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Fiche explicative de la leçon : Limites et notation d’une limite Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser la notation d'une limite, et à étudier la notion de limite.

Les limites sont l’un des outils les plus fondamentaux pour étudier l’image par une fonction à l’approche d’une valeur d’entrée et sont un élément fondamental du calcul différentiel et intégral. Avant de définir formellement une limite, nous pouvons expliquer à l’aide du graphique suivant pourquoi les limites peuvent être utiles.

Cette représentation graphique est celle de la fonction définie par morceaux:𝑓(𝑥)=𝑥+1,𝑥<0,𝑥+1,𝑥>0,2,𝑥=0.

On peut voir sur le graphique (ou par définition de la fonction) que 𝑓(0)=2. Cependant, si on regarde le graphique, on voit qu’au voisinage de 0, les images semblent avoir une valeur différente. Par exemple, 𝑓(0,1)=1,1 et 𝑓(0,01)=1,01.

Nous pouvons voir pourquoi c’est le cas à l’aide du graphique;lorsqu’on tend vers 0 par valeurs positives ou à droite, les images tendent vers 1. Il en est de même lorsqu’on tend vers 0 par valeurs négatives ou à gauche.

Cela signifie que si l’on tend vers 0, les images tendent vers 1. Avoir une idée de ce qui arrive à la fonction au voisinage de certains points (mais pas aux points eux-mêmes) est très importante pour déterminer des informations sur la fonction et sa forme;c’est pourquoi nous introduisons la notion de limite.

Définition : Limite d’une fonction

Si 𝑓(𝑥) tend vers une certaine valeur lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 (des deux côtés) mais pas nécessairement quand 𝑥=𝑎, alors on dit la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à et on note lim𝑓(𝑥)=.

Dans l’exemple ci-dessus, nous avons vu que pour les valeurs de 𝑥 au voisinage de 0, les images par la fonction tendent vers 1, on peut dire lim𝑓(𝑥)=1. Il est important de rappeler que la valeur de la fonction en 0 n’a aucun effet sur la limite de la fonction quand 𝑥 tend vers 0, car nous ne sommes intéressés que par les images des nombres proches de 0. Donc, dans notre cas, même si 𝑓(0)=2, la limite de 𝑓 quand 𝑥 tend 0 est égale à 1.

Avant de voir comment appliquer cette définition, nous examinerons une notation commune alternative.

Définition : Notation alternative de la limite d’une fonction

La notation 𝑓(𝑥) quand 𝑥𝑎 a le même sens que lim𝑓(𝑥)=.

Nous pouvons traduire la flèche par « se rapproche de » ou « tend vers ».

Enfin, il existe une autre définition commune d’une limite, généralement appelée la définition de 𝜖𝛿 d’une limite. Ceci est une définition mathématique précise d’une limite et, bien qu’elle soit utile pour prouver les résultats sur les limites, elle est moins intuitive pour travailler sur des exemples, ainsi nous n’utiliserons donc pas cette définition dans cette fiche explicative.

Commençons par voir un exemple sur la manière d’écrire des limites d’une fonction donnée.

Exemple 1: Ecrire des énoncés mathématiques en utilisant la notation des limites

Quelle est la notation correcte qui traduit l’affirmation suivante?

Lorsque 𝑥 tend vers 0, 𝑓(𝑥) tend vers 6.

Réponse

On rappelle que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑎 étant égal à est notée lim𝑓(𝑥)=.

On sait que lorsque 𝑥 tend vers 0 alors 𝑓(𝑥) tend vers 6, donc on pose 𝑎=0 et =6 ce qui nous donne lim𝑓(𝑥)=6.

Il convient également de noter que nous pourrions également utiliser la notation alternative 𝑓(𝑥)6 quand 𝑥0.

Dans notre prochain exemple, nous verrons quelles informations nous pourrons déterminer à partir d’une fonction donnée connaissant l’une de ses limites.

Exemple 2: Comprendre la relation entre l’image d’un nombre par une fonction et la limite d’une fonction en ce nombre

Si 𝑓(6)=6, que peut-on dire de lim𝑓(𝑥)?

  1. lim𝑓(𝑥)=6
  2. lim𝑓(𝑥)6
  3. lim𝑓(𝑥)=1
  4. lim𝑓(𝑥)=0
  5. Nous ne pouvons tirer aucune conclusion sur lim𝑓(𝑥).

