Vidéo de la leçon : Limites et notation de limite Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la notation de limite et explorer le concept de limite.

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Limites et notation de limite

Dans cette vidéo, nous allons nous entraîner à utiliser la notation de limite et explorer le concept de limite. Les limites sont des outils très importants qui sont fréquemment utilisés en analyse. Dans de nombreux cas, elles sont utilisées comme éléments de base pour des concepts plus sophistiqués qui découleront de cette vidéo. La notation standard d’une limite est la suivante. Nous lisons cet énoncé mathématique comme suit : la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿. Cet énoncé est considéré correct à condition que nous puissions rendre la valeur de 𝑓 de 𝑥 arbitrairement proche de 𝐿 en prenant 𝑥 suffisamment proche de 𝑎, des deux côtés, sans toutefois atteindre 𝑥 égal à 𝑎.

Il convient de mentionner ici que, dans cette vidéo, nous ne n’utiliserons pas de définition mathématique précise d’une limite. Une telle définition peut être mentionnée ailleurs en utilisant les lettres grecques 𝜀 et 𝛿. Au lieu de cela, nous allons utiliser cette définition couramment utilisée, qui nous indique comment interpréter la signification d’une limite. Considérons la courbe d’une fonction 𝑓 de 𝑥. Lorsque notre définition dit que nous pouvons rendre la valeur de 𝑓 de 𝑥 arbitrairement proche de 𝐿, cela signifie aussi proche de 𝐿 que nous le souhaitons. En bref, notre limite nous dit que la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche de 𝐿 lorsque la valeur de 𝑥 se rapproche de 𝑎. Lorsque nous disons des deux côtés, cela signifie que 𝑥 peut tendre vers 𝑎 par la droite, c’est-à-dire lorsque 𝑥 est supérieur à 𝑎, ou par la gauche, c’est-à-dire lorsque 𝑥 est inférieur à 𝑎.

Enfin, il est très important que 𝑥 ne soit pas égal à 𝑎. Et nous reviendrons plus tard sur ce point. Avant de continuer, notons que l’on peut rencontrer une autre notation pour une limite, qui ressemblerait à ceci. Nous lisons cette expression : 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Prenons maintenant un court exemple pour illustrer l’utilisation de la notation de limite.

Quelle est la notation correcte qui décrit l’affirmation suivante ? Lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑓 de 𝑥 tend vers moins six.

Pour une question de ce type, la première chose que nous pouvons remarquer est l’expression « tend vers ». Chaque fois que l’on nous dit que la valeur d’une fonction ou d’une variable tend vers quelque chose, cela nous indique que notre question pourrait comporter des limites. La notation standard d’une limite est indiquée ici. Et nous lisons cela comme : la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale 𝐿. En clair, cette affirmation nous dit que lorsque la valeur de 𝑥 tend vers la constante, appelée ici 𝑎, la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿. Ce 𝐿 est parfois appelé la valeur de la limite. Un petit conseil ici est de se rappeler qu’on ne nous dit pas que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝐿, mais plutôt que la valeur de notre limite est égale à 𝐿.

Bien, maintenant que nous comprenons comment écrire une limite et comment interpréter son expression, voyons comment cela s’applique à notre question. On nous dit que lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑓 de 𝑥 tend vers moins six. Ce zéro est la valeur vers laquelle nous considérons que 𝑥 tend vers. Et il est représenté par 𝑎 dans notre notation générale de limite. De même, ce nombre moins six, qui est la valeur vers laquelle tend 𝑓 de 𝑥, est représenté par 𝐿 dans notre équation de limite générale. Nous écrivons donc l’expression suivante. La limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 est égale à moins six. Puisque nous avons substitué 𝑎 égale zéro et 𝐿 égale moins six, l’expression est interprétée de la manière suivante. Lorsque la valeur de 𝑥 tend vers zéro, la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers moins six.

En regardant l’énoncé de la question et l’interprétation que nous venons d’écrire, elles correspondent exactement. Cela signifie que nous avons exprimé l’énoncé donné dans la question en utilisant la notation correcte pour une limite.

