 𝑥. La deuxième équation est facile, on a encore 𝑥 est égal à six. Et pour la troisième équation, nous avons exactement la même expression quadratique avec un discriminant inférieur à zéro. Par conséquent, il n’y a pas de valeurs réelles de 𝑥 qui résolvent cette équation. Par conséquent, la seule valeur de 𝑥 pour laquelle l’une de ces fonctions est égale à zéro est six. Par conséquent, le domaine de 𝑓 est l’ensemble des nombres réels ℝ moins l’élément unique six.

Maintenant, nous pouvons procéder et évaluer le quotient et simplifier. Pour évaluer le quotient, on inverse la fonction rationnelle du diviseur. On échange donc le numérateur et le dénominateur, puis on change la division en multiplication. Lorsqu’on multiplie les numérateurs et les dénominateurs, on obtient 𝑥 moins six le tout au carré fois 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 36 le tout sur 𝑥 moins six fois 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 36 fois sept fois times moins six. Le 𝑥 moins six au carré du numérateur élimine les deux termes 𝑥 moins six du dénominateur. Et le 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 36 va également éliminer celui du dénominateur. Cela nous laisse avec un au numérateur et sept au dénominateur, donc 𝑓 de 𝑥 est égal à un septième.

Terminons cette vidéo en récapitulant quelques points clés. Si on a deux fonctions rationnelles, 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥 et 𝑟 de 𝑥 sur 𝑠 de 𝑥, leur produit est défini par 𝑝 de 𝑥 𝑟 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥 𝑠 de 𝑥. Le domaine de la fonction résultante est l’ensemble des nombres réels ℝ privé de toutes les valeurs de 𝑥 qui rendent la fonction indéfinie, c’est-à-dire les zéros de 𝑞 de 𝑥 et 𝑠 de 𝑥. Pour évaluer le quotient de deux fonctions rationnelles, on inverse la fonction rationnelle du diviseur, 𝑟 de 𝑥 sur 𝑠 de 𝑥, en changeant le numérateur avec le dénominateur. Et puis on évalue le produit des deux fonctions rationnelles résultantes, ce qui donne 𝑝 de 𝑥 𝑠 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥 𝑟 de 𝑥. Le domaine de la fonction résultante sera l’ensemble des nombres réels ℝ moins les zéros de 𝑞 de 𝑥, 𝑟 de 𝑥 et 𝑠 de 𝑥.

Retenez que l’on doit enlever les zéros de 𝑟 de 𝑥, car on l’inverse et puis on divise par ce dernier. Donc, si c’est égal à zéro la fonction sera également indéfinie. Retenez qu’on doit toujours trouver le domaine de la fonction résultante avant de simplifier et d’éliminer des termes.

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