Réponse

On rappelle que lim𝑓(𝑥)=6 signifie que lorsque 𝑥 tend vers 6 de chaque côté, les images par la fonction tendent vers 6. Cela signifie que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 6 nous donne les valeurs des images autour de 6 mais pas quand 𝑥=6.

Pour clarifier cela, considérons les représentations graphiques suivantes. D’abord, 𝑓(𝑥)=𝑥.

Sur ce graphique, quand 𝑥 tend vers 6 de chaque côté, nous pouvons voir que les images par la fonction tendent vers 6.

Dans ce cas, lim𝑓(𝑥)=6 et 𝑓(6)=6, la limite et la fonction coïncident, mais ce n’est pas la seule possibilité. Considérons les représentations graphiques suivantes.

Sur ce graphique, nous pouvons voir que 𝑓(6)=6. En fait, nous pourrions représenter cela en utilisant une fonction définie par morceaux. Cependant, si on étudie la limite de cette fonction lorsque 𝑥 tend vers 6, on remarque qu’elle n’est pas égale à 6.

Lorsqu’on tend vers 6 de chaque côté, les images tendent vers 1. Par conséquent, le graphique indique lim𝑓(𝑥)=1, qui n’est pas l’image par la fonction en ce point.

Cela signifie que nous ne pouvons tirer aucune conclusion sur lim𝑓(𝑥), qui est la réponse E.

Maintenant, considérons l’assertion lim𝑓(𝑥)=6. Pouvons-nous en déduire des informations sur 𝑓(6)?Dans ce cas, considérons les représentations graphiques de fonctions suivantes.

Sur la figure 1, nous pouvons voir que lorsqu’on tend vers 6 de chaque côté, les images tendent vers 6, donc les deux lim𝑓(𝑥) et 𝑓(6) sont égaux à 6.

Cependant, dans la figure 2, les images tendent vers 6 lorsque 𝑥 tend vers 6, mais on peut voir que 𝑓(6)=4. Ainsi, dans ce cas, lim𝑓(𝑥)=6 et 𝑓(6)=4 ne sont pas égaux.

Enfin, dans la figure 3, encore une fois, lorsqu’on tend vers 6 de chaque côté, les images tendent vers 6, donc lim𝑓(𝑥)=6. Cependant, 6 n’appartient pas à l’ensemble de définition de notre fonction, de sorte que notre fonction n’est même pas définie pour cette valeur.

Nous pouvons généraliser ce résultat.

Propriété : Limite d’une fonction

Si lim𝑓(𝑥)=, alors 𝑓(𝑎) ne doit pas nécessairement être égal à . En fait, 𝑓(𝑎) peut être indéfinie.

Dans les quelques exemples suivants, nous étudierons la relation entre la limite d’une fonction et sa courbe représentative.

Exemple 3: Comprendre les limites à l’aide de représentations graphiques

La figure suivante représente la courbe de la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥.

Qu’indique cette courbe sur la valeur de lim𝑓(𝑥)?

Réponse

On rappelle que la notation lim𝑓(𝑥)= signifie que pour tout 𝑥 qui tend vers 2, de chaque côté, ses images par la fonction tendent vers . Les images d’une fonction sont représentées par les coordonnées en 𝑦, les ordonnées, et les coordonnées en 𝑥, les abscisses, représentent les valeurs d’entrée pour la fonction.

Cela signifie que nous pouvons étudier la limite quand 𝑥2 de cette fonction par lecture de l’ordonnée 𝑦 des points de la courbe dont les abscisses sont de chaque côté de 𝑥=2. Nous allons commencer avec les valeurs de 𝑥>2. D’abord, considérons l’image par la fonction de 𝑥=2,5.

D’après notre graphique, nous pouvons voir que cela est légèrement supérieur à 6, et pour étudier la limite, on a besoin de plus se rapprocher de 2. Essayons des valeurs plus proches de 2.

On peut lire sur le graphique que 𝑓(2,25)5. Nous pouvons continuer ainsi.

Lorsqu’on tend vers 2 du côté droit, les images tendent vers 4. On peut suivre la même démarche pour 𝑥<2.

Nous pouvons lire que 𝑓(1)=1 et 𝑓(1,5)=2,25.

Lorsqu’on tend vers 2 du côté gauche, les images par la fonction tendent vers 4.

