Fiche explicative de la leçon : Deuxième loi de Newton : masse variable Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser la dérivation pour appliquer le principe fondamental de la dynamique à une particule de masse variable.

Rappelons d’abord le principe fondamental de la dynamique pour un corps de masse constante.

Définition : Principe fondamental de la dynamique pour un corps de masse constante

Lorsqu’une force nette agit sur un corps, celui-ci accélère dans le sens de la force. La norme de l’accélération dépend de l’intensité de la force et de la masse du corps selon la formule 𝐹=𝑚𝑎,𝑚 est la masse constante du corps et 𝑎 est l’accélération du corps.

Le principe fondamental de la dynamique peut aussi être exprimé en fonction du taux de variation de la quantité de mouvement d’un corps. La quantité de mouvement, 𝑝, d’un corps est défini comme suit.

Définition : Quantité de mouvement d’un corps

La quantité de mouvement d’un corps est donnée par, 𝑝=𝑚𝑣,𝑚 est la masse du corps et 𝑣 est le vecteur vitesse du corps.

Exprimer le principe fondamental de la dynamique en fonction du taux de variation de la quantité de mouvement donne 𝐹=𝑝𝑡=𝑡(𝑚𝑣).dddd

Les termes de masse et de vitesse sont tous les deux entre parenthèses car chaque terme peut varier en fonction du temps ou être constant, on doit donc pouvoir prendre en compte le taux de variation de chacun des termes.

Si la masse d’un corps en accélération est constante, le taux de variation de la quantité de mouvement du corps est alors 𝐹=𝑡(𝑚𝑣)=𝑚𝑣𝑡=𝑚𝑎,dddd qui est équivalent au principe fondamental de la dynamique pour une masse constante. De manière équivalente, pour un corps qui se déplace uniformément lorsqu’une force agit sur lui, le taux de variation de la quantité de mouvement du corps est 𝐹=𝑡(𝑚𝑣)=𝑣𝑚𝑡.dddd

On suppose que la vitesse et la masse d’un corps varient tous les deux en fonction du temps. Si la vitesse et la masse d’un corps augmentent tous les deux, alors la force agissant sur le corps doit être responsable de l’augmentation de la vitesse et de l’augmentation de la masse.

Lorsque deux variables varient par rapport à une troisième variable, la formule de la dérivée d’un produit peut être utilisée pour dériver le produit des deux variables.

Comment : Utiliser la formule de la dérivée d’un produit pour dériver un produit

On considère les variables 𝑎 et 𝑏 qui varient toutes les deux par rapport au temps. Le taux auquel 𝑎𝑏 varie par rapport au temps est donné par dddddd𝑡(𝑎𝑏)=𝑎𝑏𝑡+𝑏𝑎𝑡.

Si on applique la formule de la dérivée d’un produit au taux de variation de la quantité de mouvement d’un corps, on trouve 𝐹=𝑡(𝑚𝑣)=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡.dddddd

La force agissant sur un corps peut être définie comme suit.

Définition : Principe fondamental de la dynamique en fonction de la variation de quantité de mouvement

Lorsqu’une force nette agit sur un corps, la quantité de mouvement du corps varie. Les taux de variation de la masse et de la vitesse du corps dépendent de l’intensité de la force, de la masse et de la vitesse du corps selon la formule 𝐹=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡,dddd𝑚 est la masse du corps et 𝑣 est la vitesse du corps.

Étudions un exemple dans lequel la masse d’un corps varie pendant qu’une force agit sur celui-ci.

Exemple 1: Déterminer l’intensité de la force agissant sur un corps de masse variable se déplaçant à une vitesse constante

Complétez:L’intensité de la force agissant sur un corps de masse variable selon la fonction 𝑚(𝑡)=(5+2𝑡)kg et se déplaçant avec une vitesse constante de 4/ms est .

Réponse

Une force agissant sur un corps produit une variation de quantité de mouvement du corps:𝐹=𝑡(𝑚𝑣)=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡.dddddd

Le corps a une vitesse constante, donc dd𝑣𝑡=0.

Par conséquent, 𝐹=𝑣𝑚𝑡.dd

On sait que la valeur de 𝑣 est de 4/ms et on peut la substituer pour obtenir 𝐹=4𝑚𝑡.dd

Si une force agit sur un corps en provoquant un déplacement avec une vitesse constante et donc avec une accélération nulle, la masse du corps doit varier pendant que la force agit sur celui-ci.

