Vidéo : Limites et notation des limites

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la notation des limites et nous allons explorer la notion de limite.

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Limites et notation des limites

Dans cette vidéo, nous allons nous entraîner à utiliser la notation des limites et à explorer la notion de limite. Les limites sont des outils très importants qui sont fréquemment utilisés en analyse. Dans de nombreux cas, elles sont utilisées comme éléments constitutifs de notions plus sophistiqués qui découleront de cette vidéo. La notation standard d’une limite est la suivante. On lirait cette phrase mathématique comme suit : la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale 𝐿. Cette affirmation est définie comme étant vraie, à condition que nous puissions rendre la valeur de 𝑓 de 𝑥 arbitrairement proche de 𝐿 en prenant 𝑥 suffisamment proche de 𝑎, des deux côtés, sans laisser 𝑥 être égale à 𝑎.

Ici il convient de mentionner que dans cette vidéo, nous ne verrons pas par une définition mathématique précise d’une limite. Vous pouvez le voir ailleurs en utilisant les symboles grecs 𝜀 et 𝛿. Au lieu de cela, nous allons travailler avec cette définition couramment utilisée, qui nous donne un chemin pour interpréter la signification d’une limite. Considérons le graphique d’une fonction 𝑓 de 𝑥. Quand notre définition dit que nous pouvons rendre la valeur de 𝑓 de 𝑥 arbitrairement proche de 𝐿, cela signifie aussi proche de 𝐿 que nous le voulons. En gros, notre limite nous dit que la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de 𝐿 lorsque la valeur de 𝑥 se rapproche de plus en plus de 𝑎. Quand nous disons des deux côtés, nous voulons dire que 𝑥 peut soit approcher la valeur de 𝑎 de la direction positive, donc quand 𝑥 est strictement supérieure à 𝑎, soit de la direction négative, donc quand 𝑥 est strictement inférieure à 𝑎.

Enfin, il est très important que 𝑥 ne soit pas égale à 𝑎. Et nous y reviendrons plus tard. Avant de continuer, notez que vous pouvez voir d’autres notations pour une limite, qui ressembleraient à celle-ci. Nous lirions cette phrase : 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Prenons maintenant un exemple rapide pour illustrer l’utilisation de la notation limite.

Quelle est la notation correcte qui décrit l’affirmation suivante ? Lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑓 de 𝑥 tend vers moins six.

Pour une question de ce type, la première chose qu’on peut remarquer est ce mot « tend vers ». Chaque fois qu’on nous dit que la valeur d’une fonction ou d’une variable tend vers quelque chose, cela nous donne une indication que notre question peut avoir des limites. La notation standard d’une limite est indiquée ici. Et on lirait la déclaration comme : la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale 𝐿. En résumé, ce que cette déclaration nous dit, c’est que lorsque la valeur de 𝑥 tend vers la constante, ici appelée 𝑎, la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿. Cet 𝐿 est parfois appelé la valeur de la limite. Un petit conseil ici, c’est de se rappeler qu’on ne nous dit pas que 𝑓 de 𝑥 égale 𝐿, mais plutôt que la valeur de notre limite est 𝐿.

Bon, maintenant que nous comprenons comment écrire une limite et comment interpréter l’affirmation, voyons comment elle s’applique à notre question. On nous dit que lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑓 de 𝑥 tend vers moins 6. Ce zéro est la valeur que nous considérons que 𝑥 approche. Et il est représenté par 𝑎 dans l’équation générale de la limite. De même, ce moins six, qui est la valeur vers laquelle tend 𝑓 de 𝑥, est représenté par 𝐿 dans notre l’équation générale de la limite. Nous écrivons donc l’affirmation suivante. La limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 égale moins six. Puisque nous avons substitué 𝑎 par zéro et 𝐿 par moins six, alors l’affirmation est interprétée de la manière suivante. Lorsque la valeur de 𝑥 tend vers zéro, la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers moins 6.

Si l’on regarde l’énoncé de la question et l’énoncé que nous venons d’écrire, ils correspondent exactement. Cela signifie que nous avons exprimé l’affirmation donnée dans la question en utilisant la notation correcte pour une limite.