Par conséquent, comme les valeurs de 𝑥 tendent vers 2, de chaque côté, les images par la fonction tendent vers 4. En utilisant la notation des limites, on peut donc écrire lim𝑓(𝑥)=4.

Exemple 4: Comprendre les limites à l’aide des graphiques

La courbe suivante représente la fonction 𝑓, 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥sin.

  1. Quelle est la valeur de 𝑓(0)?
  2. Qu’indique le graphique sur la valeur de lim𝑓(𝑥)?

Réponse

Partie 1

On peut déterminer la valeur de 𝑓(0) à partir du graphique. Rappelons que, pour une courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥), tout point appartenant à cette courbe a les coordonnées (𝑥;𝑓(𝑥)), ainsi, nous pouvons déterminer 𝑓(0) en lisant l’ordonnée 𝑦 d’un point sur la courbe d’abscisse 𝑥 égale à 0. Traçons la droite d’équation 𝑥=0 dans le repère.

Étant donné que la courbe n’a pas de point en (0;1), nous savons que la fonction n’est pas définie ici. Par conséquent, il n’y a pas d’intersection entre la droite et la courbe.

Ainsi, 𝑓(0) n’est pas définie.

Partie 2

On rappelle que la notation lim𝑓(𝑥)= signifie que lorsque 𝑥 tend vers 0, de chaque côtés, les images par la fonction tendent vers . Nous pouvons déterminer les images par la fonction par lecture graphique, ainsi nous pouvons déterminer cette limite en considérant la courbe de chaque côté de la droite d’équation 𝑥=0.

En considérant les images par la fonction lorsque 𝑥 tend vers 0 de chaque côté, comme le montre le graphique ci-dessous, nous pouvons voir que les images tendent vers 1.

Il est important de noter que même si la fonction elle-même n’est pas définie lorsque 𝑥=0, cela n’affectera pas la limite car nous ne sommes intéressés que par ce qui se passe lorsque 𝑥 tend vers 0 et non pas lorsque 𝑥=0.

Par conséquent, par lecture graphique on déduit que lim𝑓(𝑥)=1.

Avant de terminer cette fiche explicative, il est intéressant d’étudier d’autres options pour déterminer des limites. Dans les exemples ci-dessus, nous avons utilisé le graphique pour déterminer la limite d’une fonction;cependant, pour déterminer une limite, il suffit de voir ce qui arrive aux images de la fonction. Cela signifie que nous pouvons également étudier les limites à l’aide d’un tableau de valeurs pour la fonction.

Par exemple, si on ne nous donne pas le graphique représentant la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥sin, 𝑥 est mesurée en radians, on pourrait étudier la limite de 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥 tend vers 0 en déterminant les images par la fonction pour des valeurs situées à gauche et à droite de 0. D’abord, 𝑓(0,2)=0,20,20,9933sin. On peut alors trouver la valeur de 𝑓 pour une valeur encore plus proche de 0 (par exemple, 𝑓(0,1)=0,10,10,9983sin ). Nous pouvons continuer ceci pour obtenir le tableau suivant:

𝑥0,20,10,01
𝑓(𝑥)0,9‎ ‎9330,9‎ ‎9830,9‎ ‎999

Nous pouvons voir que lorsqu’on tend vers 0 du côté droit, les images semblent tendre vers 1. On peut faire de même pour les valeurs inférieures à 0:

𝑥0,20,10,01
𝑓(𝑥)0,9‎ ‎9330,9‎ ‎9830,9‎ ‎999

Une fois encore, les images semblent tendre vers 1. Ainsi, comme les deux tendent vers 1, le tableau semble indiquer que limsin𝑥𝑥=1.

Récapitulons certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Si 𝑓(𝑥) tend vers lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 (des deux côtés) mais pas nécessairement quand 𝑥=𝑎, alors on dit que la limite de 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à .
  • Si la limite de 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à , on peut le dire de deux manières:
    • lim𝑓(𝑥)=;
    • 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥𝑎.
  • L’image de 𝑎 par la fonction n’affecte pas sa limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎.
  • On peut étudier la limite d’une fonction en 𝑥=𝑎 à partir de son graphique en considérant le comportement de la courbe de chaque côté de la droite d’équation 𝑥=𝑎.
  • Nous pouvons étudier la limite d’une fonction à partir d’un tableau de valeurs en prenant des points au-dessus et en dessous de la valeur de la limite que nous cherchons.

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