Revenons maintenant à notre définition pour mettre en évidence une caractéristique très importante. Un point crucial de notre définition est que la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de 𝑎 mais pas lorsque 𝑥 égale 𝑎. Cela signifie que la valeur de la limite, qui est bien sûr 𝐿, nous donne des informations utiles sur la valeur de notre fonction lorsque 𝑥 est proche de 𝑎. Mais nous ne devons pas tirer de conclusions sur la valeur de notre fonction lorsque 𝑥 égale 𝑎. Et bien sûr, cela est 𝑓 de 𝑎. En effet, la valeur de 𝑓 de 𝑎 et la valeur de 𝐿 peuvent être très différentes. Et nous pouvons illustrer cela avec l’exemple suivant.

Plus tôt, nous avons vu une figure qui illustre notre définition de limite sous forme de graphique. Notons maintenant quelques nombres sur ce graphique pour mieux comprendre le concept auquel nous faisons face. Nous avons que la limite a 𝑥 tend vers un de notre fonction, que nous notons maintenant 𝑓 un de 𝑥, est égale à trois. Bien sûr, cela signifie que lorsque la valeur de 𝑥 tend vers un, la valeur de 𝑓 un de 𝑥 tend vers trois. Alors il se trouve que pour cette fonction, 𝑓 un de un est égal à trois. Cela signifie que lorsque 𝑥 est égal à un, la valeur de notre fonction est égale à trois. Cependant, ce n’est pas toujours le cas. Considérons une autre fonction d’image 𝑓 deux de 𝑥.

Ce 𝑓 deux de 𝑥 est presque identique à l’image notre première fonction, 𝑓 un de 𝑥. Cependant, nous remarquons que nous avons un cercle vide sur notre graphique aux coordonnées un, trois. Et nous avons un cercle plein sur notre graphique aux coordonnées un, quatre. Cela signifie que notre fonction n’est pas définie au cercle vide, mais plutôt au cercle plein. Lorsque 𝑥 égale un, notre fonction a pour image quatre. Donc 𝑓 deux de un est égal à quatre. Malgré cette différence, il ne faut pas croire que la valeur de notre limite lorsque 𝑥 tend vers un soit également quatre. En effet, le fait que seulement 𝑓 de un a changé n’affecte pas du tout notre limite. Et nous disons encore que la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 deux de 𝑥 est égale à trois.

En effet, la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de 𝑥 égale un mais pas lorsque 𝑥 égale un. Lorsque 𝑥 tend vers un, 𝑓 deux de 𝑥 tend toujours vers trois. Nous pouvons étendre ce concept encore plus loin en notant que notre fonction peut même ne pas être définie en un point où une limite est calculée.

Considérons une dernière fonction d’image 𝑓 trois de 𝑥. Cette fonction est identique à nos deux fonctions précédentes, sauf lorsque 𝑥 égale un. En ce point, notre fonction est indéfinie. Donc 𝑓 trois de un n’est pas défini. Comme avec 𝑓 deux de 𝑥, ce changement n’affecte pas notre limite. Et nous disons toujours que la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 trois de 𝑥 est égale à trois. Maintenant, en regardant ces trois exemples, nous voyons que nous avons trois cas distincts. Premièrement, lorsque la valeur de la fonction est égale à la valeur de la limite en ce point. Ensuite, lorsque la valeur de la fonction est finie mais non égale à la valeur de la limite en ce point. Et enfin, lorsque la valeur de la fonction n’est pas définie au point où la limite est calculée.

On peut généraliser ces trois cas pour dire que si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿, 𝑓 de 𝑎 peut être égal à 𝐿, 𝑓 de 𝑎 peut être fini mais pas égal à 𝐿, ou 𝑓 de 𝑎 peut être indéfini. Cet exemple illustre bien pourquoi nous ne devons pas tirer de conclusions quant à la valeur de 𝑓 de 𝑎 sur la base de la valeur de notre limite. Et cela car il existe de nombreuses possibilités différentes. Utilisons maintenant ces informations pour répondre à la question suivante.

Vrai ou faux : Si la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq de 𝑓 de 𝑥 est égale à moins trois, alors 𝑓 de cinq doit être égal à moins trois.

Pour cette question, on nous donne des informations sous la forme d’une limite. Alors interprétons cette expression. Cela nous dit que lorsque la valeur de 𝑥 tend vers cinq, la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers moins trois. Voyons maintenant la deuxième partie de notre question. La question nous demande si la limite garantit que lorsque 𝑥 égale cinq, la valeur de la fonction sera moins trois. Pour répondre à cette question, rappelons la notation générale d’une limite.

