Transcription de la vidéo
La figure suivante représente le graphique de la fonction 𝑓. Qu’indique le graphique sur la valeur de la limite quand 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 ?
On nous donne le graphique de la fonction 𝑓. Et on doit l’utiliser pour trouver une information sur la limite quand 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥. Donc on va commencer par rappeler ce qu’on entend par la limite quand 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥. On dit que la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à une valeur finie 𝐿 si la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿 quand les valeurs de 𝑥 tendent vers 𝑎 des deux côtés. Et on veut savoir ce que le graphe nous apprend sur la limite quand 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥.
Pour cela, on se pose la question suivante : qu’arrive-t-il aux valeurs de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers trois de chaque côté ? Et on nous a donné un graphique pour répondre à cette question. On sait que la coordonnée 𝑦 d’un point du graphe nous donne la valeur de sortie 𝑓 de 𝑥 et que la coordonnée 𝑥 nous donne la valeur d’entrée, et on veut savoir ce qui arrive aux valeurs de sortie quand les valeurs d’entrée tendent vers trois de chaque côté. Donc on commence par repérer 𝑥 égale trois sur le graphe et on remarque quelque chose de très intéressant en ce point . On remarque que la fonction n’est pas définie en 𝑥 égale trois. Le cercle vide dessiné sur la courbe nous indique que la fonction n’est pas définie en ce point, donc on pourrait être tenté de dire que notre limite n’existe pas.
Examinons notre définition de plus près cependant. On veut savoir ce qui arrive aux valeurs de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝑎. Et dire que 𝑥 tend vers 𝑎 signifie que 𝑥 se rapproche de plus en plus de 𝑎 ; 𝑥 n’est jamais égal à 𝑎. Donc le fait que notre fonction ne soit pas définie en ce point ne signifie pas nécessairement que la limite n’est pas définie. Alors voyons ce qui arrive à notre fonction quand 𝑥 tend vers trois. Commençons par le côté droit. On peut procéder de plusieurs façons. Par exemple, on peut remplacer 𝑥 par différentes valeurs dans notre équation. Commençons par 𝑥 égale cinq. On peut voir qu’en 𝑥 égale cinq, la coordonnée 𝑦 de notre courbe est égale à environ 0,5, ce qui signifie que 𝑓 de cinq est égal à environ 0,5.
On rappelle qu’on veut savoir ce qui arrive aux valeurs de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers trois. Pour cela, on doit tester des valeurs de 𝑥 de plus en plus proches de trois, donc on va faire la même chose que précédemment mais en prenant cette fois-ci 𝑥 égale quatre. On peut voir qu’en 𝑥 égale quatre, la coordonnée 𝑦 de notre courbe est égale à environ moins 3,5. Donc 𝑓 de quatre est égal à environ moins 3,5. On veut sélectionner des valeurs de 𝑥 de plus en plus proches de trois. On peut voir sur la courbe que ce processus nous rapproche de plus en plus de ce cercle vide. Par conséquent, quand 𝑥 tend vers trois par la droite, nos coordonnées 𝑦 tendent vers moins quatre. Il semblerait donc que notre valeur 𝐿 soit égale à moins quatre. Il faut cependant vérifier que la même chose se produit quand 𝑥 tend vers trois par la gauche.
Donc on doit maintenant sélectionner des valeurs de 𝑥 strictement inférieures à trois. Commençons par 𝑥 égale un. On peut voir sur le graphe que lorsque 𝑥 est égal à un, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à environ moins 0,4. Faisons la même chose avec 𝑥 égale deux. Cette fois-ci, on peut voir sur le graphe que lorsque 𝑥 est égal à deux, 𝑓 de deux est égal à environ moins 1,8. On veut continuer ce processus en prenant des valeurs de 𝑥 toujours plus proche de trois. On remarque alors quelque chose d’intéressant. Notre courbe se rapproche de plus en plus du même cercle vide que précédemment. Donc lorsqu’on sélectionne des valeurs de 𝑥 strictement inférieures à trois de plus en plus proches de trois, on constate que nos valeurs de 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de moins quatre, comme précédemment. C’est ce qu’on entend par «des deux côtés». Les valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendent vers la même valeur, moins quatre, à gauche et à droite, donc 𝐿 est égal à moins quatre.
Ainsi, en examinant le graphique de notre fonction 𝑓, on a constaté qu’elle tend vers moins quatre des deux côtés. On en conclut que le graphique semble indiquer que la limite quand 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 est égale à moins quatre.
