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Un corps se déplace en ligne droite. À l’instant 𝑡 secondes, son déplacement à partir d’un point fixe est donné par 𝑠 égale six 𝑡 au carré plus neuf 𝑡 mètres. Sa masse varie avec le temps telle que 𝑚 est égal à huit 𝑡 plus neuf kilogrammes. Écrivez une expression représentant la force qui agit sur le corps à l’instant 𝑡.
On nous a donné une expression du déplacement du corps à partir d’un point fixe et sa masse. Alors, généralement, nous pourrions penser que, pour trouver une expression de la force, nous utilisons une force égale à la masse multipliée par l’accélération. Le problème est que la masse du corps varie avec le temps. Et donc, nous ne pouvons pas vraiment utiliser cette formule. Et donc, puisque la masse dépend du temps, c’est une fonction de 𝑡, nous utilisons une formule différente. Donc, à la place, nous réorganisons la deuxième loi de Newton et ajoutons un terme pour tenir compte de la quantité de mouvement qui entre ou sort du système. Nous constatons donc que 𝐹 est égal à 𝑣 fois d𝑚 sur d𝑡, c’est la dérivée de la masse par rapport au temps, plus 𝑚 fois d𝑣 par d𝑡, la dérivée de 𝑣 par rapport au temps.
Alors, comment pouvons-nous trouver des expressions de 𝑣 et d𝑣 par d𝑡 ? Eh bien, on nous dit que le déplacement 𝑠 est de six 𝑡 au carré plus neuf 𝑡. Et nous pouvons en obtenir deux informations. Nous savons que le vecteur vitesse est le taux de variation du déplacement par rapport au temps. En d’autres termes, c’est la dérivée de 𝑠 par rapport à 𝑡. Nous pouvons ensuite dériver la fonction du vecteur vitesse par rapport au temps. Et en fait, cela nous donne l’accélération. Donc, on détermine la dérivée de six 𝑡 au carré plus neuf 𝑡 par rapport au temps, rappelant, bien sûr, que nous pouvons faire cela terme par terme.
Lorsqu’on calcule la dérivée de six 𝑡 au carré, nous multiplions le terme entier par l’exposant et réduisons cet exposant par un. Nous obtenons donc deux fois six 𝑡, soit 12𝑡. Ensuite, lorsque on cherche la dérivée de neuf 𝑡, on obtient neuf. Nous pouvons répéter ce processus pour trouver d𝑣 par d𝑡 que nous savons, bien sûr, qu’il est égal à l’accélération. Cette fois, la dérivée de 12𝑡 par rapport à 𝑡 est simplement 12. Mais la dérivée de toute constante est zéro. Donc, d𝑣 sur d𝑡 et, par conséquent, 𝑎 est égal à 12.
Ensuite nous savons aussi que la masse est donnée par huit 𝑡 plus neuf kilogrammes et nous devons trouver d𝑚 par d𝑡. Comme précédemment, on cherche la dérivée terme par terme. Alors, la dérivée de huit 𝑡 est huit, ainsi que la dérivée de neuf est zéro. Nous trouvons donc que d𝑚 sur d𝑡 est égal à huit. La force est donnée par 𝑣 fois d𝑚 par d𝑡. C’est 12𝑡 plus neuf fois huit. Nous ajoutons ensuite le produit de 𝑚, qui est huit 𝑡 plus neuf, et de d𝑣 par d𝑡, qui est 12. Donc 𝐹 est égal à 12𝑡 plus neuf fois huit plus huit 𝑡 plus neuf fois 12.
La prochaine étape consiste à développer les parenthèses. 12𝑡 fois huit est 96𝑡 et neuf fois huit est 72. En développant le deuxième ensemble de parenthèses, nous obtenons à nouveau 96𝑡 plus 108. Cela se simplifie à 192𝑡 plus 180. Alors, en fait, nous travaillons en mètres, kilogrammes et secondes. Les unités de force sont donc des newtons. Et nous voyons alors que 𝐹 est égal à 192𝑡 plus 180 newtons.