Nous rappelons que la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de 𝑎 mais pas lorsque 𝑥 égale 𝑎. Dans notre question, ce 𝑎 vaut cinq. La limite nous donne des informations sur notre fonction lorsque 𝑥 tend vers cinq, mais ne nous donne pas d’informations sur notre fonction lorsque 𝑥 égale cinq. En fait, 𝑓 de cinq pourrait être égal à notre limite, qui est moins trois. Cela pourrait avoir n’importe quelle autre valeur ou même être indéfini. Puisque nous ne pouvons pas garantir que la valeur de 𝑓 de cinq soit égale à moins trois sur la base de la limite, la réponse à la question est « faux ». L’image 𝑓 de cinq ne doit pas nécessairement être égale à moins trois.

Maintenant que nous comprenons mieux les propriétés des limites, examinons un exemple où il nous est demandé d’évaluer une limite.

La figure suivante représente le graphique de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré. Que suggère le graphique sur la valeur de la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 ?

Pour cette question, on nous donne une fonction. Et on nous demande d’évaluer une limite de cette fonction. Pour interpréter cela, rappelons la notation générale d’une limite. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿. Cette expression nous dit que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿 lorsque la valeur de 𝑥 tend vers 𝑎 des deux côtés. Mais rappelons que nous ne nous soucions pas du point où 𝑥 est égal à 𝑎. Appliquons maintenant cette expression à notre question.

La limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à une certaine valeur. Et nous appellerons cette valeur 𝐿 un. Ce 𝐿 un est ce que nous devons déterminer. L’expression nous dit que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿 un lorsque la valeur de 𝑥 tend vers deux des deux côtés. Et on rappelle que cela ne doit pas nécessairement être la même valeur que notre fonction lorsque 𝑥 égale deux. Pour trouver la valeur de 𝐿 un, nous pouvons voir ce qui arrive à la valeur de notre fonction lorsque nous nous rapprochons de 𝑥 égale deux. Commençons par considérer une valeur de 𝑥 qui est légèrement inférieure à deux.

Disons que 𝑥 est égal à 1,5. Dans ce cas, 𝑓 de 𝑥 est égal à 2,25. Puisque nous savons que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré, nous pourrions même vérifier nos résultats graphiques en calculant 1,5 au carré. Augmentons maintenant la valeur de 𝑥. Nous approchons donc de 𝑥 égale deux par la gauche, soit lorsque 𝑥 est inférieur à deux. En faisant cela, nous commençons à remarquer que la valeur de 𝑓 de 𝑥 semble tendre vers quatre. Suivons un processus similaire, en commençant par la valeur de 𝑥 qui est légèrement supérieure à deux, puis approchons 𝑥 égale deux par la droite. Nous remarquons que les valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendent également vers quatre.

Sans vraiment faire de calculs, nous voyons que lorsque 𝑥 se rapproche de deux, 𝑓 de 𝑥 se rapproche de quatre. Cela est vrai si nous nous approchons par la gauche ou par la droite, donc des deux côtés. En clair, sur notre graphique, nous convergeons vers le point deux, quatre. Bien, nous venons donc de montrer que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers quatre lorsque la valeur de 𝑥 tend vers deux. Puisque cette expression définit notre limite, nous pouvons utiliser notre observation pour dire que la valeur de la limite est également de quatre. Ce faisant, nous avons répondu à notre question. En utilisant notre graphique, nous avons observé que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers quatre lorsque la valeur de 𝑥 tend vers deux par la gauche et par la droite. Nous utilisons cela pour dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à quatre.

Prenons maintenant un dernier exemple où il nous est demandé d’évaluer une limite.

La figure suivante représente la courbe de la fonction 𝑓 où 𝑓 de 𝑥 est égal à sin 𝑥 sur 𝑥. Partie I, Quelle est la valeur de 𝑓 de zéro ?

Pour la partie I de cette question, on nous demande de trouver la valeur de 𝑓 de zéro. Cela signifie qu’il faut évaluer notre fonction lorsque 𝑥 égale zéro. Nous pouvons trouver graphiquement la valeur de 𝑓 de zéro de la manière suivante. Nous prenons le point sur l’axe des 𝑥 où 𝑥 est égal à zéro et traçons une droite jusqu’à notre courbe. Lorsque nous faisons cela, nous remarquons que nous atteignons un cercle vide.