Revenons maintenant à notre définition pour souligner une caractéristique très importante. Maintenant, une partie cruciale de notre définition est que la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de 𝑎 mais pas là où 𝑥 égale 𝑎. Cela signifie que la valeur de la limite, qui est bien sûr 𝐿, nous donne des informations utiles sur la valeur de notre fonction lorsque 𝑥 est dans le voisinage de 𝑎. Mais il ne faut pas tirer de conclusions sur la valeur de notre fonction lorsque 𝑥 égale 𝑎. Et bien sûr, c’est 𝑓 de 𝑎. En fait, la valeur de 𝑓 de 𝑎 et celle de 𝐿 pourraient être très différentes. Et nous pouvons illustrer cela par l’exemple suivant.

Plus tôt, nous avions vu une représentation graphique de notre définition des limites. Considérons maintenant quelques chiffres sur ce graphique pour mieux comprendre la notion que nous sommes en train d’étudier. Nous savons que la limite a 𝑥 tend vers un de notre fonction, que nous appellerons maintenant 𝑓 un de 𝑥, est égale à trois. Bien sûr, cela signifie que lorsque la valeur de 𝑥 tend vers un, la valeur 𝑓 un de 𝑥 tend vers trois. Maintenant, pour cette fonction, il se trouve que 𝑓 un de un égale trois. Ce qui signifie que lorsque 𝑥 est un, la valeur de notre fonction égale trois. Cependant, ce n’est pas toujours le cas. Considérons une autre fonction 𝑓 deux de 𝑥.

𝑓 deux de 𝑥 est presque identique à notre première fonction, 𝑓 un de 𝑥. Cependant, nous remarquons que nous avons un point creux sur notre graphique en la coordonnée un, trois. Et à la place, nous avons un point rempli sur notre graphique en la coordonnée un, quatre. Cela signifie que notre fonction n’est pas définie au point creux, mais au point rempli. Quand 𝑥 égale un, notre fonction égale quatre. Donc 𝑓 deux de un égale quatre. Malgré cette différence, il ne faut pas se leurrer en pensant que la valeur de notre limite lorsque 𝑥 tend vers un égale aussi quatre. En fait, le fait que seul 𝑓 de un a changé n’affecte en rien notre limite. Et nous dirions toujours que la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 deux de 𝑥 égale trois.

C’est parce que la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de 𝑥 égale un mais pas là où 𝑥 égale un. Lorsque 𝑥 tend vers un, 𝑓 deux de 𝑥 tend toujours vers trois. Nous pouvons aller encore plus loin avec cette notion en notant que notre fonction peut même ne pas être définie en un point où une limite est prise.

Considérons une dernière fonction 𝑓 trois de 𝑥. Cette fonction est identique à nos deux fonctions précédentes, sauf quand 𝑥 égale un. Dans ce cas, notre fonction n’est pas définie. Donc 𝑓 trois de un est indéfinie. Comme pour 𝑓 deux de 𝑥, ce changement n’affecte pas notre limite. Et nous dirions toujours que la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 trois de 𝑥 égale trois. Maintenant, en regardant ces trois exemples, nous voyons que nous avons trois cas distincts. Premièrement, lorsque la valeur de la fonction est égale à la valeur de la limite en ce point. Ensuite, où la valeur de la fonction est finie mais n’égale pas la valeur de la limite en ce point. Et enfin, où la valeur de la fonction n’est pas définie au point où la limite est prise.

On peut généraliser ces trois cas pour dire que si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale 𝐿, alors 𝑓 de 𝑎 pourrait être égale à 𝐿, 𝑓 de 𝑎 pourrait être finie mais pas égale à 𝐿, ou 𝑓 de 𝑎 pourrait être indéfinie. Espérons que cet exemple illustre pourquoi nous ne devrions pas tirer de conclusions quant à la valeur de 𝑓 de 𝑎 en se basant sur la valeur de notre limite. Puisqu’il y a beaucoup de possibilités différentes. Utilisons maintenant cette information pour répondre à la question suivante.

Vrai ou faux : Si la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq de 𝑓 de 𝑥 égale moins trois, alors 𝑓 de cinq doit être égale à moins trois.

Pour cette question, on nous donne des informations sous la forme d’une limite. Interprétons donc cette affirmation. Ce qu’elle nous dit c’est que lorsque la valeur de 𝑥 tend vers cinq, la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers moins trois. Envisageons maintenant la deuxième partie de notre question. On nous demande de savoir si la limite garantit que lorsque 𝑥 égale cinq, la valeur de la fonction sera moins trois. Pour répondre à cette question, rappelons la forme générale d’une limite.