La question donne la masse du corps en fonction du temps. La masse en kilogrammes en fonction du temps, 𝑚(𝑡), est donnée par 𝑚(𝑡)=(5+2𝑡), dont la valeur augmente en effet quand 𝑡.

Dériver 𝑚(𝑡) par rapport au temps donne dddd𝑚𝑡=𝑡(5+2𝑡)=2.

La masse du corps augmente de 2 kilogrammes par seconde.

Le taux de variation de la masse peut être substitué dans la formule comme suit:𝐹=4𝑚𝑡𝐹=4(2)=8.ddN

Par conséquent, un corps qui se déplace à une vitesse constante de 4 m/s et dont la masse commence à augmenter de 2 kilogrammes par seconde doit subir une force de 8 N pour maintenir cette vitesse constante.

La masse du corps n’affecte pas la force nécessaire pour maintenir son mouvement uniforme, seul le taux de variation de sa masse a un effet.

Étudions un exemple de force agissant sur un corps dont la masse et la vitesse du corps varient avec le temps.

Exemple 2: Déterminer la force agissant sur un corps de masse variable en fonction du temps

Un corps se déplace en ligne droite. À l’instant 𝑡secondes, son déplacement à partir d’un point fixe est 𝑠=6𝑡+9𝑡m. Sa masse varie avec le temps de sorte que 𝑚=(8𝑡+9)kg. Déterminez une expression de la force agissant sur le corps à l’instant 𝑡.

Réponse

La vitesse et la masse du corps varient avec le temps, on peut donc déterminer la force agissant sur le corps en utilisant 𝐹=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡.dddd

On peut trouver le taux de variation de la masse du corps en dérivant la fonction de la masse du corps par rapport au temps:dddd𝑚𝑡=𝑡(8𝑡+9)=8.

La masse du corps augmente de 8 kilogrammes par seconde.

La fonction du taux de variation de la vitesse du corps par rapport au temps n’est pas indiquée dans la question, mais on connaît le déplacement en fonction du temps. Le taux de variation du déplacement est égal à la vitesse instantanée, 𝑣, du corps, donc 𝑣=𝑠𝑡=𝑡6𝑡+9𝑡=(12𝑡+9).dddd

Maintenant que l’on a 𝑣, on peut exprimer le taux de variation 𝑣 comme suit:dddd𝑣𝑡=𝑡(12𝑡+9)=12.

On peut utiliser la formule suivante:𝐹=𝑡(𝑚𝑣)=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡𝐹=((8𝑡+9)(12))+((12𝑡+9)(8))𝐹=(96𝑡+108)+(96𝑡+72)𝐹=(192𝑡+180).ddddddN

Une force variant en fonction du temps doit être exprimée comme une fonction de 𝑡 et a une valeur instantanée à tout instant pendant lequel elle agit. Étudions un exemple dans lequel nous devons déterminer une valeur instantanée d’une force variant en fonction du temps.

Exemple 3: Déterminer l’intensité de la force agissant sur un corps de masse variable à un instant donné

Un corps se déplace en ligne droite. À l’instant 𝑡secondes, son déplacement à partir d’un point fixe est donné par 𝑠=2𝑡+5𝑡+4m. Sa masse varie en fonction du temps de sorte que 𝑚=(6𝑡+5)kg. Déterminez l’intensité de la force agissant sur le corps lorsque 𝑡=3s.

Réponse

Pour déterminer la force agissant à un instant, on doit déterminer la fonction représentant la force par rapport au temps.

La vitesse et la masse du corps varient avec le temps, on détermine donc la force agissant sur le corps en utilisant 𝐹=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡.dddd

Le taux de variation de la masse du corps peut être déterminé en dérivant la fonction de la masse du corps par rapport au temps:dddd𝑚𝑡=𝑡(6𝑡+5)=6.

La fonction représentant la vitesse du corps est 𝑣=𝑠𝑡=𝑡2𝑡+5𝑡+4=(4𝑡+5).dddd

Dériver la fonction représentant 𝑣 par rapport au temps donne dddd𝑣𝑡=𝑡(4𝑡+5)=4.

Comme on doit dériver le produit de 𝑚 et 𝑣, 𝑚𝑣, par rapport au temps, on peut utiliser la formule de la dérivée d’un produit pour dériver 𝑚𝑣 par rapport à 𝑡:𝐹=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡𝐹=((6𝑡+5)(4))+((4𝑡+5)(6))𝐹=(24𝑡+20)+(24𝑡+30)𝐹=(48𝑡+50).ddddN

Substituer 𝑡=3 donne 𝐹=48(3)+50=194.N

Étudions le principe fondamental de la dynamique avec une masse variable lorsqu’il est appliqué à un système où la vitesse est donnée en fonction de vecteurs.