Cela signifie que notre fonction n’est pas définie en ce point de notre courbe. S’il y avait un cercle plein sur notre graphique en un autre point où 𝑥 est égal à zéro, cela signifierait que notre fonction serait définie à la place en cet autre point. Cependant, nous ne voyons de cercle plein nulle part lorsque 𝑥 est égal à zéro. Cela signifie que notre fonction est indéfinie lorsque 𝑥 est égal à zéro. Compte tenu de cela, nous ne pouvons pas attribuer une valeur à 𝑓 de zéro, et nous devons simplement dire qu’il est indéfini. Cela est la réponse à la première partie de notre question. Passons maintenant à la partie II.

Que suggère le graphique sur la valeur de la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 ?

Pour mieux répondre à cette partie de la question, écrivons la notation générale d’une équation de limite. Ce que cette expression nous dit, c’est que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿 lorsque la valeur de 𝑥 tend vers 𝑎 des deux côtés. Mais nous ne nous soucions pas du point où 𝑥 est égal à 𝑎. Bien, nous voulons trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de notre fonction. En d’autres termes, le 𝑎 dans la forme générale de notre notation de limite est zéro. Bien, pour trouver la valeur de notre limite, nous devons trouver 𝐿. Notons cela 𝐿 un pour plus de clarté. La valeur 𝐿 un est la valeur vers laquelle tend 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro des deux côtés. Pour déterminer cette valeur, nous pouvons regarder notre graphique et voir ce qui arrive à notre courbe lorsque la valeur de 𝑥 tend vers zéro.

Nous voyons que lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑓 de 𝑥 tend vers un. En d’autres termes, nous nous rapprochons du point de coordonnées zéro, un. Mais attention, ce point zéro, un sur notre graphique est un cercle vide, ce qui signifie que notre fonction n’est pas définie ici. En réalité, cela ne nous pose aucun problème. En effet, notre limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de zéro mais pas lorsque 𝑥 égale zéro. Très bien, nous avons trouvé que 𝑓 de 𝑥 tend vers un lorsque 𝑥 tend vers zéro des deux côtés. Cela signifie que la valeur de 𝐿 un est égale à un. Nous pouvons maintenant réécrire complètement notre notation de limite. La limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 est égale à un. Nous avons maintenant répondu aux deux parties de notre question.

Nous avons utilisé un graphique d’abord pour déterminer que 𝑓 zéro est indéfini. Et puis pour conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 est égale à un. Il convient de noter ici que la valeur de la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 n’est pas égale à la valeur de la fonction lorsque 𝑥 est égal à zéro. Nous devons toujours nous rappeler que la limite d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers une valeur, disons 𝑎, ne nous donne pas nécessairement des informations fiables sur la valeur de la fonction lorsque 𝑥 égale 𝑎. La conclusion erronée que ces deux choses sont toujours égales peut parfois nous causer des problèmes. En effet, nous avons vu dans cette question que notre fonction n’a même pas besoin d’être définie en un point où une limite est calculée.

Bien, pour terminer cette vidéo, passons en revue quelques points clés. Les limites sont un élément de base important dans de nombreux domaines de l’analyse. La notation standard d’une limite est indiquée ici. Et nous lisons cela comme : la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale 𝐿. On peut également voir les mêmes informations représentées en utilisant une notation légèrement différente. Une interprétation de ces expressions est que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝐿 lorsque la valeur de 𝑥 tend vers 𝑎. Et l’on rappelle que cela doit être vrai lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 des deux côtés, donc à la fois par la droite et par la gauche.

Un point crucial de notre définition est que la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de 𝑎 mais pas lorsque 𝑥 égale 𝑎. Cela signifie que la limite peut nous donner des informations utiles sur notre fonction pour les valeurs de 𝑥 près de 𝑎. Mais nous ne devons pas tirer de conclusions sur la valeur 𝑓 de 𝑎 elle-même, c’est-à-dire la valeur de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à 𝑎. Nous avons illustré cela plus tôt en observant ce qu’il se passe si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿. Alors 𝑓 de 𝑎 peut également valoir 𝐿, ou bien 𝑓 de 𝑎 n’est pas égal à 𝐿 mais égal à une autre valeur finie, ou encore, 𝑓 de 𝑎 est indéfini.

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