Nous rappelons que la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de 𝑎 mais pas lorsque 𝑥 égale 𝑎. Dans notre question, cet 𝑎 est représenté par cinq. La limite nous donne des informations sur notre fonction lorsque 𝑥 tend vers cinq mais ne nous donne pas d’informations sur notre fonction lorsque 𝑥 égale cinq. En fait, 𝑓 sur cinq pourrait être égale à notre limite, qui est moins trois. Elle pourrait prendre n’importe quelle autre valeur ou pourrait même être indéfinie. Puisque nous ne pouvons pas garantir que la valeur de 𝑓 de cinq est égale à moins trois se basant sur la limite, alors la réponse à la question est « faux ». 𝑓 de cinq ne doit pas être égale à moins trois.

Maintenant que nous comprenons mieux les propriétés des limites, examinons un exemple où on nous demande d’évaluer une limite.

La figure suivante est la représentation graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré. Qu’est-ce que le graphique indique sur la valeur de la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥.

Pour cette question, on nous donne une fonction. Et on nous demande d’évaluer une limite de cette fonction. Pour interpréter cela, rappelons la forme générale d’une limite. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale 𝐿. Ce que cette formule nous dit est que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tendra vers 𝐿 lorsque la valeur de 𝑥 tendra vers 𝑎 des deux côtés. Mais n’oubliez pas, le point où 𝑥 égale 𝑎 ne nous intéresse pas. Appliquons maintenant cette formule à notre question.

La limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à une certaine valeur. Et nous appellerons cette valeur 𝐿 un. Cet 𝐿 un est ce que nous devons trouver. Ce que la formule nous dit c’est que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿 un lorsque la valeur de 𝑥 tend vers deux des deux côtés. Et n’oubliez pas que cette valeur ne doit pas nécessairement être la même que celle de notre fonction lorsque 𝑥 égale deux. Pour trouver la valeur de 𝐿 un, nous pouvons voir ce qui arrive à la valeur de notre fonction lorsque nous nous rapprochons de plus en plus de 𝑥 égale deux. Nous commencerons par considérer une valeur de 𝑥 qui est légèrement inférieure à deux.

Disons que 𝑥 égale 1.5. Dans ce cas, 𝑓 de 𝑥 égale 2.25. Puisque nous savons que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré, nous pourrions même vérifier nos résultats graphiques en prenant 1.5 au carré. Augmentons maintenant la valeur de 𝑥. Donc nous nous approchons de 𝑥 égale deux de la gauche, soit lorsque 𝑥 est strictement inférieure à deux. Ce faisant, nous pourrions commencer à remarquer que la valeur de 𝑓 de 𝑥 semble tendre vers quatre. Si nous devions suivre un processus similaire, en commençant par la valeur de 𝑥 qui est légèrement supérieure à deux et en nous approchant ensuite de 𝑥 égale deux de droite. On remarquerait que les valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendent aussi vers quatre.

Sans vraiment faire de calculs, nous constatons que lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de deux, 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de quatre. Ceci est vrai soit nous nous approchons de la gauche ou de la droite, donc des deux côtés. Essentiellement, sur notre graphique, nous convergeons vers le point deux, quatre. Donc nous venons de montrer que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers quatre lorsque la valeur de 𝑥 tend vers deux. Puisque cette affirmation définit notre limite, nous pouvons donc utiliser notre conclusion pour dire que la valeur de la limite égale aussi quatre. Ce faisant, nous avons répondu à notre question. En utilisant notre graphique, nous avons observé que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers quatre lorsque la valeur de 𝑥 tend vers deux de la gauche et de la droite. Nous utilisons ceci pour dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 égale quatre.

Prenons maintenant un dernier exemple où l’on nous demande d’évaluer une limite.

La figure suivante est la représentation graphique de la fonction 𝑓 où 𝑓 de 𝑥 égale sin 𝑥 sur 𝑥. Partie i, quelle est la valeur de 𝑓 de zéro ?

Pour la partie i de cette question, on nous demande de trouver la valeur de 𝑓 de zéro. Ce qui signifie qu’il faut évaluer notre fonction lorsque 𝑥 égale zéro. Nous pouvons trouver graphiquement la valeur de 𝑓 de zéro de la manière suivante. Nous prenons le point sur l’axe des 𝑥 où 𝑥 égale zéro et traçons une ligne jusqu’à rencontrer notre courbe. Lorsque nous faisons cela, nous remarquons que nous arrivons à un point creux.