Définition : Principe fondamental de la dynamique pour une masse variable en fonction des vecteurs

Soit un corps de masse 𝑚 et de vecteur vitesse 𝑣, la force appliquée sur le corps est donnée par 𝐹=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡,dddd𝐹 et 𝑣 sont des quantités vectorielles.

Si on nous donne le vecteur du déplacement au lieu du vecteur vitesse, nous pouvons dériver le déplacement par rapport au temps pour déterminer le vecteur vitesse car la relation entre le déplacement et la vitesse est la même sous forme vectorielle et scalaire. Nous avons 𝑣=𝑠𝑡.dd

Nous pouvons maintenant regarder un exemple de la manière dont cette formule peut être utilisée.

Exemple 4: Déterminer la force agissant sur un corps en utilisant le principe fondamental de la dynamique pour une masse variable avec des vecteurs

Complétez ce qui suit:Un objet de masse 10 g se déplace dans un plan avec une masse variable qui augmente selon un taux de 5 g/s. Le vecteur vitesse de l’objet est donné par 𝑣=2𝑡𝑖+12𝑡𝑗/cms. La composante horizontale de la force agissant sur l’objet pour le maintenir en mouvement à cette vitesse est de dynes.

Réponse

On sait que la masse de l’objet commence à 10 g et qu’elle augmente selon un taux de 5 g/s. On peut donc dire que 𝑚=10+5𝑡.

Aussi, comme le taux d’accroissement de la masse est 5 g/s, on a dd𝑚𝑡=5.

Afin de déterminer la force qui agit sur le corps, nous devrons utiliser le principe fondamental de la dynamique pour une masse variable en fonction des vecteurs. Cela nous dit que 𝐹=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡.dddd

Afin de trouver dd𝑣𝑡, on dérive simplement 𝑣 par rapport à 𝑡. Cela nous donnera dd𝑣𝑡=4𝑡𝑖+24𝑡𝑗.

Nous avons maintenant tous les composantes dont nous avons besoin pour trouver 𝐹. En substituant à notre formule, nous trouvons 𝐹=(10+5𝑡)4𝑡𝑖+24𝑡𝑗+2𝑡𝑖+12𝑡𝑗×5=40𝑡+20𝑡𝑖+240𝑡+120𝑡𝑗+10𝑡𝑖+60𝑡𝑗=40𝑡+30𝑡𝑖+240𝑡+180𝑡𝑗.

Sachant que les unités que nous avons utilisées jusqu’à présent sont les grammes et les centimètres par seconde, l’unité de notre force sera les dynes. On peut dire que 𝐹=40𝑡+30𝑡𝑖+240𝑡+180𝑡𝑗.dynes

Maintenant, on nous a demandé dans la question de trouver la composante horizontale de cette force, donc, nous ne sommes intéressés que par la composante 𝑖. Par conséquent, notre solution est 40𝑡+30𝑡.

Il est raisonnable de se demander quel processus physique pourrait produire l’augmentation de la masse d’un corps. On suppose qu’un corps accumule une partie de la matière avec laquelle il est en contact et qui fait partie du milieu dans lequel il se déplace. La masse de la matière accumulée est ajoutée à la masse du corps.

Représenter une telle situation de manière réaliste impliquerait de déterminer le taux auquel l’aire de contact du corps avec le milieu varie ainsi que le taux auquel le vecteur vitesse du corps varie. Pour ne considérer que ces variables, il faudrait supposer que ni la densité du milieu ni le processus d’accumulation de matière à partir du milieu ne varient en fonction du vecteur vitesse du corps ou de l’aire de contact du corps et du milieu.

Étudions un exemple dans lequel les différents processus affectant l’accumulation de matière par un corps sont représentés de manière simplifiée.

Exemple 5: Déterminer l’intensité de la force agissant sur un corps de masse variable en fonction du temps en utilisant le principe fondamental de la dynamique

Une balle de masse 5g se déplace en ligne droite à travers un milieu chargé de poussière. La poussière s’accumule à sa surface à un taux de 1/gs. Déterminez l’intensité de la force agissant sur la balle à l’instant 𝑡=5secondes, sachant que le déplacement de la balle est exprimé par 𝑠(𝑡)=23𝑡+𝑡+7𝑡+1𝑐,𝑐 est un vecteur unitaire dans le sens du mouvement et que le déplacement est mesuré en centimètres.