Cela signifie que notre fonction n’est pas définie en ce point de notre courbe. Si nous pouvions voir un point solide sur notre graphique en un autre point où 𝑥 égale zéro, alors cela signifierait que notre fonction serait définie ici. Cependant, nous ne voyons de point solide nulle part quand 𝑥 égale zéro. Ce qui veut dire que notre fonction est indéfinie quand 𝑥 est zéro. Compte tenu de ce fait, nous ne pouvons pas attribuer une valeur de zéro à 𝑓, et nous devons simplement dire qu’elle est indéfinie. C’est la réponse à la première partie de notre question. Passons maintenant à la partie ii.

Qu’est-ce que le graphique indique sur la valeur de la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 ?

Pour mieux répondre à cette partie de la question, écrivons la forme générale d’une équation de limite. Ce que cette affirmation nous dit est que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿 lorsque la valeur de 𝑥 tend vers 𝑎 des deux côtés. Mais nous ne sommes pas concernés par le point où 𝑥 égale 𝑎. Nous voulons déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de notre fonction. En d’autres termes, le 𝑎 dans la forme générale de l’équation de limite est zéro. Pour déterminer la valeur de notre limite, nous devons déterminer 𝐿. On peut l’appeler 𝐿 un pour que ça soit clair. 𝐿 un est la valeur vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend lorsque 𝑥 tend vers zéro des deux côtés. Pour déterminer cet 𝐿 un, nous pouvons regarder notre graphique et voir ce qu’il arrive à notre courbe lorsque la valeur de 𝑥 tend vers zéro.

Nous voyons que lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑓 de 𝑥 tend vers un. En d’autres termes, nous nous rapprochons de plus en plus du point de coordonnées zéro, un. Mais attendez, ce point zéro, un sur notre graphique est un point creux, ce qui signifie que notre fonction n’est pas définie ici. En fait, cela ne nous pose aucun problème. C’est parce que notre limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de zéro mais pas là où 𝑥 égale zéro. Super, nous avons trouvé que 𝑓 de 𝑥 tend vers un lorsque 𝑥 tend vers zéro des deux côtés. Ce qui signifie que la valeur de 𝐿 un est égale à un. Nous pouvons maintenant réécrire entièrement l’équation de limite. La limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 égale un. Nous avons maintenant répondu aux deux parties de notre question.

Nous avons d’abord utilisé un graphique pour déterminer que 𝑓 zéro est indéfinie. Et puis pour conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 est égale à un. Il convient de noter ici que la valeur de la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 n’égale pas la valeur de la fonction lorsque 𝑥 égale zéro. Nous devons toujours nous rappeler que la limite d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers une valeur, disons 𝑎, ne nous donne pas nécessairement des informations fiables sur la valeur de la fonction lorsque 𝑥 égale 𝑎. Conclure à tort que ces deux valeurs sont toujours égales peut parfois nous causer des problèmes. En fait, nous avons vu dans cette question que notre fonction n’a même pas besoin d’être définie en un point où une limite est prise.

Bon, pour terminer cette vidéo, passons en revue quelques points clés. Les limites sont un élément de base important dans de nombreux domaines de l’analyse. La notation standard d’une limite est indiquée ici. Et on lirait ceci comme : la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿. Vous pourriez également voir les mêmes informations représentées en utilisant une notation légèrement différente. Une interprétation de ces affirmations est que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿 lorsque la valeur de 𝑥 tend vers 𝑎. Et n’oubliez pas que cela doit être vrai lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 des deux côtés, donc dans le sens positif comme dans le sens négatif.

Une partie cruciale de notre définition est que la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de 𝑎 mais pas là où 𝑥 égale 𝑎. Cela signifie que la limite peut nous donner des informations utiles sur notre fonction pour les valeurs de 𝑥 au voisinage de 𝑎. Mais nous ne devons pas tirer de conclusions sur 𝑓 de 𝑎 elle-même, donc la valeur de notre fonction quand 𝑥 égale 𝑎. Nous avons illustré cela tout à l’heure en montrant que si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 était égale à 𝐿. Alors il pourrait être vrai que 𝑓 de 𝑎 serait aussi égale à 𝐿, 𝑓 de 𝑎 ne serait pas égale à 𝐿 mais égale à une autre valeur finie, ou, en fait, 𝑓 de 𝑎 serait indéfinie.

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