Réponse

La force agissant sur la balle est 𝐹=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡.dddd

La balle a une masse de 5 g à 𝑡=0, qui augmente à un taux de 1 g/s. La fonction représentant la masse de la balle en fonction du temps, 𝑚(𝑡), est donnée par 𝑚(𝑡)=(1𝑡+5)=(𝑡+5).

Dériver 𝑚(𝑡) donne dd𝑡(𝑡+5)=1.

La fonction représentant le vecteur vitesse du corps est 𝑣=𝑠𝑡=𝑡23𝑡+𝑡+7𝑡+1=2𝑡+2𝑡+7.dddd

Dériver la fonction représentant 𝑣 par rapport au temps donne dddd𝑣𝑡=𝑡2𝑡+2𝑡+7=(4𝑡+2).

Comme on doit dériver le produit de 𝑚 et 𝑣, 𝑚𝑣, par rapport au temps, on peut utiliser la formule de la dérivée d’un produit pour dériver 𝑚𝑣 par rapport à 𝑡:𝐹=𝑡(𝑚𝑣)=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡.dddddd

En rappelant que dd𝑚𝑡=1, on a 𝐹=((𝑡+5)(4𝑡+2))+2𝑡+2𝑡+7.

Substituer 𝑡=5 donne 𝐹=(10(22))+(50+10+7)𝐹=220+67=287/.gcms

La masse est en grammes et le déplacement est en centimètres, la force calculée en newtons doit donc être divisée par le nombre de centimètres dans un mètre et par le nombre de grammes dans un kilogramme pour obtenir une force en newtons:𝐹=2871010=287×10.N

Une dyne est égale à 10N, donc la force est de 287 dynes.

Étudions maintenant un autre exemple similaire.

Exemple 6: Déterminer le taux de variation de la masse d’une balle lors de son déplacement dans un milieu poussiéreux

Une balle métallique se déplace en ligne droite avec un vecteur vitesse de norme constante 1 m/s. Elle pénètre dans un milieu poussiéreux. Si la force agissant sur la balle à tout instant est d’intensité 10 dynes, déterminez le taux de variation de la masse de la balle dû à l’adhérence de la poussière à sa surface.

Réponse

La balle a un vecteur vitesse constant. Ainsi, dans la formule 𝐹=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡,𝑣𝑡=0.dddddd

Le fait que le vecteur vitesse soit constant permet d’exprimer la formule comme 𝐹=𝑣𝑚𝑡.dd

Le taux d’accroissement de la masse de la balle est directement proportionnel à la force agissant sur la balle.

La force agissant sur la balle est d’intensité 10 dynes, 1=1×1=10.dynegcmsN

La force est égale au taux de variation de la quantité de mouvement de la balle, donnée en newtons par 1010=10=𝑝𝑡=𝑡(𝑚𝑣).dddd

Le vecteur vitesse de la balle est de 1 m/s, donc le taux de variation de la quantité de mouvement peut être écrit comme dddddd𝑝𝑡=1𝑚𝑡=𝑚𝑡.

Combiner la valeur de la force et l’expression du taux de variation de la quantité de mouvement donne 10=𝑚𝑡,dd𝑚 est en kilogrammes ( kg ), la force est en newtons ( N ) et le vecteur vitesse est en mètres par seconde ( m/s ). Le taux de variation de la masse, en grammes par seconde ( g/s ), est donc de ddgs𝑚𝑡=1010=0,1/.

Points clés

  • Lorsqu’une force nette agit sur un corps de masse constante, le corps accélère dans le sens de la force. La norme de l’accélération dépend de l’intensité de la force et de la masse du corps selon la formule 𝐹=𝑚𝑎,𝑚 est la masse du corps et 𝑎 est l’accélération du corps.
  • La quantité de mouvement d’un corps est donnée par 𝑝=𝑚𝑣,𝑚 la masse du corps et 𝑣 est le vecteur vitesse du corps.
  • Exprimer le principe fondamental de la dynamique en fonction du taux de variation de la quantité de mouvement donne 𝐹=𝑝𝑡=𝑡(𝑚𝑣).dddd
    En utilisant la formule de la dérivée d’un produit, il peut être exprimé par 𝐹=𝑚𝑣𝑡+𝑣𝑚𝑡.dddd

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